12.3角平分線的性質（1）

人教版數學八年級上冊第十二章

全等三角形教學目標1.學會角平分線的畫法．2.探究并認知角平分線的性質.3.熟練地運用角平分線的性質解決實際問題.新知導入在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．

如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？問題1：問題2：新知講解如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據是SSS，兩全等三角形的對應角相等.問題3：【思考】如果沒有此儀器，我們用尺規作圖，能實現該儀器的功能嗎？新知講解ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細觀察步驟：

作角平分線是最基本的尺規作圖，大家一定要掌握噢!作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.半徑小于MN或等于MN，可以嗎？新知講解如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC

上任取一點P，過點P

畫出OA，OB

的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE

并作比較，你得到什么結論？探究在OC

上再取幾個點試一試．通過以上測量，你發現了角的平分線的什么性質？觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結論：____________.

PD

PE

第一次第二次第三次

PD=PE新知講解已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.驗證猜想新知講解歸納總結∵OC是∠AOB的平分線，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．幾何語言：角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．新知講解

由角的平分線的性質的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證；（3）經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．角的平分線的性質的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條線段是否相等，與以前的方法相比，運用此性質不需要先證兩個三角形全等．鞏固練習ABOPCDE練習1

下列結論一定成立的是

．（1）如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，D，E分別為OA，OB上的點，則PD=PE．ABOPCDE（2）如圖，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE．（3）（3）如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA，垂足為D．若PD=3，則點P到OB的距離為3．ABOPCD鞏固練習練習2

如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點O，OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，則OD與OE的大小關系是(

)A.OD>OEB．OD＝OEC.OD<OED．不能確定B例題講解例1已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分別為E，F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，

∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和

Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.例題講解EDCBA6810例2

在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴

AE＝AB–BE=2.∴△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.CD課堂總結利用角平分線的性質所得到的等量關系進行轉化求解1.應用角平分線性質：存在角平分線涉及距離問題2.聯系角平分線性質：面積周長條件課堂小結角平分線尺規作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握性質定理一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角平分線上一點向兩邊作垂線段為證明線段相等提供了又一途徑當堂檢測1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個結論：①AD

上任意一點到點C、點B的距離相等；②AD上任意一點到AB，AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正確的個數是（）A.1個 B.2個C.3個D.4個D當堂檢測2.如圖，在直線MN上求作一點P，使點P到射線OA和OB的距離相等.當堂檢測3.如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，則∠MAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°B

N當堂檢測4.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F.

求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.當堂檢測5.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD