第頁(yè)|共頁(yè)2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)（理科）一、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.1、設(shè)全集．若集合，，則．【答案】【解析】因?yàn)椋浴究键c(diǎn)定位】集合運(yùn)算2、若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則．【答案】【解析】設(shè)，則【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)相等，共軛復(fù)數(shù)3、若線性方程組的增廣矩陣為、解為，則．【答案】【解析】由題意得：【考點(diǎn)定位】線性方程組的增廣矩陣4、若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且其體積為，則．【答案】【解析】【考點(diǎn)定位】正三棱柱的體積5、拋物線（）上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，則．【答案】【考點(diǎn)定位】拋物線定義6、若圓錐的側(cè)面積與過(guò)軸的截面面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為．【答案】【解析】由題意得：母線與軸的夾角為【考點(diǎn)定位】圓錐軸截面7、方程的解為．【答案】【考點(diǎn)定位】解指對(duì)數(shù)不等式8、在報(bào)名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）．【答案】【解析】由題意得，去掉選5名女教師情況即可：【考點(diǎn)定位】排列組合9、已知點(diǎn)和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分別為雙曲線和．若的漸近線方程為，則的漸近線方程為．【答案】【考點(diǎn)定位】雙曲線漸近線10、設(shè)為，的反函數(shù)，則的最大值為．【答案】【解析】由題意得：在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，其最大值為【考點(diǎn)定位】反函數(shù)性質(zhì)11、在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）．【答案】【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)展開(kāi)式12、賭博有陷阱．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有，，，，的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的倍作為其獎(jiǎng)金（單位：元）．若隨機(jī)變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則（元）．【答案】13、已知函數(shù)．若存在，，，滿足，且（，），則的最小值為．【答案】【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)性質(zhì)14、在銳角三角形中，，為邊上的點(diǎn)，與的面積分別為和．過(guò)作于，于，則．【答案】【考點(diǎn)定位】向量數(shù)量積，解三角形二、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.15、設(shè)，，則“、中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“是虛數(shù)”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件【答案】B【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)概念，充要關(guān)系16、已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)幾何意義17、記方程=1\*GB3①：，方程=2\*GB3②：，方程=3\*GB3③：，其中，，是正實(shí)數(shù)．當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，下列選項(xiàng)中，能推出方程=3\*GB3③無(wú)實(shí)根的是（）A．方程=1\*GB3①有實(shí)根，且=2\*GB3②有實(shí)根B．方程=1\*GB3①有實(shí)根，且=2\*GB3②無(wú)實(shí)根C．方程=1\*GB3①無(wú)實(shí)根，且=2\*GB3②有實(shí)根D．方程=1\*GB3①無(wú)實(shí)根，且=2\*GB3②無(wú)實(shí)根【答案】B【解析】當(dāng)方程=1\*GB3①有實(shí)根，且=2\*GB3②無(wú)實(shí)根時(shí)，，從而即方程=3\*GB3③：無(wú)實(shí)根，選B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出=3\*GB3③有實(shí)根【考點(diǎn)定位】不等式性質(zhì)18、設(shè)是直線（）與圓在第一象限的交點(diǎn)，則極限（）A．B．C．D．【答案】A【考點(diǎn)定位】極限三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。19、（本題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，、分別是、的中點(diǎn)．證明、、、四點(diǎn)共面，并求直線與平面所成的角的大小.【答案】【考點(diǎn)定位】空間向量求線面角20、（本題滿分14分）本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分如圖，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過(guò)小時(shí)，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為千米/小時(shí)，乙的路線是，速度為千米/小時(shí).乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時(shí)乙到達(dá)地.（1）求與的值；（2）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離是千米.當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過(guò)？說(shuō)明理由.【答案】（1），（2），不超過(guò).因?yàn)樵谏系淖畲笾凳?，在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超過(guò).【考點(diǎn)定位】余弦定理21、（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題6分，第2小題8分.已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為.（1）設(shè)，，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明；（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）22、（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題.第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.已知數(shù)列與滿足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即（），求證：數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；（3）設(shè)，（），求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析（3）當(dāng)時(shí)，，符合上式.所以.因?yàn)?，所以?=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，不存在最大、最小值；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，而；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值，最小值，由及，得.綜上，的取值范圍是.【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列，數(shù)列單調(diào)性23、（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在正常數(shù)，使得是以為周期的函數(shù)，則稱為余弦周期函數(shù)，且稱為其余弦周期.已知是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其