第3講分類討論思想應用一由概念、公式、法則、計算性質引起的分類討論例1(2023天津,15)若函數f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點,則a的取值范圍為

.

(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)解析

令g(x)=x2-ax+1,方程g(x)=0的判別式Δ=a2-4.①當Δ≤0,即-2≤a≤2時,x2-ax+1≥0恒成立,所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).若a=0或a=1,則f(x)僅有一個零點-1;若a≠0且a≠1,則f(x)有兩個零點-1,②當Δ>0,即a>2或a<-2時,分兩種情況.若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1),(*),若x2-ax+1<0,有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1),(**),[應用體驗1](2024山東泰安二模)已知函數

且f(m)=-12,則f(6-m)=(

)A.-1 B.-3 C.-5 D.-7D解析

由題意知,當m≤1時,f(m)=2m+1-8=-12,得2m+1=-4,又2m+1>0,所以方程無解;應用二由圖形位置或形狀引起的分類討論例2(多選題)已知P是圓O:x2+y2=4上任意一點,定點A在x軸上,線段AP的垂直平分線與直線OP相交于點Q,當P在圓O上運動時,Q的軌跡可以是(

)A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線ABC解析

當點A在圓外時,如圖(1),(2)所示,設線段AP的中點為B,過點B作AP的垂線交直線OP于Q,連接AQ,則|QP|=|QA|,則||QO|-|QA||=|OP|=2,又|AO|>2,則此時點Q的軌跡為以O,A為焦點的雙曲線;圖(1)圖(2)圖(3)當點A在圓內(非原點)時,如圖(3)所示,此時|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=2,又0<|AO|<2,則此時Q的軌跡為以O,A為焦點的橢圓;當A在坐標原點時,如圖(4)所示,此時B,Q重合,|QO|=1,則此時Q的軌跡是以原點O為圓心,半徑為1的圓;圖(4)圖(5)當點A在圓上時,如圖(5)所示,由垂徑定理,可知Q與O重合,此時Q的軌跡為點O.綜上,點Q的軌跡可以是圓、橢圓、雙曲線或一點.故選ABC.C應用三由變量的范圍引起的分類討論例3(2024廣東茂名二模)在一場乒乓球賽中,甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”,具體賽制為:首先,四人通過抽簽兩兩對陣,勝者進入“勝區”,敗者進入“敗區”;接下來,“勝區”的兩人對陣,勝者進入最后決賽;“敗區”的兩人對陣,敗者直接淘汰出局獲第四名;緊接著,“敗區”的勝者和“勝區”的敗者對陣,勝者晉級最后的決賽,敗者獲第三名;最后,剩下的兩人進行最后的冠軍決賽,勝者獲得冠軍,敗者獲第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p(0<p<1),且不同對陣的結果相互獨立.(1)若p=0.6,經抽簽,第一輪由甲對陣乙,丙對陣丁,①求甲獲得第四名的概率;②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望.(2)除“雙敗淘汰制”外,也經常采用“單敗淘汰制”:抽簽決定兩兩對陣,勝者晉級,敗者淘汰,直至決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利?請說明理由.解

(1)①記“甲獲得第四名”為事件A,則P(A)=(1-0.6)2=0.16;②記甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量X,則X的所有可能取值為2,3,4,連敗兩局:P(X=2)=(1-0.6)2=0.16,X=3可以分為:連勝兩局,第三局不管勝負;負勝負;勝負負,P(X=3)=0.62+(1-0.6)×0.6×(1-0.6)+0.6×(1-0.6)×(1-0.6)=0.552,P(X=4)=(1-0.6)×0.6×0.6+0.6×(1-0.