計算題專項練(二)1.(8分)如圖所示,光源S位于裝有某液體的容器底部A點處,容器右側的內壁固定一平面鏡,平面鏡上端與容器頂端平齊、下端與液面平齊。光源S沿AO方向發射一束紅光,經O點折射后照到平面鏡上的P點,反射光線剛好過容器左側上端點Q。已知入射角θ=37°,容器寬度MQ為80cm,反射點P到平面鏡上端點M、下端點N的距離分別為60cm、30cm,液體深度為40cm,光在真空中的傳播速度c=3.0×108m/s,sin37°=0.6,cos37°=0.8。求:(1)這束紅光在該液體中的折射率n;(2)這束紅光在液體中的傳播時間。答案(1)4(2)2.2×109s解析(1)根據幾何關系可知,該束紅光在P點發生的反射,入射角α符合tanα=MP則α=37°則這束紅光從液體中射出時的折射角β=90°37°=53°根據折射定律可知n=sinβ(2)設液體深度為h=40cm,則這束紅光在液體中的傳播距離s=h傳播速度v=c則傳播時間t=sv=2.2×109s2.(8分)(2024遼寧鞍山二模)如圖所示,質量為m的小球A通過長為L的不可伸長輕繩懸掛于天花板上,質量為2m的小球B放在高也為L的豎直支架上。現將A球拉至水平位置由靜止釋放,在最低點與靜止的B球發生碰撞,碰后瞬間B球的速度大小為22gL(1)從碰后至B球落地時B球的水平位移x;(2)A、B碰后瞬間輕繩對A的拉力大小FT。答案(1)43(2)119解析(1)設B球在空中做平拋運動的時間為t,則有L=12gtx=vB·t得x=43L(2)設A球碰前的速度為v0,由動能定理有mgL=1A、B兩球碰撞滿足動量守恒,設碰后A球速度為vA,水平向右為正,則有mv0=mvA+2mvB得vA=2由牛頓第二定律得FTmg=m得FT=119mg3.(14分)(2024山東棗莊一模)如圖甲所示,三維坐標系Oxyz所在的空間中,有平行于y軸且沿其正方向的勻強電場,電場強度的大小E1=7mv0210qL。一帶正電的粒子從A點由靜止開始經加速電場加速后,沿xOy平面從x軸上的P(L,0,0)點進入勻強電場,經過P點時速度的大小為v0、方向平行于xOy平面且與x軸負方向的夾角α=53°。當粒子運動一段時間Δt=2Lv0到達Q(未畫出)點時,勻強電場的方向突然變為z軸正方向,以此刻為計時起點,此后電場強度的大小E2隨時間t的變化關系如圖乙所示,同時加上沿z軸正方向、磁感應強度大小為B=3m(1)A、P兩點間的電壓UAP;(2)Q點的位置及帶電粒子到達Q點時的速度;(3)t=3π答案(1)m(2)-L5,-L5,0(3)L解析(1)在加速電場中,對帶電粒子由動能定理得qUAP=12解得UAP=mv(2)對帶電粒子,在從P點到Q點的運動過程中,根據牛頓第二定律得qE1=ma粒子在xOy平面內的運動為類斜拋運動,軌跡如圖所示設粒子到達Q點時的速度大小為v,跟x軸負方向的夾角為θ,根據運動的合成與分解,粒子在Q點滿足x=v0cosα·Δt+L=Ly=v0sinα·Δt+12a(Δt)2=vx=v0cosα=35vvy=v0sinα+aΔt=35v則有v=vx2tanθ=vyv可知粒子到達Q點時的速度方向跟x軸負方向的夾角為45°,大小為v=325v(3)根據第(2)問計算結果可知,帶電粒子到達Q點時的速度與OQ連線垂直,電場變化后粒子的運動可以看成在xOy平面內的勻速圓周運動與沿z軸方向的變速直線運動的合成,由洛倫茲力提供向心力得qvB=mv解得R=25R與OQ的長度相等,即O點為粒子軌跡的圓心,設粒子運動的周期為T,則有T=2由于t=3πLv0=可知該時刻粒子位置的x、y坐標值均為L在z軸方向,設加速度大小為az,根據牛頓第二定律得qE2=maz該方向的坐標值為z=12az2πL3v0則當t=3πLv4.(16分)(2024山東煙臺一模)如圖所示,半徑R=1m的光滑圓環形滑桿MNP豎直固定放置,左側端點M和圓心O1的連線與豎直方向夾角的余弦值cosθ=0.15,右側端點Р和圓心O1、O2在同一水平線上,P點的切線沿豎直方向。現有一質量m1=0.2kg的小橡膠環A以v0=1.2m/s的初速度水平拋出,恰好沿滑桿左側端點M的切線套入滑桿,在滑桿的最高點靜止著質量m2=0.2kg的小橡膠環B。在右側端點Р的正下方h=4.15m處,有一質量m3=0.1kg、長度L=3m的長直木桿C豎直靜止在水平面上,但跟水平面并不黏合。已知小橡膠環B與長直木桿C之間的滑動摩擦力大小f=2N,最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力,小橡膠環A、B均可視為質點,兩小橡膠環之間和小橡膠環與水平面間的碰撞都是彈性碰撞;小橡膠環B套入長直木桿C后,長直木桿C不傾倒,且每次與水平面碰撞瞬間都會立即停下而不反彈、不傾倒。不計空氣阻力,重力加速度g取10m/s2。(1)小橡膠環A到達滑桿最低點Q時所受彈力大小;(2)小橡膠環B在長直木桿C上上滑的最大距離;(3)長直木桿C跟水平面第一次碰撞瞬間損失的機械能;(4)小橡膠環B在長直木桿C上運動的總路程。答案(1)18.2N(2)2.4m(3)1.6J(4)32135解析(1)小橡膠環A恰好沿滑桿左側端點M的切線套入滑桿,設小橡膠環A在M點時的速度為vM,則vMcosθ=v0解得vM=8m/s小橡膠環A從M點到Q點,根據動能定理m1gR(1cosθ)=12m1vQ2解得vQ=9m/s小橡膠環A在Q點時,支持力和重力的合力提供向心力Nm1g=m1v解得N=18.2N。(2)設小橡膠環A從Q點運動到最高點與小橡膠環B碰撞前的速度為vA,根據動能定理m1g×2R=12m1vA2設小橡膠環A和小橡膠環B碰后的速度分別為vA'和vB,根據動量守恒和動能守恒m1vA=m1vA'+m2vB12m1vA2=12m1vA'小橡膠環B,從碰撞后到與長直木桿接觸前瞬間,設接觸前速度為v,根據動能定理m2g(R+h)=12m2v212m解得v=12m/s小橡膠環B沿長直木桿下滑時,長直木桿靜止不動,根據受力分析m2g=f可得小橡膠環B在長直木桿C上受力平衡做勻速直線運動,小橡膠環B沿長直木桿上滑時,小橡膠環B做勻減速直線運動,長直木桿C做勻加速直線運動,設共速時速度大小為v1,所需時間為t1,對小橡膠環B有m2g+f=m2a1v1=va1t1對長直木桿有fm3g=m3a2v1=a2t1x1=v12此時小橡膠環B上滑的距離最大s1=v+v12t1v12t1=v2(3)小橡膠環B與長直木桿C共速后一起做豎直上拋運動,直到長直木桿跟水平面第一次碰撞前,則有v1'2v12=2解得長直木桿跟水平面第一次碰撞瞬間前的速度大小為v1'=42m/s長直木桿跟水平面第一次碰撞瞬間損失的機械能為ΔE=12m3v1'2=1.6J(4)長直木桿跟水平面第一次碰撞后,小橡膠環B先沿長直木桿做勻速下滑,小橡膠環B跟水平面碰撞后小橡膠環B沿長直木桿上滑時,小橡膠環B做勻減速直線運動,長直木桿做勻加速直線運動,第二次共速后又一起做豎直上拋運動,直到長直木桿跟水平面第二次碰撞,設第二次達到共速時速度為v2,則有v2=v1'a1t2v2=a2t2v2'2v22=2gv聯立可得長直木桿跟水平面第二次將要碰撞時的速度大小為v2'=2v2=23v1'=2可得長直木桿跟水平面第n次將要碰撞時的速度大小表達式為vn'=23nv=12×2小橡膠環B沿長直木桿第一次