2022-2023學年湘教版七年級數學下冊精選壓軸題培優卷專題11完全平方公式的應用和幾何背景閱卷人一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)得分1．（2分）（2022七下·樂亭期末）若，，則（）A．-3 B．3 C．-4 D．4【答案】A【規范解答】∵，，∴即4=10+2xyxy=-3故答案為：A

【思路點撥】利用完全平方公式可得，再將，代入計算即可。2．（2分）（2022七下·遷安期末）在多項式添加一個單項式，使得到的多項式能運用完全平方公式分解因式，則下列表述正確的是（）嘉琪：添加，陌陌：添加，嘟嘟：添加，A．嘉琪和陌陌的做法正確 B．嘉琪和嘟嘟的做法正確C．陌陌和嘟嘟的做法正確 D．三位同學的做法都錯誤【答案】A【規范解答】解：添加，，故嘉琪的表述是正確的；添加，，故陌陌的表述是正確的；嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是錯誤的，故答案為：A【思路點撥】根據（ab）2=a22ab+b2的結構特征進行判斷即可.3．（2分）（2022七下·渾南期末）如圖所示分割正方形，各圖形面積之間的關系驗證了一個等式，這個等式是（）A． B．C． D．【答案】D【規范解答】解：大正方形的面積=（y+x）2，小正方形的面積=（y-x）2，四個長方形的面積=4xy，則由圖形知，大正方形的面積-小正方形的面積=四個矩形的面積，

即（y+x）2-（y-x）2=4xy．故答案為：D．【思路點撥】利用“大正方形的面積-小正方形的面積=四個矩形的面積”，可得（y+x）2-（y-x）2=4xy。4．（2分）（2022七下·相城期末）若，那么代數式的值為（）A． B． C．1 D．3【答案】B【規范解答】解：∵，∴，，故答案為：B．【思路點撥】根據原始條件得出，再根據平方差公式將原式的括號展開，再合并同類項后代值計算，即可得出結果.5．（2分）（2022七下·北海期末）下列運算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【規范解答】解：A、原式不能合并，不符合題意；B、原式=2a-2a2，符合題意；C、原式=-a3b6，不符合題意；D、原式=a2+2ab+b2，不符合題意，故答案為：B.【思路點撥】根據同類項是字母相同且相同字母的指數也相同的項，不是同類項的不能合并，可判斷A；根據單項式與多項式的乘法法則可判斷B；積的乘方，先將每一個因式進行乘方，然后將所得的冪相乘；冪的乘方，底數不變，指數相乘，據此判斷C；根據完全平方公式的展開式是一個三項式，可判斷D.6．（2分）（2022七下·義烏期中）下列結論中：①若，則；②若，則的值為；③若規定：當時，，若，則；④若，則可表示為；⑤若的運算結果中不含的一次項，則.其中正確的個數是()A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【規范解答】解：①可以分為三種情況：

當x+1＝0時，x＝﹣1；

當1﹣x＝1時，x＝0；

當1﹣x＝﹣1，x＝2，但x+1＝3不是偶數，舍去，

綜上所述，x＝﹣1或0，

∴①不符合題意；

②（2﹣a）（2﹣b）

＝4﹣2b﹣2a+ab

＝4﹣2（a+b）+ab，

∵a﹣b＝1，a2+b2=3，

∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3﹣2ab＝1，

∴ab＝1，

∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，

∴a+b＝±，

當a+b＝時，原式＝4﹣2+1＝5﹣2，

當a+b＝﹣時，原式＝4+2+1＝5+2，

∴②不符合題意；

③根據定義得：=a+4﹣a﹣a（4﹣a）＝0，

∴a2-4a+4=0，

∴（a-2）2=0，

∴a＝2，

∴③符合題意；

④∵4x＝（22）x＝22x=a，8y＝（23）y＝23y=b，

∴24x﹣3y＝24x÷23y＝（22x）2÷23y＝a2÷b=，

∴④不符合題意；

⑤（x+1）（x﹣a）=x2-ax+x-a=x2-（a-1）x-a，

∵（x+1）（x﹣a）運算結果不含x的一次項，

∴a-1=0，

∴a=1，

∴⑤符合題意，

∴正確的有③⑤.

故答案為：D.

【思路點撥】①可以是零指數冪，可以是1的任何次冪，可以是﹣1的偶數次冪，據此判斷即可；②先求出ab的值，再求出a+b的值，最后代入代數式求值，據此判斷即可；③根據新定義列出方程求解即可；④把a，b先化成底數為2的冪，再將原式進行化簡求值，即可判斷；⑤先把原式進行運算，根據結果不含一次項，進而可得出a的值．7．（2分）（2020七下·秦淮期末）如圖，有A，B，C三種不同型號的卡片，每種各10張.A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是相鄰兩邊長分別為a、b的長方形，C型卡片是邊長為b的正方形.從中取出若干張卡片（每種卡片至少一張），把取出的這些卡片拼成一個正方形，所有符合要求的正方形的個數是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【規范解答】解：∵每一種卡片10張，并且每種卡片至少取1張拼成正方形，∴正方形的邊長可以為：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六種情況；（注意每一種卡片至少用1張，至多用10張）即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1張，B卡片2張，C卡片1張；（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1張，B卡片4張，C卡片4張；（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1張，B卡片6張，C卡片9張；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4張，B卡片4張，C卡片1張；（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4張，B卡片8張，C卡片4張；（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9張，B卡片6張，C卡片1張；故答案為：C.【思路點撥】每一種卡片10張，并且每種卡片至少取1張，根據完全平方公式的特點可確定拼成的正方形的邊長可以為（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六種情況.8．（2分）（2020七下·鄭州期末）如圖，有兩個正方形A,B,現將B放在A的內部得圖甲，將A,B并列放置后構造新的正方形得圖乙。若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為3和30,則正方形A、B的面積之和為()A．33 B．30 C．27 D．24【答案】A【規范解答】解：設正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b

由圖甲得：S1=(a-b)2=3，即：a2-2ab+b2=3

由圖乙得：S2=(a+b)2-a2-b2=30，化簡得：2ab=30

∴a2+b2-30=3

∴a2+b2=33

故答案為：A.【思路點撥】設正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，把圖甲和圖乙中的陰影面積用a、b的代數式表示出來，可以得到兩個等式，進而得出答案.9．（2分）（2019七下·句容期中）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．則多項式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【規范解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，則原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝×[1+4+1]＝3，故答案為：C．【思路點撥】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解．10．（2分）（2019七下·蘭州月考）觀察下列各式及其展開式:（）……你猜想的展開式第三項的系數是()A．66 B．55 C．45 D．36【答案】C【規范解答】解：觀察上面式子，總結規律可得的展開式第三項系數為，所以的展開式第三項的系數是故答案為：C.【思路點撥】利用各個等式中第三項的系數，可得的展開式第三項系數為，然后將n=10代入計算即可.閱卷人二、填空題(共8題；每題2分，共16分)得分11．（2分）（2022七下·會同期末）已知，則的值等于．【答案】【規范解答】解：∵，∴，，，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：.【思路點撥】對已知等式兩邊同時平方可得(a-b)2、(b-c)2、(c-a)2的值，結合完全平方公式可得2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)的值，結合已知條件就可求出ab+bc+ca的值.12．（2分）（2022七下·東明期末）已知，，則ab的值為．【答案】15【規范解答】解：∵，，∴，∴．故答案為：15

【思路點撥】由，然后將代入即可求解.13．（2分）（2022七下·杭州期末）如圖，邊長為的正方形中放置兩個長和寬分別為，的長方形，若長方形的周長為，面積為，則圖中陰影部分面積.【答案】12.5【規范解答】解：由題知，，.，，，，，，陰影部分面積.故答案為：12.5.【思路點撥】根據長方形的周長以及面積可得a+b=8，ab=15.75，根據(a+b)2=a2+b2+2ab可得a2+b2的值，由正方形的面積公式可得S陰影=S1+S2+S3=(6-b)2+(6-a)2+(a+b-6)2=a2+b2-12(a+b)+76，據此計算.14．（2分）（2022七下·亭湖期末）在數學學習中，我們常把數或表示數的字母與圖形結合起來，著名數學家華羅庚曾用詩詞表達了“數形結合”的思想，其中談到“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.如圖是由四個長為a，寬為b的長方形拼擺而成的正方形，其中a＞b＞0，若ab=3，a+b=4，則a-b的值為.【答案】2【規范解答】解：由圖可知：大正方形的面積減去4個長方形的面積等于中間小正方形的面積，即，∵，，∴，∵，∴.故答案為：2.【思路點撥】根據大正方形的面積減去4個長方形的面積等于中間小正方形的面積建立等式，然后代值計算，結合a>b，即可求出a-b的值.15．（2分）（2022七下·荷塘期末）如圖，四邊形ABCD與四邊形DEFG都是正方形，其邊長分別為a、b，如果，，那么陰影部分的面積是.【答案】11【規范解答】解：在正方形ABCD與DEFG中，AB=BC=AD=a，FG=EF=ED=GD=b，，，將，代入上式，得，根據三角形面積公式，陰影部分的面積==，陰影部分的面積=，故答案為：11.【思路點撥】由正方形的性質及線段的和差可求出，由可得，從而可求，由于陰影部分的面積===，據此即得得解.16．（2分）（2020七下·嘉興期末）如圖，在長方形ABCD中，AB<BC，點P為長方形內部一點，過點P分別作PE⊥BC于點E、PF⊥CD于點F，分別以PF、CF為邊作正方形PMNF，正方形GHCF，若兩個正方形的面積之和為42，長方形PECF的面積為11，BE=DF=2，則長方形ABCD的面積為.【答案】31【規范解答】解：∵四邊形PMNF和四邊形GHCF都是正方形，∴S正方形PMNF=PF2，S正方形GFCH=CF2，∴PF2+CF2=42，∵長方形PECF的面積為11，∴CF?PF=11，∴（PF+CF）2=PF2+CF2+2CF?PF=64，∴PF+CF=8，∵長方形ABCD的面積=BC?CD=（BE+PF）?（CF+DF），∴長方形ABCD的面積=（2+PF）（2+CF）=4+PF?CF+2（PF+CF）=31，故答案為：31.【思路點撥】由正方形的性質和矩形的性質可得S正方形PMNF=PF2，S正方形GFCH=CF2，CF?PF=11，由完全平方公式可求PF+CF=8，即可求解.17．（2分）（2019七下·渦陽期末）已知a2+ab+b2=7，a2-ab+b2=9，則（a+b）2=．【答案】6【規范解答】解：∵a2+ab+b2=7①，a2-ab+b2=9②，∴①+②得：2（a2+b2）=16，即a2+b2=8，①-②得：2ab=-2，即ab=-1，則原式=a2+b2+2ab=8-2=6，故答案為：6【思路點撥】已知兩等式相加減求出a2+b2與ab的值，原式利用完全平方公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．18．（2分）（2019七下·北京期末）我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例．這個三角形給出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展開式的系數規律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）2=a2+2ab+b2展開式中各項的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中各項的系數，等等．有如下四個結論：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；②當a=-2，b=1時，代數式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；③當代數式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0時，一定是a=-1，b=1；④（a+b）n的展開式中的各項系數之和為2n．上述結論中，正確的有（寫出序號即可）．【答案】①②【規范解答】解：∵在楊輝三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應展開式中各項的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著展開式中各項的系數，等等∴在楊輝三角形中第行的個數，對應展開式中各項的系數，①∵展開式中各項的系數，為楊輝三角形中第6行的6個數，∴；②∵各項系數對應楊輝三角中的第4行的4個數，∴，當時，代數式=；③∵各項系數對應楊輝三角中的第5行的5個數，∴，當代數式時，，不一定是；④∵當時，展開式各項之和便是系數之和，∴的展開式中的各項系數之和為，故答案為：①②．【思路點撥】根據題中舉例說明，明確楊輝三角的與的展開式的系數間的對應關系，據此逐項分析．閱卷人三、解答題(共9題；共64分)得分19．（6分）（2022七下·化州期末）閱讀：已知a-b＝-4，ab＝3，求a2+b2的值．小明的解法如下：解：因為a-b＝-4，ab＝3，所以a2+b2＝（a-b）2+2ab＝（-4）2+2×3＝22．請你根據上述解題思路解答下面問題：已知a-b＝-5，ab＝2，求a2+b2-ab的值．【答案】解：∵a-b＝-5，ab＝2，∴a2+b2-ab＝a2+b2-2ab+ab＝（a-b）2+ab＝（-5）2+2＝27【思路點撥】利用完全平方公式，結合a-b＝-5，ab＝2，計算求解即可。20．（5分）（2022七下·鎮江期中）閱讀材料：怎樣證實“兩直線平行，同位角相等”本節中，我們用疊合的方法發現了“兩直線平行，同位角相等”.事實上，這個結論可以運用已有的基本事實，通過說理加以證實.如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB//CD，∠1與∠2是同位角.假設∠1∠2，那么可以通過直線AB與EF的交點O作直線GH，使∠EOH=∠2，直線GH與直線AB是兩條直線.根據基本事實“同位角相等，兩直線平行”，由∠EOH=∠2，可以得到GH//CD.這樣，過點O就有兩條直線AB、GH都與CD平行.這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾.這說明∠1∠2的假設不正確，于是∠1=∠2.解決問題：若且，請你用以上方法說明：.【答案】解：假設，∵，∴，即x=0或y=0，這與且相矛盾，∴假設不成立，于是：.【思路點撥】假設x2+y2=(x+y)2，根據完全平方公式可得(x+y)2=x2+2xy+y2，則2xy=0，據此可得x=0或y=0，這與x≠0且y≠0相矛盾，故假設不成立，據此解答.21．（5分）（2022七下·北侖期中）先化簡，再求值：(2a－3b)2－(2a＋3b)(2a－3b)＋6b(a-3b).其中a=6，b=.【答案】解：原式=4a2-12ab+9b2-4a2+9b2+6ab-18b2=-6ab，

當a=-6，b=時，

原式=-6×（-6）×=18.【思路點撥】根據整式混合運算順序和法則進行化簡，再把a，b的值代入進行計算，即可得出答案.22．（10分）（2022七下·合肥期末）如圖是一個長為，寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個如圖的圖形．（1）（3分）觀察圖形，請你寫出、、之間的等量關系式；（2）（3分）若，利用（1）中的結論，求的值；（3）（4分）若，求的值．【答案】（1）解：．理由如下：觀察圖形知，圖中大正方形的面積為：，陰影面積為：，則圖中個小長方形面積的和為：；圖中個小長方形面積的和為：；由此得出：．（2）解：由（1）中的結論可知，，，等號兩邊平方得，，，．（3）解：∵，設，，而則則．即【思路點撥】（1）利用不同的表達式表示同一個面積可得；

（2）利用（1）的計算方法可得，再求解即可；

（3）設，，而，則再利用（1）的計算方法可得答案。23．（6分）（2022七下·光明期末）【背景知識】用兩種方法計算同一個圖形的面積，就可以得到一個等式．例如：圖1是一個邊長為的正方形，從整體來看，它的面積可以表示為，從分塊來看，這個正方形有四塊，其中面積為的正方形有1塊，面積為的正方形有1塊，面積為ab的長方形有2塊，因此，該正方形的面積還可以表示為，這兩種方法都是求同一個正方形的面積，于是得到．（1）（1分）【能力提升】請你根據背景知識和圖2推導等式；（2）（1分）【能力提升】請你根據背景知識和圖3推導等式；（3）（4分）【拓展應用】若，，利用（2）得到的結論，求圖3中陰影部分的面積．【答案】（1）（2）（3）解：根據題意得：，由（2）得：，當，時，，解得：，即陰影部分的面積為25．【規范解答】（1）解：從整體來看，它的面積可以表示為，從分塊來看，這個正方形有九塊，其中面積為的正方形有2塊，面積為的正方形有2塊，面積為ab的長方形有5塊，∴該正方形的面積還可以表示為，∴；故答案為：；（2）解：從整體來看，它的面積可以表示為；從分塊來看，這個正方形有九塊，其中面積為的正方形有1塊，面積為的正方形有1塊，面積為的正方形有1塊，面積為ab的長方形有2塊，面積為ac的長方形有2塊，面積為bc的長方形有2塊，∴該正方形的面積還可以表示為；∴；故答案為：【思路點撥】（1）分別求出圖2中的每個小長方形的面積，再相加即可得到答案；

（2）分別求出圖3中的每個小長方形的面積，再相加即可得到答案；

（3）利用（2）的結論進行計算即可。24．（9分）（2022七下·撫州期末）閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項式變形為的形式，然后由就可求出多項式的最小值．例題：求的最小值．解：．因為不論x取何值，總是非負數，即．所以．所以當時，有最小值，最小值是1.根據上述材料，解答下列問題：（1）（1分）填空：=（x-）2．（2）（3分）將變形為的形式，并求出的最小值．（3）（4分）如圖所示的第一個長方形邊長分別是、，面積為；如圖所示的第二個長方形邊長分別是、，面積為．試比較與的大小，并說明理由．【答案】（1）9；3（2）解：，當時，取最小值，最小值為；（3）解：．理由如下：∵，，∴．∵，∴，∴，∴．【規范解答】（1）解：，故答案為：9，3；

【思路點撥】完全平方公式的應用，由于完全平方式是一個非負數，故二次三項式可轉化為一個非負數與實數和的形式，即總有最小值。25．（9分）（2022七下·諸暨期末）如圖①，長方形ABCD的邊長分別為a、b，請認真觀察圖形，解答下列問題：（1）（1分）若用四個完全相同的長方形ABCD拼成如圖②的正方形，請寫出下列三個代數式，，ab之間的一個等量關系式：．（2）（4分）根據（1）中的等量關系，解決如下問題：若，，求的值．（3）（4分）若將長方形ABCD的各邊向外作正方形（如圖③），若四個正方形周長之和為32，四個正方形面積之和為20，求出長方形ABCD的面積．【答案】（1）(a+b)2=（a-b）2+4ab（2）解：由（1）中等量關系可得：(x+y)2=（x-y）2+4xy，

∴（x-y）2=(x+y)2-4xy，

∵x+y=7，xy=6，

∴（x-y）2=49-24=25，

∴x-y=±5.（3）解：設長方形ABCD的長AB=a，寬BC=b，

∵四個正方形周長之和為32，四個正方形面積之和為20，

∴，，

∴，

∴長方形ABCD的面積為3.【規范解答】解：（1）由圖②可知：大正方形面積=小正方形的面積+4個矩形的面積，

∴(a+b)2=（a-b）2+4ab.

故答案為：(a+b)2=（a-b）2+4ab.

【思路點撥】（1）由拼圖可得：圖②中大正方形的邊長為(a+b)，小正方形的邊長為(a-b)，根據大正方形的面積=小正方形的面積+4個矩形的面積進行解答；

（2）根據（1）的結論可得（x-y）2=(x+y)2-4xy，然后將x+y、xy的值代入計算即可；

（3）根據正方形的周長、面積公式可得8(a+b)=32，2(a2+b2)=20，然后根據ab=進行計算，即可求解.26．（6分）（2022七下·商河期末）在數學中，有許多關系都是在不經意間被發現的，請認真觀察圖形，解答下列問題：（1）（1分）如圖1，用兩種不同的方法表示陰影圖形的面積，得到一個等量關系：．（2）（2分）若圖1中a、b滿足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；（3）（3分）如圖2，C是線段AB上一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，AC+BC=8，兩正方形面積和S1+S2＝40，求圖中陰影部分面積．【答案】（1）a2+b2＝（a+b）2-2ab（2）解：由（1）得，a2+b2＝（a+b）2-2ab，∵a+b＝7，ab＝10，∴a2+b2＝72-2×10=29；（3）解：設正方形ACDE的邊長為a，正方形BCFG的邊長為b，則S1＝a2，S2＝b2，∵AC+BC=8，S1