第2講統計與成對數據的統計分析考點一用樣本估計總體例1(多選題)(2024湖北黃石模擬)隨著互聯網的發展,網上購物幾乎成為人們日常生活中不可或缺的一部分,這也使得快遞行業市場規模呈現出爆發式的增長.陳先生計劃在家所在的小區內開一家快遞驛站,為了確定驛站規模的大小,他統計了隔壁小區的甲驛站和乙驛站一周的日收件量(單位:件),得到折線圖如圖,則下列說法正確的是(

)A.乙驛站一周的日收件量的極差為80B.甲驛站日收件量的中位數為160C.甲驛站日收件量的平均值大于乙驛站的日收件量的平均值D.甲驛站和乙驛站的日收件量的方差分別記為答案

BC

解析

乙驛站一周的日收件量的極差為160-40=120,故A錯誤;甲驛站日收件量從小到大排列為:130,150,160,160,180,190,200,所以中位數為160,故B正確;由題圖可知甲驛站日收件量每天都比乙驛站的日收件量多,所以甲驛站日收件量的平均值大于乙驛站的日收件量的平均值,故C正確;由題圖可知甲驛站日收件量的波動比乙驛站的日收件量的波動小,所以

,故D錯誤.故選BC.[對點訓練1](多選題)為響應自己城市倡導的低碳出行,小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具,他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時間(單位:min),得到下列兩個頻率分布直方圖.基于以上統計信息,可知(

)A.騎車時間的中位數的估計值是22B.坐公交車時間的40%分位數的估計值是19C.坐公交車時間的平均數的估計值小于騎車時間的平均數的估計值D.騎車時間小于平均數的估計值的次數少于50答案

BC

解析

對于A,因為0.1×2=0.2,(0.1+0.2)×2=0.6,所以中位數落在區間[20,22)內,設騎車時間的中位數為a,則0.1×2+0.2(a-20)=0.5,解得a=21.5,故騎車時間的中位數的估計值是21.5,故A錯誤;對于B,因為(0.025+0.05+0.075)×2=0.3,0.3+0.1×2=0.5,所以40%分位數落在區間[18,20)內,設坐公交車時間的40%分位數為b,則0.3+0.1×(b-18)=0.4,解得b=19,故坐公交車時間的40%分位數的估計值是19,故B正確;對于C,坐公交車時間的平均數的估計值

=13×0.025×2+15×0.05×2+17×0.075×2+19×0.1×2+21×0.1×2+23×0.075×2+25×0.05×2+27×0.025×2=20,騎車時間的平均數的估計值

=19×0.1×2+21×0.2×2+23×0.15×2+25×0.05×2=21.6.因為

,所以坐公交車時間的平均數的估計值小于騎車時間的平均數的估計值,故C正確;對于D,因為0.1×2+0.2×(21.6-20)=0.52,所以騎車時間小于平均數的估計值的頻率為0.52,所以騎車時間小于平均數的估計值的次數為0.52×100=52,故D錯誤.故選BC.考點二回歸分析(多考向探究預測)考向1線性回歸分析例2(2024湖北武漢模擬)隨著科技發展的日新月異,人工智能融入了各個行業,促進了社會的快速發展.其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本,在直播帶貨領域得到使用.某公司使用虛擬角色直播帶貨的銷售金額逐步提升,以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統計.年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號x123456銷售金額y/萬元15.425.435.485.4155.4195.4若y與x的相關關系擬用線性回歸模型表示,回答如下問題:(1)試求變量y與x的樣本相關系數r(結果精確到0.01);(2)試求y關于x的經驗回歸方程,并據此預測2024年2月該公司的銷售金額(結果精確到0.1).[對點訓練2]“城市公交”泛指城市范圍內定線運營的公共汽車及軌道交通等交通方式.某城市的公交公司為了方便市民出行,科學規劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設了起點站,為了研究車輛發車間隔時間x與乘客等候人數y之間的關系,經過調查得到如下數據:編號i12345間隔時間xi/min68101214等候人數yi1518202423(1)易知可用一元線性回歸模型描述y與x的關系,請用樣本相關系數加以說明;(2)建立y關于x的經驗回歸方程,并預測車輛發車間隔時間為20min時乘客的等候人數.因為|r|接近1,所以y與x的線性相關程度非常高,所以可以用一元線性回歸模型描述y與x的關系.考向2非線性回歸分析例3(2024遼寧沈陽模擬)土壤食物網對有機質的分解有兩條途徑,即真菌途徑和細菌途徑.在不同的土壤生態系統中,由于提供能源的有機物被分解的難易程度不同,這兩條途徑所起的作用也不同.以細菌分解途徑為主導的土壤,有機質降解快,氮礦化率高,有利于養分供應;以真菌途徑為主的土壤,氮和能量轉化比較緩慢,有利于有機質存儲和氮的固持.某生物實驗小組從一種土壤數據中隨機抽查并統計了8組數據,如下表所示:編號i12345678細菌xi/百萬個708090100110120130140真菌yi/百萬個8.010.012.515.017.521.027.039.0其散點圖如下,散點大致分布在指數型函數y=aebx(a>0)的圖象附近.(1)求y關于x的經驗回歸方程(參數精確到0.001);(2)在做土壤相關的生態環境研究時,細菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環.以樣本的頻率估計總體分布的概率,若該實驗小組從8組數據任選4組,記真菌數yi(單位:百萬個)與細菌數xi(單位:百萬個)的比值位于區間(0.13,0.20)內的組數為X,求X的分布列與數學期望.(2)由已知圖表可知從第1組到第8組的真菌數yi(單位:百萬個)與細菌數xi(單位:百萬個)的比值依次用表格表示X的分布列為

[對點訓練3](2024陜西安康模擬)隨著移動互聯網和直播技術的發展,直播帶貨已經成為一種熱門的銷售方式.下面統計了某產品通過直播帶貨途徑從6月份到10月份每個月的銷售量yi(單位:萬件)(i=1,2,3,4,5)的數據,得到如圖所示的散點圖.其中6月份至10月份的月份代碼為xi(i=1,2,3,4,5),如:x1=1表示6月份.(1)根據散點圖判斷,模型①y=a+bx與模型②y=c+dx2哪一個更適宜描述月銷售量y與月份代碼x的關系?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)(ⅰ)根據(1)的判斷結果,建立y關于x的經驗回歸方程;(計算結果精確到0.01)(ⅱ)根據結果預測12月份該產品的銷售量.解

(1)由散點圖可知該產品每個月的銷售量的增加幅度不一致,散點圖非線性,結合圖象故選模型②y=c+dx2.考點三獨立性檢驗例4(2023全國甲,理19)一項試驗旨在研究臭氧效應,試驗方案如下:選40只小白鼠,隨機地將其中20只分配到試驗組,另外20只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境,對照組的小白鼠飼養在正常環境,一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量(單位:g).(1)設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數,求X的分布列和數學期望;(2)試驗結果如下:對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.518.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.823.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5(ⅰ)求40只小白鼠體重的增加量的中位數m,再分別統計兩樣本中小于m與不小于m的數據的個數,完成如下列聯表:分組<m≥m對照組

試驗組

(ⅱ)根據(ⅰ)中的列聯表,依據小概率值α=0.05的χ2獨立性檢驗,能否推斷小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量有差異?α0.10.050.01xα2.7063.8416.635(2)(ⅰ)將40只小白鼠體重的增加量從小到大排列,得7.8,9.2,11.4,12.4,13.2,15.2,15.5,16.5,18.0,18.8,18.8,19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,23.9,25.1,25.8,26.5,27.5,28.2,30.1,32.3,32.6,34.3,34.8,35.6,35.6,35.8,36.2,36.5,37.3,40.5,43.2,所以列聯表為分組<m≥m對照組614試驗組146(ⅱ)零假設為H0:小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量沒有差異.根據列聯表中的數據,經計算得到根據小概率值α=0.05的χ2獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量有差異,此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.[對點訓練4](2024江蘇徐州一模)某中學對該校學生的學習興趣和預習情況進行長期調查,學習興趣分為興趣高和興趣一般兩類,預習分為主動預習和不太主動預習兩類,設事件A=“學習興趣高”,=“學習興趣一般”,事件B=“主動預習”,(1)計算P(A)和P(A|B)的值,并判斷A與B是否為獨立事件;(2)為驗證學生的學習興趣與預習情況是否有關,該校用分層抽樣的方法抽取了一個容量為m(m∈N*)的樣本,利用χ2獨立性檢驗,計算得到χ2=1.350.為提高檢驗結論的可靠性,現將樣本容量調整為原來的t(t∈N*)倍,使得根據小概率值α=0.005的獨立性檢驗,可以認為學生的學習興趣與預習情況有關,試確定t的最小值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(2)零假設為H0:學生的學習興趣與預習情況無關.假設原列聯表為預習情況學習興趣合計興趣高興趣一般主動預習aba+b不太主動預習cdc+d合計a+cb+da+b+c+d將樣本容量調整