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第七章多元函數微分學

第二節偏導數

理學院數學系主講教師：付一平一、偏導數的定義及其計算法偏導數的概念可以推廣到二元以上函數如在處

1.由偏導數定義知,所謂f(x,y)對x的偏導數,就是將y看作常數,將f(x,y)看作一元函數來定義的.

注

因此,在實際計算時,求f'x

(x,y)時,只須將y看作常數,用一元函數求導公式求即可.

求f'y

(x,y)時,只須將x看作常數,用一元函數求導公式求即可.

2.f'x

(x0,y0)就是f'x

(x,y),在點(x0,y0)的值.算f'x

(x0,y0)

可用3種方法.f'y

(x0,y0)f'y

(x,y)f'y

(x0,y0)(1)用定義算.(2)先算f'x

(x,y),再算f'x

(x0,y0)f'y

(x,y),f'y

(x0,y0).

(3)先算f(x,y0),再算f'x

(x,y0)

f'x

(x0,y0)f(x0,y),

f'y

(x0,y),f'y

(x0,y0).解

把看作常量，對求導數,得

把看作常量，對求導數,得解證原結論成立．解不存在．證有關偏導數的幾點說明：１.２.求分界點、不連續點處的偏導數要用定義求；解３.偏導數存在與連續的關系？但函數在該點處并不連續.一元函數中在某點可導

連續，多元函數中在某點偏導數存在

連續，兩個偏導數都存在的二元函數未必連續偏導與連續的關系：4.偏導數的幾何意義yxzoz=f(x,y)M0

即f'x

(x0,y0)表示y=y0與z=f(x,y)的交線在M0處的切線對x的斜率.T1

1

:z=f(x,y0)

1y0x0yxzoz=f(x,y)M0

2

2

:z=f(x0,y)類似得

f'y

(x0,y0)的幾何意義.

如圖

即f'y

(x0,y0)表示x=x0與z=f(x,y)的交線在M0處的切線對y的斜率.x0T2

從幾何上看,f'x

(x0,y0)存在.只保證了一元函數f(x,y0)在x0連續.

也即y=y0與z=f(x,y)的截線

1在M0=(x0,y0,z0)是連續的.

同理,f'y

(x0,y0)存在.只保證了x=x0與z=f(x,y)的截線

2在M0連續.而曲面z=f(x,y)在M0連續，是指

換句話說,當(x,y)

從任何方向,沿任何曲線趨于(x0，y0)時,f(x,y)的極限都是f(x0，y0).顯然,上邊兩個條件都不能保證它成立.純偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.二、高階偏導數解

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