第2章點、直線、平面的投影

2.1投影法及其分類

2.2點的投影

2.3直線的投影

2.4平面的投影

本章小結結束放映平行投影法中心投影法2.1投影法及其分類投影法投射線物體投影面投影

投射線通過物體，向選定的平面進行投射，并在該面上得到圖形的方法——投影法。投射中心斜投影法正投影法中心投影法

投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差。投影特性物體位置改變，投影大小也改變。投射線物體投影面投影投射中心平行投影法投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無關。度量性較好。工程圖樣多數采用正投影法繪制。

Pb

●●AP采用多面投影。

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B3●B2●B1●

點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。1.點在一個投影面上的投影a

●2.2點的投影解決辦法？HWV2.點的三面投影投影面?正面投影面（V面）?水平投影面（H面）?側面投影面（W面）投影軸OXZ?OX軸V面與H面的交線?OZ軸V面與W面的交線?OY軸H面與W面的交線三個投影面互相垂直YWHVOXZY空間點A在三個投影面上的投影a

點A的正面投影a點A的水平投影a

點A的側面投影注意：空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。a

●a●a

●

A●●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動投影面展開WVHaaxazZaa

yayaXY

YO

●●●Z點的投影規律:①a

a⊥OX軸②aax=

a

ax=aay=azY●●YZa

XayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ軸=y=Aa

（A到V面的距離）a

az=x=Aa

（A到W面的距離）a

ay=z=Aa（A到H面的距離）●●●●XYOVHWAaa

a

xaazaya

az●●a

aax例：已知點的兩個投影，求第三投影。●a

a●●a

axazaz解法一:通過作45°線使a

az=aax解法二:用圓規直接量取a

az=aaxa

●3.兩點的相對位置

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：▲x坐標大的在左▲y坐標大的在前▲z坐標大的在上B點在A點之前、之右、之下。b

aa

a

b

b●●●●●●XYYZO⑴在圖上直觀判斷⑵利用點的坐標判斷()重影點：

空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。被擋住的投影加()A、C為哪個投影面的重影點呢？c

a

cc

●●●●●a

a

aa

a

b

b

b●●●●●●2.3直線的投影

兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。1)直線對一個投影面的投影特性1.直線的投影特性

BA●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點

積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=ABcos

B●●A●●ab

AMB●a≡b≡m●●●2)直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統稱特殊位置直線垂直于某一投影面

其投影特性取決于直線與三個投影面間的相對位置。⑴投影面平行線γβYXZba″aOYa′b′b″水平線實長①在其平行的那個投影面

上的投影反映實長，并

反映直線與另兩投影面

傾角的實大。②另兩個投影面上的投影

平行于相應的投影軸，

其到相應投影軸距離反

映直線與它所平行的投

影面之間的距離。投影特性：VHabAγβBWβγa′b′a″b″判斷下列直線是什么位置的直線？側平線正平線與H面的夾角:

與V面的角:β與W面的夾角:γ實長

β實長γ

b

a

aba

b

直線與投影面夾角的表示法：b

aa

b

ba

反映線段實長，且垂直于相應的投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側垂線②

另外兩個投影，①

在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●a

b

a(b)a

b

●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)⑶一般位置直線ZYaOXb

bYa

b

a

三個投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個投影面夾角的大小。三個投影的長度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實長。投影特性：HaβγaAb

VBbWa

b

acXYYbOZb′a″c′a′c″b″AHacVBbCWb′c′a′b″c″a″2.直線與點的相對位置?若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。?點的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b=a

c

:c

b

定比定理例1：判斷點C是否在線段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在a

b

●c

不在應用定比定理另一判斷法?●●aa

b

c

b③c●aa

b

bk●●k

●例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：（應用第三投影）解法二：（應用定比定理）●aa

b

bka

b

●k

●k

3.兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉（異面）、垂直。1)兩直線平行

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。acdbc

dabOX

bcdHAd

aCcVaDbB

例：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。

對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。a

b

c

d

cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

①abcdc

a

b

d

2)兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影特性。交點是兩直線的共有點cabd

b

a

c

d

kk

a

c

VXb

HDacdkCAk

Kd

bOB●cd

k

kd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影a●bb

a

c

例：判斷直線AB、CD的相對位置。′c′′a′bdabcd相交嗎？不相交！為什么？

交點不符合空間一個點的投影特性。判斷方法？⒈應用定比定理⒉利用側面投影3)兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！交點不符合一個點的投影規律！cabdOXd′b′a′c′acACVbHdDBc′d′b′a′acACVbHdDBc′d′b′a′cabdOXd′b′a′c′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。★“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●1(2)ⅡⅠ1′2′●●●●′′Ⅳ43(4

)3Ⅲ●●●●●●3(4

)34●●′′2.4平面的投影1.平面的表示法不在同一直線上的三個點直線及線外一點abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線平面圖形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

2.平面的投影特性垂直傾斜投影特性：★平面平行投影面——投影就把實形現★平面垂直投影面——投影積聚成直線★平面傾斜投影面——投影類似原平面實形性類似性積聚性1)平面對一個投影面的投影特性平行2)平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜正垂面側垂面鉛垂面正平面側平面水平面⑴投影面垂直面為什么？是什么位置的平面？類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影為類似形。c

c

abca

b

b

a

a

b

c

a

b

c

abc⑵投影面平行面積聚性積聚性實形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。

另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。⑶一般位置平面三個投影都類似。投影特性：a

b

c

a

c

b

abca

c

b

c

a

abc●b

例：正垂面ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點B的正面投影，求△ABC的正面投影及側面投影。思考：此題有幾個解？45°3.平面上的直線和點位于平面上的直線應滿足的條件：1)平面上取任意直線●●MNAB●M⑴若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面上。⑵若一直線過平面上的一點且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面上。abcb

c

a

d

d例：已知平面由直線AB、AC所確定，在平面內任作一條直線。解法一：解法二：有多少解？有無數解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

例：在平面ABC內作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。n

m

nm10唯一解！有多少解？c

a

b

cab2)平面上取點

先找出過此點而又在平面上的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。baca

k

b

●①c

面上取點的方法：d

d利用平面的積聚性求解通過在面內作輔助線求解首先面上取線k●②●abca

b

k

c

k●bckk

b例：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一：解法二：cada

d

b

c

ada

d

b

c

ded

e

1010m

●m●例：在△ABC內取一點M，并使其到H面和V面的距離均為10mm。bcXb

c

aa

Oabca

b

c

①

直線為一般位置時②

直線為特殊位置時bab

ka

k

●●本章小結★點、直線、平面的投影特性，尤其是特殊位置直線

與平面的投影特性。重點掌握：★點、直線、平面的相對位置的判斷方法及投影特性。1.直線上的點(1)點的投影在直線的同名投影上。(2)點的投影必分線段的投影成定比——定比定理。(3)判斷方法:

2.兩直線的相對位置1)平行同名投影互相平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。