2024-2025學年河南省開封市高二上學期11月期中考試數學檢測試題一、單選題1．過兩點的直線的傾斜角是，則（

）A．2 B． C．4 D．2．已知空間向量，.若，則（

）A．12 B．10 C． D．3．若橢圓的焦距為2，則實數的值為（

）A．3 B．3或5 C．5或8 D．84．已知點是圓外的一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．橢圓的左、右焦點分別為，，過點且與長軸垂直的直線交橢圓于，兩點．若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）．A． B． C． D．6．設直線與圓相交于兩點，且的面積為8，則（

）A． B． C．1 D．7．如圖，在三棱錐中，是邊長為3的正三角形，是上一點，，為的中點，為上一點且，則（

）

A．5 B．3 C． D．8．已知是曲線上的動點，是直線上的一個動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且．則下列說法中正確的是（

）A． B．離心率為C．的面積為6 D．的面積為1210．圓和圓的交點為，則有（）A．公共弦所在直線方程為B．線段中垂線方程為C．公共弦的長為D．為圓上一動點，則到直線距離的最大值為11．在邊長為2的正方體中，為邊的中點，下列結論正確的有（

）A．與所成角的余弦值為B．過，，三點的正方體的截面面積為3C．當在線段上運動時，的最小值為3D．若為正方體表面上的一個動點，，分別為的三等分點，則的最小值為三、填空題12．已知直線與直線平行，則.13．在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段AB的中點，則直線FC到平面的距離為．14．已知橢圓（）的長軸長為4，離心率為.若，分別是橢圓的上、下頂點，，分別為橢圓的上、下焦點，為橢圓上任意一點，且，則的面積為.四、解答題15．在中，角的對邊分別是，且．(1)求角的大?。?2)若，且，求的面積．16．已知，圓是的外接圓．(1)求圓的方程；(2)若直線過點，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程．17．如圖，在三棱柱中，平面平面，側面為菱形，，，底面ABC為等腰三角形，，是AC的中點.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面的夾角余弦值為，求直線OB與平面所成角的正弦值.18．如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點，焦距為；斜率為的直線與橢圓相交于異于點的，兩點，且直線PM，PN(1)求橢圓的方程；(2)若，求MN的方程；(3)記直線PM的斜率為，直線PN的斜率為，證明：為定值.19．已知圓的方程為.(1)求過點的圓的切線方程；(2)已知兩個定點，，其中，.為圓上任意一點，（為常數）.①求常數的值；②過點作直線與圓交于、兩點，若點恰好是線段的中點，求實數的取值范圍.答案：題號12345678910答案BABDACDCABCABD題號11答案AC1．B【分析】利用兩點坐標求斜率與斜率的定義即可得解.【詳解】因為過兩點的直線的傾斜角是，所以，解得.故選：B.2．A【分析】通過兩向量的平行關系即可確定、值，即可求解.【詳解】因為，所以有：，解得，，所以.故選：A.3．B【分析】結合橢圓性質，分焦點在軸、軸上計算即可得.【詳解】當橢圓的焦點在軸上時，有，故，當橢圓的焦點在軸上時，有，故.故選：B.4．D【分析】根據和點在圓外得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】由題意得且，解得.故選：D5．A【分析】借助等邊三角形性質與離心率定義計算即可得.【詳解】設，因為為等邊三角形，則，，因為，所以橢圓的離心率為．故選：A.6．C【分析】利用三角形的面積公式可得，由圓心到直線的距離，再利用點線距公式建立方程，解之即可.【詳解】由三角形的面積公式可得，得，由，得，所以為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式得，解得.故選：C7．D【分析】以為一組基底，表示求解.【詳解】解：以為一組基底，則，，，，，，，所以.故選：D8．C【分析】曲線C表示以為圓心，以1為半徑的圓，先求得點關于直線的對稱點，然后由求解.【詳解】解：如圖所示：曲線，即為，表示以為圓心，以1為半徑的圓，設關于直線的對稱點為，則，解得，即，連接，，則，，當且僅當共線時，等號成立，所以則的最小值是，故選：C9．ABC【分析】根據橢圓的標準方程求出，再由題意及橢圓定義列出方程求解可判斷A，根據離心率定義判斷B，根據A可知三角形為直角三角形，求面積可判斷CD.【詳解】由，得，則，因為是橢圓上一點，所以，因為，所以，，故A正確；對于B，離心率為，故B正確；對于CD，因為，所以為直角三角形，，所以，故C正確，D錯誤．故選：ABC10．ABD【分析】直接把兩圓的方程作差判斷A；利用直線方程的點斜式寫出線段的中垂線方程判斷B；求出公共弦長判斷C；由到的距離加上的半徑判斷D．【詳解】對于A，由與，兩式作差可得，即，∴公共弦所在直線方程為，故A正確；對于B，圓的圓心為1,0，圓的圓心，由圓的性質可得的中垂線為，可得的中垂線方程為，即，故B正確；對于C，圓心到直線的距離，半徑為，則，故C錯誤；對于D，為圓上一動點，圓心到直線的距離為，半徑，則到直線的距離的最大值為，故D正確．故選：ABD11．AC【分析】建系，由異面直線夾角向量法即可判斷A,取的中點，連接，，，確定即為截面即可判斷B，由對稱性得到進而可判斷C,設點關于平面的對稱點為，連接，可判斷當與平面的交點為時，最小，即可判斷D.【詳解】以為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，∴，∴與所成角的余弦值為，故A正確；取的中點，連接，，，則，故梯形為過點，，的該正方體的截面，∵，，，∴梯形的高為，∴梯形的面積為，故B錯誤；由對稱性可知，，故，又由于，，，四點共面，故，當為與的交點時等號成立，故C正確，設點關于平面的對稱點為，連接，當與平面的交點為時，最小，過點作的平行線，過點作的平行線，兩者交于點，此時，，，故D錯誤.故選:AC.12．1【分析】兩直線平行，則它們斜率相等.對于直線，其斜率.我們先分別求出兩直線的斜率，然后根據平行關系列出等式求解的值.【詳解】對于直線，根據斜率公式，這里，，所以.對于直線，這里，，所以.因為與平行，所以，即即解得或.當時，直線，直線，兩直線平行.當時，直線，直線，化簡為，此時兩直線重合，不符合要求，舍去.故1.13．/【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量后可求線面距.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，故，而平面，平面，故平面，故直線FC到平面的距離為即為到平面的距離.設平面的法向量為，又，故，取，則，而，故到平面的距離為，故答案為.14．【分析】先根據長軸及離心率列式求出a,b,c得出橢圓方程，再設點應用數量積得出點P的坐標，最后計算面積即可.【詳解】因為,所以,所以橢圓方程為,設,橢圓的上、下頂點,所以且，所以，所以即得.故答案為.15．(1)(2)【分析】（1）根據題意，由正弦定理邊化角，代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，由余弦定理結合三角形的面積公式代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）因為，所以根據正弦定理得，因為，所以，即，即．因為，所以．因為，所以．（2）．因為，所以①．因為，所以②．聯立①②可得，解得（負根舍去），故的面積為．16．(1)(2)或．【分析】（1）設圓的一般方程為,代入三點的坐標求解即可；（2）由題意可得心到直線的距離，分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況分別求解即可.【詳解】（1）解：設圓的一般方程為，因為圓過三點，所以，解得，所以圓的一般式方程為．（2）解：由（1）可知圓心為，半徑，又被圓截得的弦長為6，所以由垂徑定理可得圓心到直線的距離，

當直線的斜率不存在時，過點，所以的方程為，圓心到直線的距離，故滿足要求．當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，又過點，所以直線的方程為，由點到直線的距離公式可得，解得，直線的方程為．綜上所述，直線的方程為或．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）分析得，面面垂直轉化為線面垂直，由線面垂直的性質可證明結論.（2）以為原點建立空間直角坐標系，設，表示各點坐標，計算平面與平面的法向量，利用條件求出的值，根據線面角向量公式求出結果.【詳解】（1）如圖，連接，菱形中，由得為等邊三角形，∵是AC的中點，∴，∵平面平面，平面平面平面，∴平面ABC，∵平面，∴平面平面ABC.（2）由（1）知平面ABC，∵，是AC的中點，∴，以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，∵，為等邊三角形，∴.設，則，∴，設平面法向量，則，令，得，設平面法向量，則，令，可得，∴，由，解得，∴.設直線OB與平面所成角為，，即直線OB與平面所成角的正弦值為.18．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據條件列方程組求解即可；（2）設直線的方程為，與橢圓聯立，由弦長公式求得的方程；（3）將韋達定理代入中計算結果為定值．【詳解】（1）由橢圓C:x2a2+得，解得，故橢圓的方程為．（2）設直線的方程為，，，聯立，消去得，由，得，則．，解得或，當時，直線的方程為；當時，直線經過點，不符合題意，舍去．所以當時，的方程為．（3）證明：直線，均不與軸垂直，所以，，則且，所以，所以為定值．方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系，涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關直線與圓錐曲線聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19．(1)或(2)①；②【分析】（1）分類討論，先確定斜率不存在時直線是否是切線，在斜率存在時，利用圓心到切線的距離等于半徑求解；（2）①設點，把已知條件用坐標表示并整理后它與（1）中圓方程相同，由此可求得；②設，由中點得點坐標，由在圓上得關于的方程組，方程組有解轉化