2024-2025學年廣東省廣州市高三上學期綜合模擬測試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知復數滿足，則復數對應的點在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四3．已知的展開式中所有項的二項式系數之和為32，則的展開式中的系數為（

）A． B． C．10 D．204．若角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．5．已知：不等式的解集為，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．雙曲線x2－＝1的漸近線與圓x2＋(y－4)2＝r2(r＞0)相切，則r＝（

）A． B． C． D．7．下列說法中，正確的命題是（

）A．已知隨機變量X服從正態分布，則B．線性相關系數r越大，兩個變量的線性相關性越強，反之，線性相關性越弱C．已知兩個變量具有線性相關關系，其回歸方程為，若，則D．若樣本數據的方差為8，則數據的方差為28．已知函數，若方程有3個不同的實根，則實數m取值范圍值是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知一組數據，，…，是公差不為0的等差數列，若去掉數據，則（

）A．中位數不變 B．平均數變小 C．方差變大 D．方差變小10．在正方體中，點分別是和的中點，則（

）A．B．與所成角為C．平面D．與平面所成角為11．設，且，則下列關系式可能成立的是（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，矩形中，，E是的中點，則．13．若直線l既和曲線相切，又和曲線相切，則稱l為曲線和的公切線．已知曲線和曲線，請寫出曲線和的一條公切線方程：．14．已知橢圓的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與C在第一、第三象限分別交于點A，B，若，則C的離心率的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內角的對邊分別為，，，已知為銳角，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的面積.16．已知函數．(1)當時，求的極值；(2)當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．17．如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側面是菱形，，平面平面．(1)證明：；(2)求點到平面的距離．18．已知在曲線，直線交曲線C于A，B兩點．（點A在第一象限）(1)求曲線C的方程；(2)若過且與l垂直的直線與曲線C交于C，D兩點；（點C在第一象限）（ⅰ）求四邊形ACBD面積的最小值．（ⅱ）設AB，CD的中點分別為P，Q，求證：直線PQ過定點．19．在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標表示，其中，而在維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為維坐標，其中．現有如下定義：在維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標差的絕對值之和，即為．回答下列問題：(1)求出維“立方體”的頂點數；(2)在維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量為所取兩點間的曼哈頓距離．①求的分布列與期望；②求的方差．

答案1．【正確答案】B【詳解】因為，，當時，為非負的偶數，所以，，則，B對，ACD都錯.故選：B.2．【正確答案】D【詳解】因為，，所以復數對應的點的坐標為，在第四象限.故選：D3．【正確答案】A【分析】先利用二項式系數性質求出的值，在二項展開式的通項公式中，令的冪指數等于31，求出的值，即可求得的系數．【詳解】根據的展開式中，二項式系數的和為．而的展開式中，通項公式為，令，求得，可得展開式中的系數為，故選A．【思路導引】公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)中，Cnkan－kbk是展開式的第k＋1項，可記作Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．4．【正確答案】A【分析】根據余弦函數定義結合誘導公式計算求解即可.【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以.故選A.5．【正確答案】A【分析】首先計算出不等式的解集為時的取值范圍，再根據范圍大小即可得出結論.【詳解】若不等式的解集為，當時，符合題意；當時，需滿足且，解得綜合可得而所以p能推出q，q不能推出p，即是的充分不必要條件.故選：A6．【正確答案】D【詳解】圓x2＋(y－4)2＝r2的圓心坐標為，半徑為，雙曲線x2－＝1的漸近線方程為：，所以有：，故選：D7．【正確答案】D【詳解】解：A.已知隨機變量服從正態分布，，則，所以，所以，∴，故A錯誤；B.線性相關系數的范圍在到1之間，有正有負，相關有正相關和負相關，相關系數的絕對值的大小越接近于1，兩個變量的線性相關性越強，反之，線性相關性越弱，故B錯誤；C.已知兩個變量具有線性相關關系，其回歸直線方程為，若，，，則，故C錯誤；D.設數據，，…，的方差為，則樣本數據，，…，的方差為，則，即數據的方差為2，故D正確.故選：D.8．【正確答案】C【詳解】由，得或，作出的圖象，如圖所示，由圖可知，要使方程有3個不同的實根，當，即時，，符合題意，當，即時，，符合題意，所以所求范圍是.故選：C.9．【正確答案】AC【詳解】對于選項A，原數據的中位數為，去掉后的中位數為，即中位數沒變，故選項A正確；對于選項B，原數據的平均數為，去掉后的平均數為即平均數不變，故選項B錯誤：對于選項C，則原數據的方差為，去掉后的方差為，故，即方差變大，故選項C正確，選項D錯誤.故選：AC.10．【正確答案】BD【詳解】如圖，以D為坐標原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，故，則，故不垂直，即不垂直，A錯誤；又，故，由于異面直線所成角的范圍為大于小于等于，故與所成角為，B正確；由A的分析可知不垂直，又,即四邊形為平行四邊形，則，故不垂直，若平面，平面，則，這與不垂直矛盾，故和平面不垂直，C錯誤；平面的法向量可取為，則，而線面角范圍為大于等于小于等于，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角為，D正確，故選：BD11．【正確答案】AC【詳解】由于，知，及其，則，解得，對AB，，設函數，，故在上單調遞減，則1，即，故A對B錯；對C，由于，設，，故在上單調遞減，，故，若，故C對；對D，，設，，令，則，則，，則，，則在上單調遞增，在上單調遞減，，故，即，故D錯誤.故選：AC.12．【正確答案】【詳解】，，則.故答案為.13．【正確答案】（答案不唯一，或填）【詳解】設公切線與相切的切點為，與相切的切點為.由，則，則公切線方程為，即；由，則，則公切線方程為，即；所以解得或.故曲線和的公切線方程為或.故（答案不唯一，或填）14．【正確答案】【分析】設，，由圓和橢圓的性質和已知條件可得，，，則有，通過構造函數，利用單調性求出值域，得的取值范圍，可求離心率的取值范圍.【詳解】設，，因為點A在第一象限，所以.又A，B均在以線段為直徑的圓上，所以四邊形為矩形，即．因為，所以，即.因為，，所以，即.因為，設，，則，.對勾函數在區間上單調遞增，所以，即.當時，解得，即，解得；當時，解得，即，即，所以.故答案為.方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．15．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）利用二倍角公式化簡等式，解出即可；（2）根據正弦定理求出角,再利用三角形面積公式計算即可.【詳解】（1）由已知可得,，解得.因為為銳角，所以，所以，所以.（2）由題，，又由正弦定理，得.因為，所以或.當時，，所以；當時，，所以，所以的面積為或.16．【正確答案】(1)極大值為，無極小值；(2)【詳解】（1），定義域為，，令得，令得，故在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值，極大值為，無極小值；（2）當時，不等式恒成立，令，，則，故，解得，當時，，令，則，故在上單調遞增，故，故，滿足要求，當時，不合要求，綜上，a的取值范圍是.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）連接，由四邊形為菱形，得，由，得，又平面平面，平面平面，面ABC，則平面，又平面，于是，而，則，又，平面，因此平面，又平面，所以（2）點到平面的距離，即三棱錐的底面上的高，由（1）知平面，則三棱錐的底面上的高為，設點到平面的距離為d，由，得，而，，則的面積，由，，得，又，，則，又，，由余弦定理得，則，的面積，則，即，所以點到平面的距離為.18．【正確答案】(1)(2)，過定點，證明見解析.【詳解】（1）將兩邊平方，可得，化簡可得，整理得，所以曲線C的方程為.（2）(i)設點，由(1)知曲線的準線為，設F1,0，根據拋物線性質可知，而由題意知可知，由題意可知直線過1,0且與直線交于點1,0，所以可知所以，由，消去得，根據韋達定理可知，所以，由題意可知將其與曲線聯立同理可解得，，所以則由不等式性質可得，所以四邊形ACBD面積的最小值為；(ii)由(i)可知，所以點橫坐標為，帶入到直線，可求得點縱坐標為，所以點同理可求得，所以直線的斜率為，所以直線方程為，所以直線過定點.19．【正確答案】(1)個(2)①分布列見解析，；②【分析】（1）由題根據分步計數乘法原理，即可確定