2017年寧波大學理學院871高等代數考研強化模擬題(一)說明：①本資料為VIP學員內部使用，嚴格按照2017考研專業課大綱及歷年?？碱}型出題。 一、填空題設、為工2卜尸+事=1的外側，則+1)如位+)(_/+l)dNdx+z(/+1)<Lrdy=【答案】礬【解析】利用高斯公式得+】)/dr=?-y+z2)+3]dv(其中nu2+?+?<]> 設錐面z=與半球面圍成的空間區域，￡是。的整個邊界的外側，貝IIxdydz+ydzdx+zdxdy= 【答案】(2—j2)7tR3+>dzdx+zdxdy=j|J(l+1+l)dvS n=3jd。]'d"r2sin(pdr(2-V2)7tR33.設C為上半圓周 y=42x~?從。(0，。)到人(2,0)的弧段，-2y)dx+(x2-V)yeyZdy= 【答案】2-六【解析】補線段布則2>)dx+(x2 1>>^d>[(xe>2-2》)&+(x22>)dx+(x2 1>>^d>(工/'—2少L十(工2—Dy/'d)一I(xe,ic+WJ 志=-用曲-jxdi4.若函數KxBE方程廣(x)+尸(x)-2f(x)=0及/〃(x)+f(x)=2ex,則Kx)= 【答案】e 【解析】由題意知’函數f(x)的特征方程為『+「一2=0,則特征根為n=i，乓=一2,故齊次微分方程.尸(x)+r(x)-2f(x)=0的通解為f(x)=Clex+C:e2r,CPC2為任意常數。再由f(x)+f(x)=2ex得2(7打一弓檢=2"可知q=l,C2=0.故f(x)=e\設曲線C為圖『+)，2=R2,則線積分"尸”2+『枷= c【答案】2牌【解析】§2巧&=0(奇偶性，對稱性)C+y+2書)ds=§(/+y2)ds=&2ds=R2?2itR=2江肥c設讓=(1.2.1J.OS-(-2,-1.1｝則以京,冶為邊的平行四邊形的面積為 【答案】373【解析】由于以兩個向量為邊的平行四邊形的面積，等于這兩個向量的向量積的模，貝|応T,oB的向量積為i Jkr)A=1 2 l=3i-3/+3A2 11故以瓜,漆為邊的平行四邊形的面積，即為京，漆的向量積的模 |O4XOB|=v/3f+(-3),+3,=3>/37.曲線\，=X2+X(X<0)上曲率為生的點的坐標是 2【答案1(-1.0)【解析】將y'=2x+l.礦'=2代入曲率計算公式，有K=ly"— 2一(2嚴卩心+驢］廠2整理有(2x+1)2=1.解得x=0或-1,又xv0,所以x=-1.這時y=0故該點坐標為(10)8.函數/(x,.y)=x2.y(4-x-y)S由直線；r+y=6,'軸和y軸所圍成的閉區域D上的最小值為 【答案】-64【解析】由

=2書=2書(4一H—>)—a^y=0得區域D內駐點(2,11在邊界y=0(0W工W6)上，z=0：在邊界i=0(0W.y<6)上，z=0：在邊界z+y=6 6)上z=2xs—12/(0<iW6>’紜=6?-24工。令睛=°，得1=4,此時)=2,八4,2)=—64,八2,1)=4,/(0,0)=0,則Z=f(X,y)在D上的最大(2,1)=一4,最小值為f(4,2)=一64。9.設封閉曲線L的極坐標方程為「=%3仞-冬0片)，則L所圍平面圖形的面積是-【答案】§【解析】A=顎產⑹cos2^d^lfjcos2曲=%。10.設曲面|工|+|刃+|/|=1，則g(i+l刃〉dS=【答案】號有【解析】由于X是關于X的奇函數，且積分曲面|1|+|y|+|紀|=1關于yOz對稱，故°0又因為積分曲面關于X,y,Z具有輪換對稱性，則°0又因為積分曲面關于X,y,Z具有輪換對稱性，則=iJ(§S(S為曲面面積〉=jX8X^二、選擇題11.f(x)可導,F(x)=f(x)(l+|sinx|>則f(0)=0F(x)在x=0可導的(充分必要條件充分條件但非必要條件必要條件但非充分條件既非充分條件又非必要條件【答案】A【解析】(0)=limF(x)-F(0)x-0lim(0)=limF(x)-F(0)x-0lim￡Cr)<l+siar)-/(0)7 1=吧[施；+s半]=r(°〉+/(0).FC(0)=limF(g)_?(。)=]im六尖(】一siar)—之0)7 1—0I- 1=lim[及)嚴)-/(x)平卜/(O)-/(0).當f(0)=0時，mo)=F_(O)，反之當《(0)=F「(0)時，/(0)=0,因此應選(AI12.設平面n位于平面x—2>+z—2=0和平面_r一2y+z—6=0之間,且將二平面間的距離分成1:3,則n之方程為( Ii—2y+z—5=0或工一2y+z—3=0i+2y+w+8=0C?x+2y-4N=0D.x—2jr4-x—8=0【答案】A【解析】由于B、C兩項多給出的平面方程的各項系數與已知直線不同，故它們與已知直線不平行，故可排除B、C；D項平面與已知直線平行,但是不在兩平面之間(可由常數項-8任(-2-6)判斷岀)，故H滁D.-13.己知函數z=f(x,y)滿足京=2J(l,y)=y+Lf(1,y)=y+2,則f(x,y)=().A.x2+(y-l)x+2A.B.x2+(y+\)x+2B.x2+(y+\)x+2C.j+(y-l)x—2D.x2+(y+l)x-2D.【答案】A【解析】由扌j=2知祭=Rdi=2工+<p(y)，由厶(1,》)=了+1知y+1=2+?(’),=、一1,案=2了+(?—1)*=j[2x4-(y-l)]dx=x*+<>-Dx+^>(y).由/(l,y)=y+2知y+2=1+(y—1)歐(y)=2,t=x*+(y—1)x4-2.14.設lim(x.y)->(O.Ojf(x,y)-f(014.設lim(x.y)->(O.Ojf(x,y)-f(0t0)+2x-y=°則f(x,y)在點(0,0)處()?A.不連續連續但兩個偏導數不斑兩個偏導數不存在但可微D可微【答案】DI- —/（0,0）-\-2x—y八［解析］由 =咖，-/（0,0）+2工一y=0（p〉（當（x,y）一（0,0）時）八3）—，（。，0）=-2z+y+o（p）由微分的定義可知f（x）在點（0,0）處可微。15.已知。xS+Bxc+cxa=0則必有（ 1&b,c兩兩互相平行ab,c兩兩互相垂直Cab,c中至少有一個為零向量D.ab,c共面【答案】D【解析】由axi+fexc+cxa=0知（axb）c+（bxc）c+（cxa）c=0X（bxc）c+（cxa}c=0,則（axb）c=。故ab.c共面。16.設函數z=f（z,y快點（0.0）處連續，且心％_提）+廠七則（fx（0.0）不存在f,（0,0）存在但不為零f（x,y）在（0,0）點取極大值f（x,y）在（0,0）點取極小值【答案】C八工，y）【解析】解法一:由口知］二分虧=_2及f（x,y）在點（0,0）處的連續性知f（0,0）=0,而又由履％。>廠7奈泮虧LTV。及極限的保號性知存在（0,0）八工，y）― V01—cosvx24-y'而1—cos +丁>0,貝!］，（吋）V0,又f（0,0）=0由極值定頗f（X,y）在點（0,0）取極大值。解法二:由于當（工。）-（0,。材1—cosvxM-y?yCx14->2)

iim*IXC）香咽福尊:中廨演陋4.6L邛(一)/國1=”p(s)/T邛I?jtj ?ij?jS'琢&翎還【少釦a［孝新頑*)/：ppjpxp(<^)/T<P°fDXU|J煩3)/JSj用.頃*)/"J?VX )匣"#)/rJ?MJ對￥傳推謝募?機(0?(0?0)/u= =a9(如)(心/心叩（”'勺4［罕國（J=叩（W）J『割，詛狗中好燈甲【鳥翻】0聞］21（0，0）」亍珪目丑幼（］

（0*0）J&珪目五％（0'0）JzL金目丑互日豐一玄V?（）。心次）/，早飼価德登壬迫丑”，）JgjwL頷三aav麴EM凰￥珍酒（o'o）草丑以，x）j曲紳劇*電目0=（0,0）7?初’土滂涇覇舌嬰驟習（"+產）一=（《‘，）/潴

。?拝【答案】C【解析】A【解析】A項為正項級數,因為削土一=1史號;

r=r<1'所以根據正項級數的比值判別法可知*收斂:B法可知*收斂:B項為正項級數'因為為”(1?+)~擊，又堂±是P級數，Pi收斂，根據比較判別法’知三斂，根據比較判別法’知三與叫1.土)收斂；C項lii/iyHI=y(?I，

MInn一=Innlii/i根據萊布尼茨判別法知辭收斂，M[卩發散，所以根據級數收斂定義知,y?Fy?F福;—發散：D項為正項級數，因為(n+1)!lifiiIlifiiI(〃,1)!/Tn[7n!(E廣所以根據正項級數的比值判別法￡丄收斂.n20b‘20b‘3-23-2a1--1設A.BGD.c均為單位向量，且a+b+c-O,則a?b+b?c+c?a等于(【答案】B【解析】由于a+b+c二0,則(a+b+c)(a+b+c)=0,即Q‘卜8'+c'+2(<l? + =0其中『=/=甘=1則a?b+6?c+c?G=—三、計算題21.設f(x)是周期為2n的函數，它在l-mQ上的表達式為.f°?xw[-n,0)/，X)=U,xe[0,.)將f(x)展開成傅里葉級數。

【答案】f(X)滿足收斂定理的條件,且除了x=u(kEz)外處處連續。=+。加)&=an=—J/(x)cosnxdx=ecosnxex【答案】f(X)滿足收斂定理的條件,且除了x=u(kEz)外處處連續。=+。加)&=an=—J/(x)cosnxdx=ecosnxexsine*sinnxexcosnxdx'cosnxdx=—IcoszixdexirJO_(-1)七宣_1

(n2+1)ir而bn=丄Jf(x)sinnxdx=exsinnxdi=—(exsinnx

ITV于是sinmdp*ecos/(x)=n2+1 n2+1 JxgR\]kir\keZ.\.試決定曲線y=揷+bx2+cx+d中的a.b.c,d,使得x=-2處曲線有水平切線,(1,-10)為拐點,且點(24,4)在曲線上?！敬鸢浮縴'=3ax2+2Z?x+c,yn=6ax+2b根據題意有y(-2)=44.礦(-2)=0,y(l)=-10.y"(l)=0廣2c+d=44、"2m,10?16a+26=0,解此方程組得a=1,b=-3,c=-24,d=16o/V2,2.在第一卦限內作橢球面m+很+w=1的切平面，使該切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積最小.求這切平面的切點’并求此最小體積.【答案】徹點為MEo.y。％)，F3j,z)=￡+*+§-1abc〃=（""）=（務餐號）曲面在點M處的切平面方程為專（耳-?0）+汐，-y＜））+，z-z0）=0即xoxrorzoz.r+r+ =1a2b2c22l22于是’切平面在三個坐標軸上的截距依次為一，——?——，切平面與三個坐標面所圍成的四xoToz0面體的體積為V二丄.些6WqZo在WWg=I的條件下’求V的最小值’即求分母xyz的最大值。作拉格朗日函/b‘cL數▲3,y，z）=町］+入份+fl+乒-1）令=32+ =0a(9-II)L.=“+綽=0b"(9-12)(9-13)(9-11)?x+(9-12)?y+(9-13)?z，并由約束條件§+ =1，得x2/=^=±q2b2c23從而ab c于是,得可能極值點?”信會3）。由此問題的性質知，所求的切點為"（言萬房），

四面體的最小體積為V=Qabc24.求球面，+y2+?=/含在圓柱面/+,2=q?內部的那部分面積?！敬鸢浮咳鐖D所示，上半球面的方程為z=/a2-y2o由曲面的對稱性得所求面積為TOC\o"1-5"\h\z25.求通過點A(3,0,0)和B(0,0,1)且與xOy面成了靜的平面的方程.X ， Z［答案］設所求平面方程為一+ ］a b c平面過點A(3,0,0),B(0,0,I),故a=3,c=1.這樣平面方程為它與xOy面成靜，故毎“"I故所求平面為x+^26y+3z=3或％-y26y+3z=3.四、證明題26.ffi-ABC的BC邊五等分，設分點依次外，〃2?3，以，再把各分點與點A連接.試以屆*，BC二a表示向量,舊，驀'和如【答案】如圖所示，由題意知8D；= =!<1.。2房=ya,D3D^=ya所以D|4=—(+BDI)=-■:a-c=-(4^+HD^)=—a-c-(AR^BD^)=■-ya-cD^A=_(扁+殞)=-^-a-c27.試證函數F(x,y)=lnx-Iny滿足關系式F(xy.uv)=F(?tu)+F(x,v)?F(y.u)?F(y.ir)【答案】由題意，得F(.tv,uv)=In(xy)?ln(ui)=(hi.r+Inv)(Inn+hn)=In.v,Inu+In.r?Inr+hiv,\nu+Inv?InrF(x.u)+F(x.v)+F(y.h)+F(y.v)

28.設f(x)在2，正)內連續，且Iim/(x)=le證明函數滿足微分方程4—eU牛+y=/(x),并求limy(x)。dx【答案】=e~xVeKf(t)dt+e'x-exf(x)=-y+f(x)dxJ()因此,匸”(兩=J：ey(g+J；e*/(f)d/>fe7(r)dz+J；|e^dr=『<f(f)df+ (工一X。)，故當xT+oc時，從而利用洛必達法則，有[：/力 exf(x)limy(x)=lim =lim =1Xfg I4<? 礦 Kffg]29.驗證羅爾定理對函數'=lnsinx在區間偉專上的正確性?！敬鸢浮亢瘮礷(x)=lnsinx在［誇］上連續,在(完)內可導,又/■(#)=臨嶗=In扣俘)=Insin*Inj.30.證明：(1)由平面圖形旋，0<y</(x)(x),繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積為V=2^￡xf(x)dx0(2)利用(1)30.證明：(1)由平面圖形旋，0<y</(x)(x),繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積為V=2^￡xf(x)dx0(2)利用(1)的結論，計算曲線y=sinx(O&或廂x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉所得旋轉體積?！敬鸢浮?1)取橫坐標x為積分變量，在與區間［&b］上任一小區間［x,x+dx］相應的窄條圖形繞y軸旋轉所成的旋轉體近似于一圓柱殼，柱殼的高為f(x),厚為dx,底面圓周長為2nx,故其體積近似等于hxf'x)dx,從而由元素法即得結論。(2)V=2兀ja-sinxdx=/jsinxdx=2tt2.2017年寧波大學理學院871高等代數考研強化模擬題（二）說明：①本資料為VIP學員內部使用，嚴格按照2017考研專業課大綱及歷年?？碱}型出題。一、填空題1.已知級數￡寸孕二收斂，則a應滿足【答案】a>j【解析】由于+1lim+1lim—lim尊旦則原級數與級數習土同斂散，而當且僅當2-*時級數笠上才收斂。2.=12.=1，取逆時針方向,貝虬（9/+府）（卜協+裕）【答案】216n【解析】1=Jc(9x2*4/)(|,|&"d>)=36fc(7*j)(lyldx^xdy)

=36jcl》|dx+舛解法一：再用參數方程化為定積分：x=2cos￡)=3smt,￡e[0,27r],則有/=36I[3|?inr|2(-sinr)?2com/?3coM]<lr36x6(-J*IsinlIsin/dt36x6(0?”36x6(-J*IsinlIsin/dt36x6(0?”)=2I6tt解法二：為了去掉絕對值，把c分成兩段：q（i=L2）,分別位于上半平面與下半平面，并配上坐標軸部分，分別構成閉曲線4（1=1，2），均為逆時針方向，見下圖。2 236gjyIdx?xdy=36R'|y|<lx?idy其中坐標軸部分取積分兩次，但方向相反抵消了。W=l，2)圍成的區域記為4?=1,2),它們的面積相等為3兀在2(uL2)上用格林公式得/=36(jydx?xdy?J-ydx?xd>)=36(Jo<la?Jldcr)=36x2x3u=2l6n解法三：直接利用對稱性C關于X軸對稱,P(x,y)=\y\對y為偶函數，貝Ijjc^x=o于是原積分=Jc36移=216兀3.函數y=火］)由方程In山+寸=arctan乎所確定’則謬=【答案］2尸+匕)【解析】構造函數FGr,y)=yln(x2+/)-arctan。則■T —,/工.業=_烏=-Z±Z_1±(2^L=山drF,y 】/z x—>N+bl+(yWcfy=仁+」｝'=(1+」)(〔一>)-(i+y)(l一J)=2(/+/)<Lr:~\j--yL- (x-y): <x-y)Jt—1y—22—3 X+2y—1z4.設有直線L】:〒=%-=-q-,&飛一=%—=廠則過Li且與L2平行的平面方程為【答案】(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0【解析】設所有平面的法向S^k,由題設知：mix“」10i21

由于所求平面過1,則點(1,2,3)在所求平面上，則所求平面為(x-l)-3(^-2)f(r-3)=0.5.級數￡名的和為 fl=iJ9【答案】y【解析】令則有S(x)= ,(lx|<1)?-1 援目則有S(x)= ,(lx|<1)?-1 援目=蜻-嚀6.1血(2-業約%—°I。x【答案】Jx-ta(Ux)【解析】晚［2.嘩邛啊半)］律「r哩單』7.設￡=-3吁)+R(于)’其中f、g均可微,則靜= 【答案】必+y,-/‘【解析】設廠|為函數/(如V風第一中間變量的偏導，廣2為函數f(払V)對第二中間變量的偏導，g'為函數g對x的導數。貝uJn_a/(_ry口/y)〔3—*/工)M Bx=fi?y+gz(—y/r1)=f一聲，8.(1)函數f(x)在［a,b］上有界是f(x)在［a,b］上可積的 條件，而f(x)在［a,b］上連續是f(x)在［a,b］上可積的 條件；(2)對［a,E)上非負、連續的函數f(x),它的變上限積分［7(。力在［a,E)上有界是反常積分［'fMdx收斂的 牛。

（3）絕對收斂的反常積分'/⑴心一 °【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收斂y為有9.第二類曲線積分+Qdzdx+Rdxdy化成第 類曲面積分是 ,其中a,向曲面乏在點〈X，y,z）處的 y為有【答案】JJ（Pcosa+Qcos"+/?cos〃dS,法向量。 10?間荷尸一【答案】y（V2-l） ［解析］晰分鴻，得J3K-^=d.r=甘：7^如=抑-1）二、選擇題11.有物質沿函數X=IC：b=f/2(0<f<1)

?=e/3分布,其線密度為“=角，則它的質量m=（ 1 A. A.￡/vTTTT^dz B.J\+—+廠山 C C?[+Hdf D.vTT7T?"d/【答案】A【解析】 yrr+yr+tfd/(1)xdy-ydxxdx+ydy(1)xdy-ydxxdx+ydy(3).. 12.下列曲線積分。⑵ Ix+y⑷ 中,有平面線D：x2+），2>0上與路徑無關的有（個個個個個個個個1234A.B.C.D.【答案】Bfzdy—yAx dP<9Q【解析】對于］■+}在D內雖有祈=而;成立。但不能斷定該線積分在D內與路徑無關，因為D不是單連通域，而§?？`'=§idy—<y&=jj(1+l)tLrd>=2芥尹0fxdv—ydx則線積分J=f車亍一在D上與路徑有關。而對于(2)和(3),由于普濬=diin(x2+皿竺竺些=d+y2 Vx2+y2idz+ydyfxdj+ydv即其被積式在d上是某個二元函數的全微分，則線積分疽廠",匕..」在dfxdv+ydx上與路徑無關。而對線積分|「2*y2I，由于3,工、=工2+一一2了2=-T

d^x2+yz)_(x2+y)2_&2+—)23(y.=F+. 2,=了2一了2x2+y2)~ (x2+/)2 ~(x2+j2)2r)P fxdv4-vcLr即挙壬*則線積分Iw節戸5。不與路徑有關。13.設函數代x,y)?且對任意x,y都有”判>0,堂舊〃<0,則使得/(.%..“</(七,方

3dy成立的一個充分條件是( XXj>x2,V|<y2%>.v?.V|>y.f<5<vo.xl<x2,yl>y2【答案】d

【解析】竺業＞0,竺1丑＜()表示對于固定的y，函數f(x,y)關于變量X是單調遞ox oy增的：對于固定的X,函數f(x,y)關于變量y是單調遞減的。因此，當，＜七且'：＞.土時,必W/(ApyI)＜/(x2,y2).合214.設u(x,y)在平面有界閉區域D上連續’在D的內部具有二階連續偏導數，且滿足￥提0及蕓+與經=0,及蕓+與經=0,則(dx2dy2u(x,u(x,u(x,u(x,【答案】【解析】y)的最大值點和最小值點必定都在區域d的邊界上y)的最大值點和最小值點必定都在區域d的內部)的最大值點在區域D的內部，最小值點在區域D的邊界上)的最小值點在區域D的內部，最大值點在區域D的邊界上A由于u(x,y)在平面有界閉區域D上連續，故u(x,y)在D內必然有最大值和最小值，并且若在內部存在駐點,即三=*=0，則在這個點處合3d'ud~uc'uA=裁,C=苛，8=葯=磕，由條件知，AC-B＜。，貝lJu(x,y)不是極彳直點，當然也不是最值點，故u(x,y)的最大值點和最小值點必定都在區域D的邊界上。.下列結論中，錯誤的是( ).e+2式2+y2=0表示橢圓拋物面.x2,2y2=1+3『表示雙葉雙曲面/+y2-(x-I)2=0表示圓錐面注=5.t表示拋物柱面【答案】B【解析】X2+2子=1+3,2表示單葉雙曲面..設l'(x)有連續的導數,f(0)=0,ESQ由柱面.F+y2=/"＞()間兩平面=0,Z=1所圍成’則lim4ffff(x2+j2所等于( 1/rf(0)/rf(0)-f(0)2yf'(0)

【答案]【答案]D【解析】由題意得fdo[y(，)rdr|*dz [/XrOrdr-limE山一: =2klim厶一~;——=2吧幣”可鏟=亨如穿紅訂(3設向量a,b.c滿足關系式0??=a.c.則( X必有a=0或D=c B.必有。h6—c=0C.當。尹0時必有b=c D.必有。丄(》一。)【答案】D【解析】由a?8=g?c可知。?b—a?c=0故a?(b-c)=O.a丄(b-c).設/(x)=則f(x)在x=1處的((A)左、右導數都存在(B)左導數徳，右懿不存在(C)左導數祐在，右弱存在(D)左、右導數都不存在【答案】B【解析】旦f尸-⑴f也二格=limL廠 匸土Z-工_1=limg? y=lim爭x2+工+1)=2；l廠3 x-1e3A<1)=lim ⑴=hm——工_] t工_故該函數左導數存在，右導數不存在，因此應選(B\19.設函數,，「IA.a<-2I<x<ex^v19.設函數,，「IA.a<-2I<x<ex^v若反常積分丨，則()?a>2-2<a<00<a<2【答案】D【解析】因為/(x)(h=^f(x)dx+ /(x)<lx(1)先討論 =I,(；］)「山.當adSO時，即*1時為詼分；當全1>0時，|― 血.為無界函數的反常積分，且當企1<1,即1<a<2時收斂;Jt(xT)當21時，即a?2時發散.(2)再討論反常積分［》(罰&=［*因為當a>0時，此反常積分收斂；當把0時’此反常積分發散。由(1)(2)知，若反常積分［'/■(?>■)&收斂，則0<a<2.8.設收斂，則(1〃戸19A.?“收斂，2】8B??“發散glIim。=0n-w8當&>0時’必收斂?=i【答案】D【解析】當&>0,級數、(紐I?為正項級數’由于該級數收斂，則其部分和數列11“S.=(a：4-a?)+(g十右) ++。丄)有上界，從而可知正項級數3 UU?”的部分和數列S“=心+七+…日布上界，則級數必收斂。?-1 n-l三、計算題.求下列函數的極值：y=2x3-6x2-18x+7；j=x-ln(l+x)；y=-x4+2x2；

(4)(5)(6)y=x+J\-x:

(4)(5)(6)y=x+J\-x:

l+3x

尸而*

3x2+4x+\

x2+x+(7)y=excosx；(8)y=3-2(x+l)3；x+tanx.(y=3-2(x+l)3；x+tanx.y=【答案］(|)>*=6x2-12x-18.y?=12x-12令史=0,得駐點為=一1，丐=3由”|z=-24<0知y”|z=l7為極大值,郵》=24>0知)，牝廣77為極小值。(2)函數的定義域為(一1,+/),在(一1,+00)內可導，且y'=l——.v"=—(x>-I),1+x- (1+x)2令y'=o,得駐點x=0,由yt=o=1>0知y|日=o為極小值。(3)y'=-4r3+4x=-4-rfx2-1),y"=-l2.r+4令.v'=0,融點E=T，?弓=1，*3=0由y"|A=_l=-8<0知y"L=1為極大值，由y"|z=-8<o知如=1為極大值,由)，”島=4>0知y|z=。為極小值。(4)函數的定義域為(一8,I］,在(一皿一I)內可導，且y_i=逆三二-1...丄..；令礦=。融點七,由匚廠2<0知令礦=。融點七,由匚廠2<0知y”為極大值。七43/4干5?—(1+3”?-,性_5J—圾)= 2/砧誕_12—5工_ _5_'4+5尸 (4+5尸)3“一(4+5/尸‘令)疽=0得駐點?，=與當f 時,尸>0,因此函數在(-8費上單調增加當顋<x<xo時W<0,因此函數在I§,心上單調減少,從而y(烏=魚為極大值。5 。 5 10,A、，—(6。?1)⑵I1)(3.二Ik+4)_ 」JT2)()， (Ththp (P+tttp令y'=°,得駐點X］=-2,X2=0當-ccvx<_2,yyo,因此函數在(-00,-2］上單調減少：當-2<x<0,y'〉0,因此函數在［一20］上單調增加：當0<X<心時,y'v0,因此函數在［0,+oo）上單調減少。從而可知V（-2）=?為極小值，y（0）=4為極大值。（7） y'—e7cos.r—e'sin.r~ex（cosh—sin.r）,j'，=—2ezsin.r令y'=0,得駐=2如+號，匕~~2人犬+于JT（人=0,土1,土2,…）由.y〃|,f,十=一姪寸1<0知y|—2HU=yez*r*^以=0.土1?±2.…〉為極大值。由偵I小*丫=屈4￥>0知 = 極小值。（8） 函數的定義域為（0,Ir）,在（0,Is）內可導，且?'=（〈*"'）'=e%‘?^^=工卜2（］一拍x）令『=0,得駐點x=e當0<x<e時礦>0,因此函數在（0,e］上單調增加;當。<工<*8時y'vO,因此函數在［e,+co）上單調減少，從而可知\,（e）=°；為極大值。（9） 當"一1,礦=一：?一土<0.又工=T時函數有定義。因此可知函數在（一皿+8）內3（x+lF單調減少,從而函數在（一00,+s）內無極值。（10） 由y'=l+sec2x>0知所給函數在（一8,+oo）內單調增加，從而函數在（一皿內無極值。.求對數螺線p=M（-冒方）及射線〃小所圍成的圖形的面積.【答案】A=匸號國燦=￥［『］、=號（*一廠2?）..設a=（2,-1,-2）,b=（LLz｝問z為何值時（，3）最小?并求岀此最小值.,個、a-b （2,-1,-2）-（1,1,z）［答案］cos（a.b）=-j_ri-—= , = -Z7T .ZMH心2+（-1）2—（-2）2.J12?12“21-2z= 二 3/2+z2〃、1*M3）=E'則 -2/2+V-（1-2z）,-2+z2廣⑴=2+z2令f'(z)=0得z=—4.由于0W()W：時.cos(<3)為單調遞減函數J(Z)取得最大值時，0=(達到最小值. ?-經驗證z=-4時，f(z)達到最大值，此時但=(a3)達到最小值且由e(姦)5=令知=arccos^=-~.24.設函數f(x)連續且橫大于零，其中H(t)=(x,y,z)\x2+/+z2C/2|,D(Z)=I(x,y)|x2+y2Ct2\(1)討論F(t)在區間(0,+8)內的單調性；(2)證明當t>0時，F(/)>^-G(0o【答案】(1)利用球面坐標，W利用極坐標，有P(rP(r2)rdr求物

所以在區間(0,+8)內,F'”)>0,故F(t)在(0,+8)內單調增加。(2)因為f(X2)為偶函譬,故￡/(x2)dx=2^/(x2)dx=2p(r2)dr所以G(￡)G(￡)=j[帆/(，)rdr r2)rdr2j[/(r2)drP(r2)dr要證明t>0時，F(r)>-G(t),即證只需證當t>0時，2j[/(r只需證當t>0時，2j[/(r2)r2dr2^/(?)rdr

睥2)rdr 典)dr=f/(、)，dr.[/I，)打_[g/(r2)rdrj2>0。r2)dr由于H(0)=0,且H'(t) …)2擊>0所以H(t)在(0,+8)內單調增加，又H(t)在〔0,+8)上連續，故當t>0時因此當t>0時，有H(t)因此當t>0時，有財>項)7T25.設有一截錐體’其高為h,上下底均為橢圓，橢圓的軸長分別為2a、2b和2A、2B,求這截錐體的體積。[答案】用與下底相距z且平行于底面的平面去截該立體得到f橢圓，記其半軸長分別為u、V,則M=^.v+A,賀=爭1+8,該橢圓面積為4宇")(學X+8)，因此體積為S「(砂+A)(碧+可心=§M[2(瀝+AB)+u3+6A].四、證明題26.驗證函數\=C"+C2/'(a，G，Q是常數)滿足關系式:y"-22j=0o【答案】因為職一C我e*，/=GA2e^+C2A2e,故y-^y=CiX2^+CU,e”f(C,『+Ge*)=0.27.如果三重積分|J/(xty,z)dxdydz的被積函數f(x,y,z)是三個函數f3(z)的乘積，即/3,y,z)二人3)E(>)厶3)，積分區域Q=((x,y.z)laWxWb,cWyWd,/WzWm)，證明這個三重積分等于三個單積分的乘積,即3)/2(*)/3(z)d4d：rdz= & J厶(z)dzn【答案】驢(心(y)?3(z)dxdydz=f ■心如*)/3(，同時&=Uf(人⑴/2(y)-「Mz)也)妃&=f【(腳期?(仏⑴飪)時]&=(pA(z)&)?f[/q)?p2(〉)dy]&=j厶(z)&?]/i(V)dy?、/■](%)&=右端28.設f(x),g(x)都是可導函數，且|/'(x)|<g'(x),證明:當X>a時l/(x)-/(a)|<Af<T)-K<?).分析:要證X>a時，頃工)一六a)iy)-g(u)即gffi-r/cU)-K<a)J</(x)-f(?)<x<x)-K<?)亦即?lE./<r)—g(x)<f(a)—g(a),f(^)-Fg(.r)>f(a)-pg(a)【答案】取F(x)=/(x)-g(i),G3)=/M)+g(.r)口￡(u?+■—)由\f\x)\<g\x)知廣⑴-g'(.v)<0及廣⑴+g3>0故FXx)=f\x)-g\x)<Q.GG)=/3+g>0即當x>a時函數F(x)單調減少,G(x)單調增加。因此F(x)<F(a)RG(x)>G(a)(xx)從而/CO</(a)-g(a)?/(.v)+g(x)>/(a)+g(a)(x>a)即當x>a時，|/(z)—/(d)|<g(x)g(a)29.設在半平面x>0內有力F=一*(衣+〃袍成力場?其中k為常數，p=丿/+,2P證明：在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關。［答案】半平面x>0是單連通區域，在此區域內，P=_勇，Q二■了具有一階連續偏導數，且dQ3kxydP

袞=芝=dy故在此區域內，場力F沿曲線L所作的功，即1 1P與路徑無關。30.根據題意證明：x2-9y=—為當x->3時的無窮?。粁+3y=xsin丄為當x->0時的無窮小。x【答案】(1)因為己2=卜_3|，所以對">0,取$=￡，則當0<|x-3|<<W.就有TOC\o"1-5"\h\z2 x+3 'I三二凱即蘭為當XT3時的無窮小。x+3 x+3(2)因為xsin-<|x|,所以對X/￡>0,取$=￡,則當0<\x\<5時，就有工血丄<￡，X X即xsin丄為當X->0時的無窮小。 2017年寧波大學理學院871高等代數考研強化模擬題（三）說明：①本資料為VIP學員內部使用，嚴格按照2017考研專業課大綱及歷年?？碱}型出題。 一、填空題 臨,，+七， r-FX—巧+y【答案】0【解析】由于 °< 1< =出+出其中（工'+寸22|巧|），且 再結合夾逼定理可得如p =°，即艷7^虧片=0L” r—>2.當a= ,b= 時(ax》一/)dx+<jrs+蛀y)dy恰為函數u(x.y)= 的全 微分。【答案】3.—2.x.設在坐標系［O;i，j，k］中點.設在坐標系［O;i，j，k］中點A和點M的坐標依次為；和，咒，Z0:和（x，y，z），則在［A；i，j，k］坐標系中，點M的坐標為 ，向量洞的坐標為 .【答案】（x-xo，>-〉o，z-%）,（宀>.》）；【解析】點M的坐標為3-和J-為，-zo）,向勒祈的坐標為（x-心+?%,）-為+>0,Z-Zq+勺）=（1,y,Z）.曲面Z=77和平面y=0的交線繞X軸旋轉一周而成的旋轉曲面的方程為 【答案】x=y+Z2［解析】本題可看作是在在二維坐標系XOZ中，求解曲線M=“繞X軸旋轉一周所得的曲面方程，貝II所求旋轉曲面方程為士石W=石,即I=丁+m【解析】若要使p心+叫恰為某函數的全微分，則需滿足癸=蓊。結合題意知，需要滿足3/+如=ax'—2y,解得a=3,b=—2,則du=(3x2y—yl)dr+(j1—2xy)dy則u(j.jf)=j3x2?Odx+j(x3—2ry)dyxxiy—xyl+Co 5.設D為不等式0WE3,0勻匹1所確定的區域?則Jjmin(x,y)如也二 【答案】J【解析】由?B知jJni.n(T.v)chdv=￡d^jvd^4-￡dy￡xdx=y6.點(1.L-l)關于平面_r一2y+z—4=0的對稱的點Q的坐標是 ?！敬鸢浮?3,-3.1〉【解析】設所求點為QCr，3，N),過點P(l.l.-l)與平面Ti：i-2y+z—4=0垂直的直線方程為厶=1=匕旦=￡±2：1 -2 1即x=?+】，)=—2f+l,x?=t—I將其代入平面方程得1=1,故直線I在平面TI的投影點為M(2,—1,0),則M是線段PQ的中點,由中點坐標公式得1=2X2—1=3,y—1X2-1=-3,r=0X2+1=)即所求點的坐標為(3.-3,1)7.設滇有二階連續偏導數，貝ijrot(gradw)= 【答案】0- ,i)udu■【解析】gradu=｛云，萬，靈％則rot(gradu)3

da:

du

3xrot(gradu)3

da:

du

3x3

dud3zduw=(翥-姦/+(隸-殺/+(続-姦卩=08.設L為橢圓號+扌=1，其周長記為1，則?(9/2+4/一3z)di= 【答案】36/【解析】因為曲線方程為亨+扌=1，故曲線L關于y軸對稱，貝！1丄一3xds=0o又由曲線方程可知9xf+47=36.將此式代入積分式，得原式=§+4，')ds—§3xds=《36(13=36/

9.設L是柱面.『+尸=1和平面y+z=。的交線，從Z軸正向往負向看是逆時針方向，則曲線積分￡zdr+ydz= .【答案】K【解析】平面￡：y+x=O,取方向為上側，得法向量為n={0,1.1},計算得，法向量的單位向量為5。齢有斯托克斯公式得j'Pdr+Qdv+Rdz=jj因此爭zdr+ydz爭zdr+ydz=jjd=卽dS=卦/1+0+_］）也如=K其中％={（x,”F+yyi}..若數列{4}收斂，則級數Z（%廠為）= rr?l【答案】收斂［解析］級數吏（jLS>6勺部分和數列為S,=（a2—ai）+（a3—⑶）+…+（a?+i一心）=5—%二、選擇題.設apO（n=l,2,3,…），且收斂’常數"（0,丄；r），則級數￡（—l）”（〃tan4）%n=i 2 "=i nA絕對收斂條件收斂發散D.斂散性與入有關【答案】A【解析】由于“為正項級數且收斂,則級數?：收斂，而(—1)"(man~)a2nI=(man^-)a2nTOC\o"1-5"\h\zn n(ntan-^-)a2?lim =A7^0—Qu3 3則〉2(〃tanf)s“收斂，(-l)"(wtan斗)如絶對收斂。12.設g(x)是可微函數，y=f(x)的反函數，且f(1)=0,J；M(x以r=1006，則(頃/的值為( 10201220132100【答案】B【解析】利用分部積分法，得=4。g(&d—j0^g[/(x)]//(x)dx=°— /(x)dj：=—jx2d/(x)=_工2/(工)+2,x/(x)<Lr=2￡x/(x)dx=201213.?/,>()(//=I.2.???),.% +???+七.則數列｛、,侑界數列｛〃,｝收斂的( ).充分必要條件充分非必要彖牛必要非充分條件既非充分也非蠣條件【答案】B【解析】由于4>°，｛?、'，｝是單調遞增的’可知當數列｛?〔｝有界時,｛畠｝收斂,即limM是存在的，此時有敗〃啊伐_$1)=慚"_網5丄=0,,即皿｝收斂.反之，收斂，｛、，｝卻不一定有界，例如：令=1，顯然有皿｝收斂，但S”=〃是無界的，故數列｛?』有界是數列｛q,｝收斂的充分非必要條件.14.設有向量?=漢,,= =三點不共線，O為坐標原點，n為過三點的平面。則fi=aXg+AXy+yX<i必滿足（ IK.n//k B.rJ.rC?（■..）=十D.■在二上【答案】A【解析】由題意知，三向量在坐標系內的關系如下圖所示，則yOz平面即為平面TT的法向量,則有=aSx=（'一o）X（y-，）=，XY-oXy+dXg”xy+yx<i+ax，=■15.設流體的流速卩=（./+丁）/+化一1）疋2為錐面z=Jf+?。╫《z41），取下側，則流體穿過曲面2的體積流量是（ \A.—4D.7T【答案】B【解析】該流體穿過￡的體積超是0.=k'dS=II（八/）dzdx+（z-1）&dy1s解法一：用高斯公式，E不封閉，添加輔助面EI：z=l(1),法向量朝上，￡與￡|圍成區域Q，取外側。注意￡與zox平面垂直=g+>2比*=°。又在￡止，=1=>?！币?加/)，=0。在。上利用高斯公式，則Q=J(x2+y2)dzdx+(z-1)dxdy=J(?y2)dxdx+(z-1)dxdy1 XuXi=f[^(?+y2) =他”』"=0+*=孚n, n n這里’。關于zOx平面對稱，紂對丫為積函數，J"yw=o，jpw=圓錐體。的體積。解法二：直接計算，并對第二類面積分利用對稱性。￡關于zOx平面對稱，x2+y2對丫為偶函數nJJ(j+y2“汕=o。又￡在xOy平面上的投影區域+Q=g(z-1)dxdy=_g(JB?孕-1)dxdyT：岫，-旻=-2“(！_!)=胃其中，E取下側。解法三：直接投影到XOy平面上代公式。[~2 2 & V由￡的方程z=,+y。旬=&；+任,又E在xOy平面的投影區域DA?,:x2+y2<L則=+ff。+y2(kdy-g(-/x2+y2-1)dxdy=0-p/x2+y2-Ddxdy=y這里由于％關于X軸對稱，yj/+y2對丫為積函數，所以!"時廳翊=°。TOC\o"1-5"\h\z16.設區域D由曲線VsinX,I--號,y=l圍成’則<ry-l)drdv=( )汗2-2-n【答案】D【解析】區域D如圖中陰影部分所示，為了便于討論，再弓|入曲線"-si"將區域分為打，*R四部分.由于外。，關于y軸對稱，可知在上關于x的奇函積分為零，故口。'認心=0；? 外心.又由于"，口關于X軸對稱，可知在久UR上關于y的奇函物為零，故』,江如)=0.因此脾/-1)翊=』她.D D利用圖形割補的方法知，區域D的面積等于以長為;F、寬為1的長方形面積，即||dxdy=n17.設f(x)為連續函數’頃)=pyp(x)dx,則F'⑵=()。2f(2)f(2)-f(2)0【答案】(B)【解析】

解法一：由于考慮F(2>故可設t>1。對所給二重積分交換積分次序,得R E 邳F(￡)=J/(x)dxJdy=J(x-l)f(x)dx于是，r(F(￡)=J/(x)dxJdy=J(x-l)f(x)dx解法二：設f(x)的一個原函數為G(x),貝1」有F(t)=j j[G(t)-C(y)]dy=G(，)fd*-fG(y)dy=(r-l)G(O-fc(y)dy.求瀚礦(g)=C⑴+(<-D/(0-C(:)=(?-D/(0因此礦(2)=/(2)18.設曲線L為橢圓二+與=1,其周長為/,則扒*等于((a+b)/(a>b2)/a2b2Zab/【答案】C【解析】由題意知^(62x2+2abxy+a2>2)ds==a2b2lL.已知fx(0,0)=2,fy(0.0)=3則(XA.f(x,y)在點(0,0)處連續B，4fU>)l(00)=2dr+3Jy— =2cosa+3cos/?f(x,y)在點(0,0)處沿x軸負方向的方向導數為-2【答案】D【解析】設cos?，cosp為x軸負方向余弦，則cos=—1,cos/?=0由方向導數定義知，f(x,y)在(0,0)點處沿x軸負方向的方向導數為邪ZSf?)■■八。，。)

!im°。=_Hm久f虹厶‘外-人(。，0)=一2.設S：x2+y2+e=a2(z>Q),Si為S在第一卦限中的部分’則(1A.jjxdS=4jJxdSss、B.J]ydS=4jJydSTOC\o"1-5"\h\zs slc.jjzds=4j"dss s,D.jj.tyzJS=4jjxyzdSs s,【答案】c【解析】由于S關于yOz面和xOz面都對稱，而f(x,y)二z關于x和y都是偶函數則三、計算題,求下列不定積分：⑴(2)jx>Jxdxi⑶儲(4)jx2\fxdx：⑸J糸(6)j濘如⑺J5必；j(x2-3x+2)dxi\-^=(g是常數)：J(.『+l)認：(IDJ(x/x+l)(V?-l)dr：(片"：J\lxj(2e'+-)dx：(14)(16)(17)廣,)dx：3i+rj3WB：J3>dx;(18)secMsecx-tanx)dx:(19)cos'(20)(21)(22)(23)Jl+cos2.rrcos2x,J :_:Jcosx-sinxrcos2x,—;~ :Jcos*a:sinxJcot2xdx；jcosQ(tan0+sec0)d0:tx2,j空d.Jr+l【答案】⑵Ij-7xdr=Jdr=y^-j.r^+,+C=-|x^+C(3)壕了m"+c⑷jj?，芥dr=J盤dx=y^〔"+0=巴/+C京卷="&=峑，卄，+C=Y，T+C.m(7)j5r,dr=^jX,H+C=YJ,+C(24)(25)(26)J(^—3j-+2)dr=jFdr—3jjdr+2jdr=y—|+2r+CJWr急宀=盅脇+c膽+c.(10)J<y+l)Jdr=J(y+2?+Ddri/'d.i-2pdr+jdr=苓+釦+工+仁(11)J("+D(Z?T〉<k=j《,+丄—)心=j亍&+I|Z^dr-jdr(8)(9)3'5" 3*([2)J。尸>?&=J(ji_2i++L,)(tr=jxJdr—2jjz'-dr=*撰一§日+2』+仁J(2e*+y)dr=2jezdx+3j亨=2k+3ln|】|+C.卩畝-烏)&=3j島句烏=3arcianj—2arcsinx+C.(15)jN(l_^)dr=Je_Jr+dr=k_2H+C.(⑹]成心=J&)'&=齢+0辭+仁(17)[土心1&=2[&_5[(音)*=宀習(g+c=&_爲器)'+c.(18)[sec./(secj--：anj)<Lr=JserxcLr—|secTian；(Ij=tanx—secx+C.(19)Jco—fdz=J1±弩&=yim+c.fdxfsec^x,tan?ri八?, [cos2x,fcos^j—sin:x. 丄廠⑵)J成了贏7&一或土7心-ss-cou+C.[-T2^dr=f hcscJ-se石)&k7Jcosxsin*xJCOSzsinrJ=jcstrjdr-js?rjdr=-(coix+tanx)+CJcot2xdr=Jcsrxdr-Jdr^~cotj~x+C.Jcos^(tan^+sec0)d^=j*sin^cW+j*曲=—co初+0+C.Jjdr=j<￡r—j貝知&=工-arcianr+Gj~r^Y~dr=J3x2dj~jdx+j孩、&=工，-z+arcianx+C2>求從頂點C所引22.已知△ABC的頂點為A(3,2,-1>B(5,-4,7)和2>求從頂點C所引【答案】設AB中點的坐標為(和，>o,%)，由3+5. 2-4 , 7-1丄。一-j-二4,>0=2 =T"。= 2從而頂點C所引中線的長度d=/(441)2+(-1-1)24(3-2)2=y/3023.對圖所示的函數f(x),求下列極限，如極限不存在，說明理由.(|)郵W；lim/W；W(x)［答案】(I)阿⑴=olim/(x)=-l1削'⑴不存在，因為/(0+)”(0一)。24.某種合金的含鉛量百分比(%)為P，其溶解溫度(°C)為0,由實驗測得p與0的數據如下表：p/%36.946.763.777.884.087.50/'C181197235270283292適用最小二乘法建立0與P之間的經驗公式0=ap+b?！敬鸢浮吭OM是各個數據的偏差平方和’即M=￡[饑-(apj+6)]2t■1票=-*2p』們-(op.+6)]=0

器=-再2[。-(硏+6)]=。整理，得

計算，得馬p?=28365.28,負P，計算，得馬p?=28365.28,負P，=396.68 6V0iPi=101176.3, =1458代入方程組，得28365.28a+396.6b=101176.3396.6a+66=!458解得4802.5?2150.02—―54普95.33O所以經驗公式為0=2.234p+95.33。25.在曲面z=xy上求一點，使這點處的法線垂直于平面x+3y+z+9=0,并寫出這法線的方程?！敬鸢浮吭O所求點為M（和,為,布），曲面在該點處的一個法向量為〃=（&，和，T），平面的法向量為（1,3，以按題意，n垂直于平面，故有Zoxo-1 = S 1 3 1求得和=-3,y0=-I,%=xoro=3o于是所求點為M(-3,-1,3)，法線方程為x+3 y41_z_3~T~四、證明題26.設f四、證明題26.設f（X）,g（X）在［a,b］上連續，在（a,b）內可導證明在（a.b）內有一點§.（f）|s炊I加丨f（a）f（x）g。）g（x）使Ig(u)【答案】取函數F（x）=，由f（x）,g（x）在［&bl上連續,在（&b）內可導知f（X）在［&bl上連續，在（ab）內可導，由拉格朗日中值定理知至少存在一點Se心）,使F（b）-F（a）=F\^b-a）即F(奸/(a)F(奸/(a)/(/>)F(a)=/(?)/(u)=0g(a>g(。)r(x)=【°S[+|0g<x)l/(a)/<x)lf(a)/(x)lg(">/(x)|/(?)g(d)f(b)g'/(?)g(d)f(b)g'(￡〉27.求過點(3,1,-2)且通過直線三4二守=；的平面方程.【答案】利用平面束方程，過直線守二守二幸的平面束方程為守_守叫守廿。將點(3,1,-2)代入上式得人=；；).因此所求平面方程為=0x-4y+3ll/y+3=01 +20(—8x-9y-22z-59=028.設函數f(x)在閉區間［0,1］上連續，并且對［0,1］上任一點x有0了(X)<L試證明［0,1］中必存在一點C(C成為函數f(X)的不動點\【答案】設F(x)=f(x)—X,則F(0)=f(0)>0,F(1)=f(1)-l<0若F(0)=0或F(1)=0,則0或1即為f(x)的不動點；若F(0)>0且F(1)<0。貝U由零點定理，必存在s(0,l),使F(c)=0,即f(c)=c,這時c為f(x)的不動點。29.已知b=(、6,也)，c=(cx,r,,cf),試利用行列式的性質證明(axb)*c=(bxc)?a=(cxa)*b【答案】因為(axb)?c=(cxa)?b=(axb)?c=(cxa)?b=而由行列式的性質知(axb)-c=(bxc)a=(cxa)-b30.利用高斯公式推證阿基米德原理浸沒在液體中的物體所受液體的壓力的合力(即浮力)的方何鉛直向上,其大小等于這物體所排開的液體的重力.【答案】取液面為xOy面，z軸鉛直向上。設液體的密度為卩。在物體表面取面積元素dS,M(x,y.z)為dS上的一點匹0),￡在點M處的夕卜法線向量的方向余弦為cosa,cop,cosy,則dS所受液體的壓力指向內法線方向(—cosq,-cosp.一cos?),壓力在x軸、y輒z軸上的分量分別為pzcosadS,pzcosfidS,pzcosydS￡所受的液體的總壓力在各坐標軸上的分量等于上列各分量元素在￡上的積分，由高斯公式可算得F;=兀=rIS=佇=F;=兀=rIS=佇=IIS=.皿切汚dz(V為。的體積)，故合力F=pVk此力的方向鉛直向上，大小等于被物體排開的液體的重力。2017年寧波大學理學院871高等代數考研強化模擬題(四)說明：①本資料為VIP學員內部使用，嚴格按照2017考研專業課大綱及歷年?？碱}型出題。一、填空題1?經過平面芻財>+1=0,巧*2>+2z=Q的交線，并且與平面沔2x-y-z=0垂直的平面方程是 O【答案】3x+4y+2z+2=0【解析】解法一：設平面E與TT2的交線L的方向向量為1J*?=|?,Xnt-II0-=2i-2/+kI22求出L上的一個點：聯立m、T12方程jx+>4-1=0]x+2,y4-2z=0令x=0,得點Mn(0,-1,1)0所求平面Ti過Mo點與s及叫=(2,-1,一1)平行，因此，TI的方程是y+1r—1TOC\o"1-5"\h\z—2 1 =02-1 -1即3x+4y+2z+2=0解法二：也可用平面束方程來考慮：設所求平面n的方程為A(J-+>+D+^(z+2y+2c)-0 (1)即(A+p)x+(A4-2“)《y+ +A=0因為TT垂直于TT3,所以”?s=0,即2(A+“)-(人+2“)一2〃n0取4=2,得以=1,將4=2,“=1.代入(1)式，得出ti的方程3工+4y+2會+2=0.(4j*+2y+3室=62-通過直線+y=° 且與球面丄'+/+/A4相切的平面方程為 【答案】Z=2[解析】由于所求平面經過已知直線，故可設所求平面方程為(2x+y)+A(4x4-2^4-3z-6>=0(2+42)工+(1+22”+3左一6義=0

又所求平面與已知球面相切，則球心到所求球面的距離等于該球面的半徑2,根據點到平面的距離的計算公式可得成2+4人滬+（1+2人尸+（3人滬解得…丄故所求平面方程為Z=2.2之2之（二1）小2”的收斂半徑為n【答案】方2,+(—D-2,+(—D-則R /級數卻奇次項）'故該幕級數的收斂5則R /級數卻奇次項）'故該幕級數的收斂54.設閉區域〃=|（r）質+在&2},則+#）&d：化【答案】￥（》%）【解析】用極坐標計算：0=\（p,0）|0W,WR.0W8W2E愕+誹汕』崢+罕-=r（啰+制峋w=孕佶喘）亨（》=）5.設￡球面尸+y2十/=］在第一卦限部分的下側，則【答案】-僉【解析】jjjyz&dy=_JJh,>/1—x2—j2djrdyp'cos^sin。p'cos^sin。>/l—p'pdp cosQsinOdojp'Jj_寸dp15* 6.已知曲線L為曲面京2-宀寸與J+y2=］的交線，則時，元2用= K【答案】3【解析】將二+J=1代入z=/2-P-y得z=l貝|」曲線l的參數方程為x=cosrvy=sinZz=1 ^r2y2z2d5=jcos七sir?￡ —sin/)2+(cost)24-02d/=4Jcos2tsin2/dt=4J(1—sin2r)sin2zdrf.JL(sin%—sin4Z)d/丄.匹—旦2*TI7.由曲線八“繞y軸旋轉一周所得旋轉曲面在點《0,療,収）處指向外側的單位法向lz=0量為 【答案】｛。鶴調［解析】根據曲線繞y軸形成的旋轉曲面的計算方法可計算得到，旋轉曲面的方程為3#+2寸+3丁=12而旋轉曲面上任意一點Mo（%,火，&）處的切平面的法向量為?=其中F=3?+2>2+3/—12.故在點（0扃據）處曲面指向外側的法線向量為?=（0.273,3^｝將其單位化，得八｛。髓黑x=arctant,8.曲線丿 .~上對應于t=l的點處的法線方程為 y=lnVl+r【答案】y+x-^-lnV2=0

【解析】由題中函數表達式得，孚=滂=罕。，、idxdx/dtI1+?故法線為y-lnx/2=-（x-^）.gp>'+x-^-lnV2=0o9.向量場 =xyl【解析】由題中函數表達式得，孚=滂=罕。，、idxdx/dtI1+?故法線為y-lnx/2=-（x-^）.gp>'+x-^-lnV2=0o9.向量場 =xyli+y.j+xln(l+zf)Jt在點P(1,1,O)處的散度divA= ?[答案】2【解析】divA=京(巧\)+土(W>+余[招11，1+/)]=[/+八2口/《1+zfpci.i.o>10.設函數Z=Z(x,y)由方程(￡+y)‘=X.V確定’則仁dx(1.2)【答案】2(1-ln2)【解析】設F(x,y,z)=(z+y)*-xy，則Ft(x.y.z)=(z+y)4ln(z+y)-y.F??y.z)=x(z+y)*1所以-=-k(z+G'InG+y)x(z+yY'又z(1,2)=0,得=2(1—In2)二、選擇題|二、選擇題|角411.設〃.b2電_y_缶z-c3X_,y-b,z-c,則直線刊r砂r商與直線子『廠礦亍評 、A相交于一點重合平行但不重合異面直線【答案】A【解析】設（釦，毎心），顯然M”M3分別在兩已知的直線上，-（%一，也—b[1）,又

?|—Of8—biCl—。0 0 0- 站一6jct—ct=ot—<ij6：— cttj=0ai~fli板~b\ —Cia>— bi—bic,—c.因此，兩已知直線共面。缶Ci—"zb\—bic缶Ci—"zb\—bict—ct勾缶仁=at~<ijb2— ct—ca> 缶 C|故KX與兩直線共面,可知，上式第二個行列式的第一、12.已知級數》(?1)"麻血丄絕對收斂，級數、條件收斂，則()Vi■| n 〃A.O<a<:1<a<A2-^-<a<22【答案】D【解析】因為級數亍(-1)"亦血丄絕對收斂，則力歷sin土收斂，而當n-8時,TOC\o"1-5"\h\z= n ?=? 〃7nsin— rI由正項級數的比較判別法知級數\'―收斂，根據級數的收斂條件有Q-丄>1K廠 2計算得a>號又由2(二A)眞件收斂知2-a>0,即a<2.it-1nlim(x.j)^(0.0)/(x,y)二。(X2+>2)2綜上得言<a<213lim(x.j)^(0.0)/(x,y)二。(X2+>2)2則下述四個選項中正確的是( )點(0,0)不是f(x,y)的極值點點(0,0)是f(x,y)的極大值點點(0,0)是f(x,y)的極小值點(D)根據所給條件無法判斷(0.0)是否為f(x,y)的極值點

【答案1(A)【解析】令；子,則由題設可知/(%,*)=尤〉+p4+0(p4)當(x,y)->(0,0)時，p—0。由于f(x,y)在(0,0)附近的值主要由xy決定，而xy在(0,0)附近符號不定，故點(0,0)不是f(x.y)的極值點，即應選(A、本題也可以取兩條路徑y=x和尸=一乂來考慮。當丨xI充分小時，f(x9x)=%2+4x4+o(x4)>0,/(x,-x)=-.2+4x4+o(x4)<0故點(O.O)TSf(X.y)的極值點，因此答案選(A\14.設L為雙酒 =択2(?一寸)(犬>0),則丄|)|ds=()eA./?2(2-V2) B.2RU1-初C.3R，(2-晅) D.2RH2一血)【答案】D【解析】由積分曲線方程(F十寸尸=R2(7一礦)(択>0)可知，該積分曲線關于X,y軸都對稱,貝(JjJ>|^=4yds。其中，J是L在第一象限的部分，在極坐標，有 y=r(8)siM=x/R^cosM?siMds=^(ff)+rfi(ff)dff(其中r1=R'cos28)|y|ds4「R/cos2伽MjR*g20+(七 dff|y|dssiWtM=2R*(2-V2)15.設a,b為非零向量，且滿足(a+3b)丄(7a-5b),(a-4b)1(7a-2b),則a與b的夾角8=01-7T01-7T【答案】c【解析】由兩向量垂直的充要條件得+黒,:“一次!(Q—40)?K/a—40)］7|。：2+16。?3一15|6|'=0 (1)即|7|aP-30。?b+8|b|z=0 (2)(1)-(2)得。?b=￥，(1) (2)x15得a?b=冬.1AEK由上兩式得a=IM從而。.七-工丄，即。一*何礦1，廠216.du=Uxcosy—ysiruOdi+Uycoskr—fsinyldy的函數U(X,y)等于( 1—cosx+t2cosy+Cylcosy+j