專題17.5期末滿分計劃之解答壓軸專項訓練（30道）【人教版】1．（2021秋?西青區期末）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個點，首先連接BA1，圖中出現了3個不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個不同的三角形…（1）完成下表：連接個數出現三角形個數（2）若出現了45個三角形，則共連接了多少個點？（3）若一直連接到An，則圖中共有個三角形．2．（2021春?太倉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，點A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點O重合），連接AC交射線OE于點D．設∠OAC＝x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數是；②當∠BAD＝∠ABD時，x＝；當∠BAD＝∠BDA時，x＝．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．1．（2021秋?西青區期末）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個點，首先連接BA1，圖中出現了3個不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個不同的三角形…（1）完成下表：連接個數出現三角形個數（2）若出現了45個三角形，則共連接了多少個點？（3）若一直連接到An，則圖中共有個三角形．2．（2021春?太倉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，點A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點O重合），連接AC交射線OE于點D．設∠OAC＝x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數是；②當∠BAD＝∠ABD時，x＝；當∠BAD＝∠BDA時，x＝．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．3．（2021春?鎮平縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a＝4，b＝6，設三角形的周長是x．（1）直接寫出c及x的取值范圍；（2）若x是小于18的偶數①求c的長；②判斷△ABC的形狀．4．（2021春?鎮江期末）直線AB、CD為平面內兩條直線，點M、點N分別在直線AB、CD上，點P（P不在直線AB、CD上）為平面內一動點．（1）如圖1，若AB、CD相交于點O，∠MON＝40°；①當點P在△OMN內部時，求證：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；②小芳發現，當點P在∠MON內部運動時，∠MPN、∠OMP、∠ONP還存在其它數量關系，這種數量關系是；③探究，當點P在∠MON外部時，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數量關系共有種；（2）如圖2，若AB∥CD，請直接寫出∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數量關系是．5．（2021春?高明區校級期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數量關系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求∠A的度數．6．（2021秋?甘井子區期末）如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分別為AB、BD中點．（1）探索CM與EM′有怎樣的數量關系？請證明你的結論；（2）如圖2，連接MM′并延長交CE于點K，試判斷CK與EK之間的數量關系，并說明理由．7．（2021春?泰州期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代數式直接填空）；（2）如圖1，若x＝y＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，請寫出DE與BF的位置關系，并說明理由；（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構成的銳角．①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，試求x、y．②小明在作圖時，發現∠DFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時，∠DFB不存在．8．（2021秋?婁底期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？9．（2021春?浦東新區期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．10．（2021秋?婺城區校級期末）如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．（1）示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系．答：AB與AP的數量關系和位置關系分別是、．（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．請你觀察、測量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系．答：BQ與AP的數量關系和位置關系分別是、．（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP、BQ．你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．11．（2021春?香坊區期末）已知：點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點M、N分別是射線AE、AF上的點，且PM＝PN．（1）當點M在線段AB上，點N在線段AC的延長線上時（如圖1），求證：BM＝CN；（2）在（1）的條件下，AM+AN＝AC；（3）當點M在線段AB的延長線上時（如圖2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四邊形ANPM的面積．12．（2021春?常熟市期末）如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，（1）在圖1中，分別畫出點P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余條件都不變，請你判斷并寫出PE與PD之間的數量關系，并說明理由．13．（2021?羅湖區校級期末）用三角板和直尺作圖．（不寫作法，保留痕跡）如圖，點A，B在直線l的同側．（1）試在直線l上取一點M，使MA+MB的值最小．（2）試在直線l上取一點N，使NB﹣NA最大．14．（2021?香洲區校級期末）如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；（2）何時△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數．15．（2021秋?臨沂期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向左平移3個單位長度后得到的△A2B2C2；（3）如果AC上有一點P（a，b）經過上述兩次變換，那么對應A2C2上的點P2的坐標是．16．（2021春?羅湖區校級期末）如圖（1），方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C都是格點．（1）畫出△ABC關于直線MN對稱的△A1B1C1；（2）寫出AA1的長度；（3）如圖（2），A、C是直線MN同側固定的點，B是直線MN上的一個動點，在直線MN上畫出點B，使AB+BC最小．17．（2021?太原期末）數學課上，同學們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形．為此，請你解答問題（1）．（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直線BD平分∠ABC交AC于點D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發現：下面兩個等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所有等腰三角形兩個底角的度數；（3）接著，小喬又發現：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個頂點畫一條直線可以將原三角形分成兩個小等腰三角形．請你畫出兩個不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標出可能的各內角的度數．（說明：要求畫出的兩個三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）請你寫出兩個符合（3）中一般規律的非等腰三角形的特征．18．（2021?東營期末）根據以下10個乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個“□2﹣?2”（兩數平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n個乘積，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn為正數，a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＞b2＞b3＞…＞bn，且a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn，試由（1）、（2）猜測一個一般性的結論．（不要求證明）19．（2021?浙江期末）如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘數”（1）28和2012這兩個數是“神秘數”嗎？為什么？（2）設兩個連續偶數為2k+2和2k（其中k取非負整數），由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎？為什么？（3）兩個連續奇數的平方差（k取正數）是神秘數嗎？為什么？20．（2021春?太原期末）閱讀下列材料，解決相應問題：“友好數對”已知兩個兩位數，將它們各自的十位數字和個位數字交換位置后，得到兩個與原兩個兩位數均不同的新數，若這兩個兩位數的乘積與交換位置后兩個新兩位數的乘積相等，則稱這樣的兩個兩位數為“友好數對”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68與34和86都是“友好數對”．（1）36和84“友好數對”．（填“是”或“不是”）（2）為探究“友好數對”的本質，可設“友好數對”中一個數的十位數字為a，個位數字為b，且a≠b；另一個數的十位數字為c，個位數字為d，且c≠d，則a，b，c，d之間存在一個等量關系，其探究和說理過程如下，請你將其補充完整．解：根據題意，“友好數對”中的兩個數分別表示為10a+b和10c+d，將它們各自的十位數字和個位數字交換位置后兩個數依次表示為和．因為它們是友好數對，所以（10a+b）（10c+d）＝．即a，b，c，d的等量關系為：．（3）請從下面A、B兩題中任選一題作答，我選擇題．A．請再寫出一對“友好數對”，與本題已給的“友好數對”不同．B．若有一個兩位數，十位數字為x+2，個位數字為x，另一個兩位數，十位數字為x+2，個位數字為x+8．且這兩個數為“友好數對”，直接寫出這兩個兩位數．21．（2021秋?九龍坡區期末）甲、乙兩商場自行定價銷售某一商品．（1）甲商場將該商品提價15%后的售價為1.15元，則該商品在甲商場的原價為元；（2）乙商場將該商品提價20%后，用6元錢購買該商品的件數比沒提價前少買1件，求該商品在乙商場的原價是多少？（3）甲、乙兩商場把該商品均按原價進行了兩次價格調整．甲商場：第一次提價的百分率是a，第二次提價的百分率是b；乙商場：兩次提價的百分率都是a+b2（a＞0，b＞0，a≠b請問甲、乙兩商場，哪個商場的提價較多？請說明理由．22．（2021?天津期末）某企業有九個生產車間，現在每個車間原有的成品一樣多，每個車間每天生產的成品也一樣多，有A、B兩組檢驗員，其中A組有8名檢驗員．他們先用兩天將第一、二兩個車間的成品檢驗完畢后，再去檢驗第三、四兩個車間所有成品，又用去了三天時間；同時，用這五天時間，B組檢驗員也檢驗完余下的五個車間的成品，如果每個檢驗員的檢驗速度一樣快，每個車間原有的成品為a件，每個車間每天生產b件成品．（1）用a、b表示B組檢驗員檢驗的成品總數；（2）求B組檢驗員的人數．23．（2021?遂寧期末）如圖，小剛家、王老師家和學校在一條直路上，小剛與王老師家相距3.5千米，王老師家與學校相距0.5千米．近來，小剛父母出差，如果王老師騎自行車到小剛家接小剛上學，就比平時走路上班多用24分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的3倍．（1）問：王老師騎自行車的速度是多少千米/小時？（2）為了節約時間，王老師與小剛約定每天7：35從家里同時出發，小剛走路，王老師騎車，遇到小剛后，立即搭小剛到校．如果小剛和王老師走路的速度一樣，王老師騎車的速度不變，請問他們能否在8：00鐘前趕到學校？說明理由．24．（2021?泉州期末）周末某班組織登山活動，同學們分甲，乙兩組從山腳下沿著一條道路同時向山頂進發，設甲，乙兩組行進同一路段所用的時間之比2：3．（1）直接寫出甲、乙兩組行進速度之比；（2）當甲組到達山頂時，乙組行進到山腰A處，且A處離山頂的路程尚有1.2千米，試問山腳離山頂的路程有多遠？（3）在題（2）所述內容（除最后的問句處）的基礎上，設乙組從A處繼續登山，甲組到達山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇，請你先根據以上情景提出一個相應的問題，再給予解答．（要求：①問題的提出不需再增添其它條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有書面條件．）25．（2021?河南期末）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作發現如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：①線段DE與AC的位置關系是；②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是．（2）猜想論證當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．26．（2021?昌平區期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=12∠BAD．求證：EF＝BE+（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=12∠（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=12∠27．（2021秋?朝陽區校級期末）如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠C＝∠E＝90°，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°．如圖2，連接CD，CD平分∠ACB，將△DEF繞點D按逆時針方向旋轉，記∠ADF為α（0°＜α＜180°）．（1）∠CDA的度數為85°．（2）如圖3，在旋轉過程中，當頂點C在△DEF內部時，邊DF，DE分別交BC，AC的延長線于點M，N．①求α的度數范圍；②∠1與∠2度數的和是否變化？若不變，請求出∠1與∠2的度數和；若變化，請說明理由．28．（2021?玉溪期末）平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．（1）如圖a，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點P移到AB、CD內部，如圖b，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數量關系？請證明你的結論；（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數量關系？（不需證明）（3）根據（2）的結論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數．29．（2021秋?揭陽期末）探究與發現：如圖①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連接DE．（1）當∠BAD＝60°時，求∠CDE的度數；（2）當點D在BC（點B、C除外）邊上運動時，試猜想∠BAD與∠CDE的數量關系，并說明理由．（3）深入探究：如圖②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他條件不變，試探究∠BAD與∠CDE的數量關系．30．（2021春?新華區校級期末）直線MN與直線PQ垂直相交于點O，點A在射線OP上運動（點A不與點O重合），點B在射線OM上運動（點B不與點O重合）．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，①當∠ABO＝60°時，求∠AEB的度數；②點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況：若不發生變化，試求出∠AEB的大小；（2）如圖2，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，請直接寫出∠ABO的度數．1．（2021秋?西青區期末）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個點，首先連接BA1，圖中出現了3個不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個不同的三角形…（1）完成下表：連接個數出現三角形個數（2）若出現了45個三角形，則共連接了多少個點？（3）若一直連接到An，則圖中共有個三角形．2．（2021春?太倉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，點A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點O重合），連接AC交射線OE于點D．設∠OAC＝x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數是；②當∠BAD＝∠ABD時，x＝；當∠BAD＝∠BDA時，x＝．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．3．（2021春?鎮平縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a＝4，b＝6，設三角形的周長是x．（1）直接寫出c及x的取值范圍；（2）若x是小于18的偶數①求c的長；②判斷△ABC的形狀．4．（2021春?鎮江期末）直線AB、CD為平面內兩條直線，點M、點N分別在直線AB、CD上，點P（P不在直線AB、CD上）為平面內一動點．（1）如圖1，若AB、CD相交于點O，∠MON＝40°；①當點P在△OMN內部時，求證：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；②小芳發現，當點P在∠MON內部運動時，∠MPN、∠OMP、∠ONP還存在其它數量關系，這種數量關系是；③探究，當點P在∠MON外部時，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數量關系共有種；（2）如圖2，若AB∥CD，請直接寫出∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數量關系是．5．（2021春?高明區校級期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數量關系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求∠A的度數．6．（2021秋?甘井子區期末）如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分別為AB、BD中點．（1）探索CM與EM′有怎樣的數量關系？請證明你的結論；（2）如圖2，連接MM′并延長交CE于點K，試判斷CK與EK之間的數量關系，并說明理由．7．（2021春?泰州期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代數式直接填空）；（2）如圖1，若x＝y＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，請寫出DE與BF的位置關系，并說明理由；（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構成的銳角．①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，試求x、y．②小明在作圖時，發現∠DFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時，∠DFB不存在．8．（2021秋?婁底期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？9．（2021春?浦東新區期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．10．（2021秋?婺城區校級期末）如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．（1）示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系．答：AB與AP的數量關系和位置關系分別是、．（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．請你觀察、測量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系．答：BQ與AP的數量關系和位置關系分別是、．（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP、BQ．你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．11．（2021春?香坊區期末）已知：點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點M、N分別是射線AE、AF上的點，且PM＝PN．（1）當點M在線段AB上，點N在線段AC的延長線上時（如圖1），求證：BM＝CN；（2）在（1）的條件下，AM+AN＝AC；（3）當點M在線段AB的延長線上時（如圖2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四邊形ANPM的面積．12．（2021春?常熟市期末）如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，（1）在圖1中，分別畫出點P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余條件都不變，請你判斷并寫出PE與PD之間的數量關系，并說明理由．13．（2021?羅湖區校級期末）用三角板和直尺作圖．（不寫作法，保留痕跡）如圖，點A，B在直線l的同側．（1）試在直線l上取一點M，使MA+MB的值最小．（2）試在直線l上取一點N，使NB﹣NA最大．14．（2021?香洲區校級期末）如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；（2）何時△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數．15．（2021秋?臨沂期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向左平移3個單位長度后得到的△A2B2C2；（3）如果AC上有一點P（a，b）經過上述兩次變換，那么對應A2C2上的點P2的坐標是．16．（2021春?羅湖區校級期末）如圖（1），方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C都是格點．（1）畫出△ABC關于直線MN對稱的△A1B1C1；（2）寫出AA1的長度；（3）如圖（2），A、C是直線MN同側固定的點，B是直線MN上的一個動點，在直線MN上畫出點B，使AB+BC最小．17．（2021?太原期末）數學課上，同學們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形．為此，請你解答問題（1）．（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直線BD平分∠ABC交AC于點D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發現：下面兩個等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所有等腰三角形兩個底角的度數；（3）接著，小喬又發現：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個頂點畫一條直線可以將原三角形分成兩個小等腰三角形．請你畫出兩個不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標出可能的各內角的度數．（說明：要求畫出的兩個三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）請你寫出兩個符合（3）中一般規律的非等腰三角形的特征．18．（2021?東營期末）根據以下10個乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個“□2﹣?2”（兩數平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n個乘積，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn為正數，a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＞b2＞b3＞…＞bn，且a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn，試由（1）、（2）猜測一個一般性的結論．（不要求證明）19．（2021?浙江期末）如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘數”（1）28和2012這兩個數是“神秘數”嗎？為什么？（2）設兩個連續偶數為2k+2和2k（其中k取非負整數），由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎？為什么？（3）兩個連續奇數的平方差（k取正數）是神秘數嗎？為什么？20．（2021春?太原期末）閱讀下列材料，解決相應問題：“友好數對”已知兩個兩位數，將它們各自的十位數字和個位數字交換位置后，得到兩個與原兩個兩位數均不同的新數，若這兩個兩位數的乘積與交換位置后兩個新兩位數的乘積相等，則稱這樣的兩個兩位數為“友好數對”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68與34和86都是“友好數對”．（1）36和84“友好數對”．（填“是”或“不是”）（2）為探究“友好數對”的本質，可設“友好數對”中一個數的十位數字為a，個位數字為b，且a≠b；另一個數的十位數字為c，個位數字為d，且c≠d，則a，b，c，d之間存在一個等量關系，其探究和說理過程如下，請你將其補充完整．解：根據題意，“友好數對”中的兩個數分別表示為10a+b和10c+d，將它們各自的十位數字和個位數字交換位置后兩個數依次表示為和．因為它們是友好數對，所以（10a+b）（10c+d）＝．即a，b，c，d的等量關系為：．（3）請從下面A、B兩題中任選一題作答，我選擇題．A．請再寫出一對“友好數對”，與本題已給的“友好數對”不同．B．若有一個兩位數，十位數字為x+2，個位數字為x，另一個兩位數，十位數字為x+2，個位數字為x+8．且這兩個數為“友好數對”，直接寫出這兩個兩位數．21．（2021秋?九龍坡區期末）甲、乙兩商場自行定價銷售某一商品．（1）甲商場將該商品提價15%后的售價為1.15元，則該商品在甲商場的原價為元；（2）乙商場將該商品提價20%后，用6元錢購買該商品的件數比沒提價前少買1件，求該商品在乙商場的原價是多少？（3）甲、乙兩商場把該商品均按原價進行了兩次價格調整．甲商場：第一次提價的百分率是a，第二次提價的百分率是b；乙商場：兩次提價的百分率都是a+b2（a＞0，b＞0，a≠b請問甲、乙兩商場，哪個商場的提價較多？請說明理由．22．（2021?天津期末）某企業有九個生產車間，現在每個車間原有的成品一樣多，每個車間每天生產的成品也一樣多，有A、B兩組檢驗員，其中A組有8名檢驗員．他們先用兩天將第一、二兩個車間的成品檢驗完畢后，再去檢驗第三、四兩個車間所有成品，又用去了三天時間；同時，用這五天時間，B組檢驗員也檢驗完余下的五個車間的成品，如果每個檢驗員的檢驗速度一樣快，每個車間原有的成品為a件，每個車間每天生產b件成品．（1）用a、b表示B組檢驗員檢驗的成品總數；（2）求B組檢驗員的人數．23．（2021?遂寧期末）如圖，小剛家、王老師家和學校在一條直路上，小剛與王老師家相距3.5千米，王老師家與學校相距0.5千米．近來，小剛父母出差，如果王老師騎自行車到小剛家接小剛上學，就比平時走路上班多用24分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的3倍．（1）問：王老師騎自行車的速度是多少千米/小時？（2）為了節約時間，王老師與小剛約定每天7：35從家里同時出發，小剛走路，王老師騎車，遇到小剛后，立即搭小剛到校．如果小剛和王老師走路的速度一樣，王老師騎車的速度不變，請問他們能否在8：00鐘前趕到學校？說明理由．24．（2021?泉州期末）周末某班組織登山活動，同學們分甲，乙兩組從山腳下沿著一條道路同時向山頂進發，設甲，乙兩組行進同一路段所用的時間之比2：3．（1）直接寫出甲、乙兩組行進速度之比；（2）當甲組到達山頂時，乙組行進到山腰A處，且A處離山頂的路程尚有1.2千米，試問山腳離山頂的路程有多遠？（3）在題（2）所述內容（除最后的問句處）的基礎上，設乙組從A處繼續登山，甲組到達山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇，請你先根據以上情景提出一個相應的問題，再給予解答．（要求：①問題的提出不需再增添其它條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有書面條件．）25．（2021?河南期末）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作發現如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：①線段DE與AC的位置關系是；②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是．（2）猜想論證當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．26．（2021?昌平區期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=12∠BAD．求證：EF＝BE+（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=12∠（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=12∠27．（2021秋?朝陽區校級期末）如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠C＝∠E＝90°，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°．如圖2，連接CD，CD平分∠ACB，將△DEF繞點D按逆時針方向旋轉，記∠ADF為α（0°＜α＜180°）．（1）∠CDA的度數為85°．（2）如圖3，在旋轉過程中，當頂點C在△DEF內部時，邊DF，DE分別交BC，AC的延長線于點M，N．①求α的度數范圍；②∠1與∠2度數的和是否變化？若不變，請求出∠1與∠2的度數和；若變化，請說明理由．28．（2021?玉溪期末）平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．（1）如圖a，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點P移到AB、CD內部，如圖b，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數量關系？請證明你的結論；（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數量關系？（不需證明）（3）根據（2）的結論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數．29．（2021秋?揭陽期末）探究與發現：如圖①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連接DE．（1）當∠BAD＝60°時，求∠CDE的度數；（2）當點D在BC（點B、C除外）邊上運動時，試猜想∠BAD與∠CDE的數量關系，并說明理由．（3）深入探究：如圖②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他條件不變，試探究∠BAD與∠CDE的數量關系．30．（2021春?新華區校級期末）直線MN與直線PQ垂直相交于點O，點A在射線OP上運動（點A不與點O重合），點B在射線OM上運動（點B不與點O重合）．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，①當∠ABO＝60°時，求∠AEB的度數；②點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況：若不發生變化，試求出∠AEB的大小；（2）如圖2，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，請直接寫出∠ABO的度數．3．（2021春?鎮平縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a＝4，b＝6，設三角形的周長是x．（1）直接寫出c及x的取值范圍；（2）若x是小于18的偶數①求c的長；②判斷△ABC的形狀．4．（2021春?鎮江期末）直線AB、CD為平面內兩條直線，點M、點N分別在直線AB、CD上，點P（P不在直線AB、CD上）為平面內一動點．（1）如圖1，若AB、CD相交于點O，∠MON＝40°；①當點P在△OMN內部時，求證：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；②小芳發現，當點P在∠MON內部運動時，∠MPN、∠OMP、∠ONP還存在其它數量關系，這種數量關系是；③探究，當點P在∠MON外部時，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數量關系共有種；（2）如圖2，若AB∥CD，請直接寫出∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數量關系是．5．（2021春?高明區校級期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數量關系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求∠A的度數．6．（2021秋?甘井子區期末）如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分別為AB、BD中點．（1）探索CM與EM′有怎樣的數量關系？請證明你的結論；（2）如圖2，連接MM′并延長交CE于點K，試判斷CK與EK之間的數量關系，并說明理由．7．（2021春?泰州期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代數式直接填空）；（2）如圖1，若x＝y＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，請寫出DE與BF的位置關系，并說明理由；（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構成的銳角．①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，試求x、y．②小明在作圖時，發現∠DFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時，∠DFB不存在．

8．（2021秋?婁底期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？9．（2021春?浦東新區期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．10．（2021秋?婺城區校級期末）如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．（1）示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系．答：AB與AP的數量關系和位置關系分別是、．（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．請你觀察、測量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系．答：BQ與AP的數量關系和位置關系分別是、．（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP、BQ．你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．11．（2021春?香坊區期末）已知：點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點M、N分別是射線AE、AF上的點，且PM＝PN．（1）當點M在線段AB上，點N在線段AC的延長線上時（如圖1），求證：BM＝CN；（2）在（1）的條件下，AM+AN＝AC；（3）當點M在線段AB的延長線上時（如圖2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四邊形ANPM的面積．12．（2021春?常熟市期末）如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，（1）在圖1中，分別畫出點P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余條件都不變，請你判斷并寫出PE與PD之間的數量關系，并說明理由．13．（2021?羅湖區校級期末）用三角板和直尺作圖．（不寫作法，保留痕跡）如圖，點A，B在直線l的同側．（1）試在直線l上取一點M，使MA+MB的值最小．（2）試在直線l上取一點N，使NB﹣NA最大．14．（2021?香洲區校級期末）如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；（2）何時△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數．15．（2021秋?臨沂期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向左平移3個單位長度后得到的△A2B2C2；（3）如果AC上有一點P（a，b）經過上述兩次變換，那么對應A2C2上的點P2的坐標是．16．（2021春?羅湖區校級期末）如圖（1），方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C都是格點．（1）畫出△ABC關于直線MN對稱的△A1B1C1；（2）寫出AA1的長度；（3）如圖（2），A、C是直線MN同側固定的點，B是直線MN上的一個動點，在直線MN上畫出點B，使AB+BC最小．17．（2021?太原期末）數學課上，同學們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形．為此，請你解答問題（1）．（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直線BD平分∠ABC交AC于點D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發現：下面兩個等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所有等腰三角形兩個底角的度數；（3）接著，小喬又發現：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個頂點畫一條直線可以將原三角形分成兩個小等腰三角形．請你畫出兩個不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標出可能的各內角的度數．（說明：要求畫出的兩個三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）請你寫出兩個符合（3）中一般規律的非等腰三角形的特征．18．（2021?東營期末）根據以下10個乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個“□2﹣?2”（兩數平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n個乘積，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn為正數，a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＞b2＞b3＞…＞bn，且a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn，試由（1）、（2）猜測一個一般性的結論．（不要求證明）19．（2021?浙江期末）如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘數”（1）28和2012這兩個數是“神秘數”嗎？為什么？（2）設兩個連續偶數為2k+2和2k（其中k取非負整數），由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎？為什么？（3）兩個連續奇數的平方差（k取正數）是神秘數嗎？為什么？20．（2021春?太原期末）閱讀下列材料，解決相應問題：“友好數對”已知兩個兩位數，將它們各自的十位數字和個位數字交換位置后，得到兩個與原兩個兩位數均不同的新數，若這兩個兩位數的乘積與交換位置后兩個新兩位數的乘積相等，則稱這樣的兩個兩位數為“友好數對”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68與34和86都是“友好數對”．（1）36和84“友好數對”．（填“是”或“不是”）（2）為探究“友好數對”的本質，可設“友好數對”中一個數的十位數字為a，個位數字為b，且a≠b；另一個數的十位數字為c，個位數字為d，且c≠d，則a，b，c，d之間存在一個等量關系，其探究和說理過程如下，請你將其補充完整．解：根據題意，“友好數對”中的兩個數分別表示為10a+b和10c+d，將它們各自的十位數字和個位數字交換位置后兩個數依次表示為和．因為它們是友好數對，所以（10a+b）（10c+d）＝．即a，b，c，d的等量關系為：．（3）請從下面A、B兩題中任選一題作答，我選擇題．A．請再寫出一對“友好數對”，與本題已給的“友好數對”不同．B．若有一個兩位數，十位數字為x+2，個位數字為x，另一個兩位數，十位數字為x+2，個位數字為x+8．且這兩個數為“友好數對”，直接寫出這兩個兩位數．21．（2021秋?九龍坡區期末）甲、乙兩商場自行定價銷售某一商品．（1）甲商場將該商品提價15%后的售價為1.15元，則該商品在甲商場的原價為元；（2）乙商場將該商品提價20%后，用6元錢購買該商品的件數比沒提價前少買1件，求該商品在乙商場的原價是多少？（3）甲、乙兩商場把該商品均按原價進行了兩次價格調整．甲商場：第一次提價的百分率是a，第二次提價的百分率是b；乙商場：兩次提價的百分率都是a+b2（a＞0，b＞0，a≠b請問甲、乙兩商場，哪個商場的提價較多？請說明理由．22．（2021?天津期末）某企業有九個生產車間，現在每個車間原有的成品一樣多，每個車間每天生產的成品也一樣多，有A、B兩組檢驗員，其中A組有8名檢驗員．他們先用兩天將第一、二兩個車間的成品檢驗完畢后，再去檢驗第三、四兩個車間所有