專題2.7數軸中的動態問題【九大題型】

【人教版2024】

【題型1數軸動點中的絕對值的最小值問題】....................................................................................................1

【題型2數軸動點中的相遇問題】........................................................................................................................8

【題型3數軸動點中的中點問題】......................................................................................................................12

【題型4數軸動點中的相距問題】......................................................................................................................19

【題型5數軸動點中的和差倍分問題】..............................................................................................................24

【題型6數軸動點中的定值問題】......................................................................................................................32

【題型7數軸動點中的折返問題】......................................................................................................................37

【題型8數軸動點中的規律問題】......................................................................................................................43

【題型9數軸動點中的新定義問題】..................................................................................................................46

知識點：數軸中的動態問題主要解題步驟

1)畫圖——在數軸上表示出點的運動情況：運動方向和速度；

2)寫點——寫出所有點表示的數:一般用含有t的代數式表示,向右運動用“+”表示,向左運動用“-”表示；

3)表示距離——右-左,若無法判定兩點的左右需加絕對值；

4)列式求解——根據條件列方程或代數式,求值。

注意:要注意動點是否會來回往返運動。

【題型1數軸動點中的絕對值的最小值問題】

【例1】（23-24七年級·江蘇揚州·期末）閱讀下面材料：若已知點?表示數?，點?表示數?，則?、?兩點之

間的距離表示為??，則??=|???|．

回答下列問題：

(1)①點?表示數?，點?表示數1，則?、?兩點之間的距離表示為______；

②點?表示數?，點?表示數1，如果??=6，那么?的值為______；

(2)①如果|?+3|+|??2|=0，那么?=______，?=______；

②當代數式|?+1|+|??2|取最小值時，相應的整數?的個數為______；

第1頁共53頁.

(3)在數軸上，點?表示的數是最大的負整數、?是原點、?在?的右側且到?的距離是9，動點?沿數軸從點?

開始運動，到達?點后立刻返回，再回到?點時停止運動．在此過程中，點?的運動速度始終保持每秒2個單

位長度，設點?的運動時間為?秒．在整個運動過程中，請直接用含?的代數式表示??．

【答案】(1)①|??1|②7或?5

(2)①?3，2②4

111919

(3)當0<?<時，??=1?2?，當<?<5時，??=2??1，當5<?<時，??=19?2?，當<?<10時，

2222

??=2??19

【分析】此題主要考查有理數與數軸的應用，

（1）①根據?、?兩點之間的距離公式即可求解；

②根據??=6及?、?兩點之間的距離公式分情況討論即可求解；

（2）①根據絕對值的非負性即可求解；

②根據代數式|?+1|+|??2|的含義為點到?1和2的距離之和，故可得到取最小值時，相應的整數?的值，即

可求解；

（3）根據?點位置分情況討論，用含?的式子表示??的長，即可求解．

解題的關鍵是根據題意分類討論求解．

【詳解】（1）①∵點?表示數?，點?表示數1，

∴?、?兩點之間的距離表示為|??1|；

②點?表示數?，點?表示數1，

∵??=6，

∴|??1|=6

∴??1=6或??1=?6

∴?=7或?=?5

故答案為：①|??1|；②7或?5；

（2）①∵|?+3|+|??2|=0，

∴?+3=0，??2=0，

∴?=?3，?=2，

②代數式|?+1|+|??2|的含義為點到?1和2的距離之和，

∴當整數?的值為?1,0,1,2這4個值時，|?+1|+|??2|的最小值為3，

第2頁共53頁.

即相應的整數?的個數為4個；

故答案為：①?1；2；②4；

（3）在數軸上，點?表示的數是最大的負整數、?是原點、?在?的右側且到?的距離是9，

∴點?表示的數是?1，點?表示的數是9，?、?之間的距離??=10，

∵點?的運動速度始終保持每秒2個單位長度，動點?沿數軸從點?開始運動，到達?點后立刻返回，再回到?

點時停止運動，

∴0＜?＜10

1

當0<?<時，??=?????==1?2?，

2|1?2?|

1

當<?<5時，??=?????==2??1，

2|1?2?|

19

當5<?<時，??=19?2?，

2

19

當<?<10時，??=2??19，

2

111919

當0<?<時，??=1?2?，當<?<5時，??=2??1，當5<?<時，??=19?2?，當<?<10時，

∴2222

??=2??19.

【變式1-1】（23-24七年級·湖南長沙·期末）如圖，在數軸上A點表示數a，B點表示數b，C點表示數c，

且a，c滿足以下關系式：|?+3|+(??9)2=0，?=1．

(1)a=______；c=______；

(2)若將數軸折疊，使得A點與B點重合，則點C與數______表示的點重合；

(3)若點P為數軸上一動點，其對應的數為x，當代數式|???|+|???|+|???|取得最小值時，此時

x=______，最小值為______．

【答案】(1)?3，9

(2)?11

(3)1，12

【分析】（1）根據非負數的性質求解即可；

（2）先求出AB的中點表示的數，由此即可得到答案；

（3）分圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4四種情況討論求解即可．

第3頁共53頁.

【詳解】（1）解：∵|?+3|+(??9)2=0，|?+3|≥0，(??9)2≥0，

?+3=0，

∴??9=0

?=?3，

∴?=9

故答案為：-3；9；

（2）解：∵點A表示的數為-3，點B表示的數為1，

∴AB中點表示的數為-1，

∴點C到AB中點的距離為10，

∴點C與數-1-10=-11表示的點重合，

故答案為：-11；

（3）解：由題意得|???|+|???|+|???|

=|?+1|+|??1|+|??9|，

∴代數式|???|+|???|+|???|的值即為點P到A、B、C三點的距離和，

如圖3-1所示，當點P在A點左側時

|???|+|???|+|???|=??+??+??=3??+??+??=3??+16

如圖3-2所示，當點P在線段AB上時，

|???|+|???|+|???|=??+??+??=??+12

如圖3-3所示，當點P在線段BC上時，

|???|+|???|+|???|=??+??+??=??+??=??+12

如圖3-4所示，當點P在C點右側時，

|???|+|???|+|???|=??+??+??=3??+20

∴綜上所述，當P與B點重合時，(|???|+|???|+|???|)最小值=12．

第4頁共53頁.

【點睛】本題主要考查了非負性的性質，絕對值的幾何意義，數軸上兩點的距離，用數軸表示有理數等等，

熟知相關知識是解題的關鍵．

【變式1-2】（23-24七年級·廣東深圳·期末）如圖：在數軸上?點表示數?，?點表示數?，?點表示數?，且

?，?滿足|?+2|+(??8)2=0，?=1，

（1）?=_____________，?=_________________;

（2）若將數軸折疊，使得?點與?點重合，則點?與數表示的點重合.

（3）在（1）（2）的條件下，若點?為數軸上一動點，其對應的數為?，當代數式|???|+|???|+|???|取

得最小值時，此時?=____________，最小值為__________________.

（4）在（1）（2）的條件下，若在點?處放一擋板，一小球甲從點?處以1個單位/秒的速度向左運動；同時

另一小球乙從點?處以2個單位/秒的速度也向左運動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看做一點）以原來

的速度向相反的方向運動，設運動的時間為?（秒），請表示出甲、乙兩小球之間的距離?（用?的代數式表

示）

8?2??(?2??)=10??(0≤?≤3.5)

【答案】（1）?2，8；（2）?9；（3）1；10；（4）?={2??6?(?2??)=3??4(?>3.5).

【分析】（1）根據兩個非負數的和為零則這兩個數均為零即可得出答案；

1

（2）先求出AB=3，則折點為AB的中點，故折點表示的數為B點表示的數減去AB，即折點表示的數為：

2

1

1-×3=-0.5，再求出C點與折點的距離為：8-(-0.5)=8.5，所以C點對應的數為-0.5-8.5=-9；

2

（3）當P與點B重合時，即當x=b時，|x-a|+|x-b|+|x-c|取得最小值；

（4）分小球乙碰到擋板之前和之后，即當0≤t≤3.5，t＞3.5時，表示出甲、乙兩小球之間的距離d即可.

【詳解】解：（1）∵|?+2|+(??8)2=0，|?+2|≥0，(??8)2≥0

∴?+2=0，??8=0

∴?=?2，?=8；

故答案為：?2，8；

（2）因為?=?2，?=1，

所以AB=1-(-2)=3，

第5頁共53頁.

將數軸折疊，使得?點與?點重合，

所以對折點為AB的中點，

1

所以對折點表示的數為：1-×3=-0.5，

2

C點與對折點的距離為：8-(-0.5)=8.5，所以C點對應的數為-0.5-8.5=-9，

即點C與數-9表示的點重合，

故答案為：-9；

（3）當x=b=1時，

|x-a|+|x-b|+|x-c|=|x-(-2)|+|x-1|+|x-8|=10為最小值；

故答案為：1；10；

（）秒后，甲的位置是，乙的位置是8?2?(0≤?≤3.5)，

4??2??1+2(??3.5)=2??6(?>3.5)

8?2??(?2??)=10??(0≤?≤3.5)

∴?=2??6?(?2??)=3??4(?>3.5).

【點睛】此題考查是列代數式，數軸上兩點之間的距離，掌握數軸上兩點之間的距離求法是解決問題的關

鍵．

【變式1-3】（23-24七年級·江蘇無錫·期中）已知：b是最小的正整數，且a、b滿足(??5)2+|?+?|=0，

請回答問題

(1)請直接寫出a，b，c的值：?=________；?=________；?=________；

(2)a、b、c所對應的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應的數為x，點P在0到2之間運動時（即0≤?≤2

時），請化簡式子：|?+1|?|??1|+2|?+5|（請寫出化簡過程）

(3)在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，

同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，假設t秒鐘過后，若點B與

點C之間的距離表示為??，點A與點B之間的距離表示為??．請問：?????的值是否隨著時間t的變化

而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

【答案】(1)?1，1，5

(2)當0≤?≤1時，原式=4?+10；②當1<?≤2時，原式=2?+12

(3)不變，?????=2

【分析】（1）根據最小的正整數時1，即可得出b的值，根據絕對值和平方的非負性，即可得出a和c是

第6頁共53頁.

值；

（2）根據題意進行分類討論，①當0≤?≤1時，②當1<?≤2時即可求解；

（3）先得出t秒后，點A表示的數為?1??；點B表示的數為1+2?；點C表示的數為5+5?，再得出??和

??的表達式，計算即可．

【詳解】（1）解：∵最小的正整數是1，

∴?=1，

∵(??5)2+|?+?|=0，

∴??5=0,?+?=0，

解得：?=5,?=?1，

故答案為：?1，1，5；

（2）解：①當0≤?≤1時，?+1>0,??1≤0,?+5>0，

∴|?+1|?|??1|+2|?+5|

=(?+1)?(1??)+2(?+5)

=?+1?1+?+2?+10

=4?+10，

②當1<?≤2時，?+1>0,??1>0,?+5>0，

∴|?+1|?|??1|+2|?+5|

=(?+1)?(??1)+2(?+5)

=?+1??+1+2?+10

=2?+12；

（3）解：∵?=?1,?=1,?=5，點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2

個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，

∴t秒后，點A表示的數為?1??；點B表示的數為1+2?；點C表示的數為5+5?，

∴??=(5+5?)?(1+2?)=4+3?，??=(1+2?)?(?1??)=3?+2，

∴?????=(4+3?)?(3?+2)=2，

∴?????的值不變，恒為2．

【點睛】本題主要考查了絕對值的非負性，絕對值的計算，數軸上兩點之間的距離，解題的關鍵是掌握幾

個非負數相加和為0，則這幾個非負數分別為0；正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0

的絕對值是0；以及數軸上兩點之間距離的計算方法．

第7頁共53頁.

【題型2數軸動點中的相遇問題】

【例2】（23-24七年級·河南鄭州·階段練習）如圖，已知數軸上點A表示的數為6，B是數軸上在A左側的

一點，且A，B兩點間的距離為12．動點P從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，

設運動時間為t（t＞0）秒．

(1)數軸上點B表示的數是，點P表示的數是（用含t的代數式表示）；

(2)動點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發．求：

①當點P運動多少秒時，點P與點Q相遇？

②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為6個單位長度？

【答案】(1)?6；6?4?；

(2)①6秒；②3秒或9秒．

【分析】（1）由已知得??=6，則??=?????=6，因為點B在原點左邊，從而寫出數軸上點B所表示

的數；動點P從點A出發，運動時間為?(?>0)秒，所以運動的單位長度為4?，因為沿數軸向左勻速運動，

所以點P所表示的數是6?4?；

（2）由題意可得點Q表示的數為?6?2?．①點P與點Q相遇，則點P與點Q表示的數相同，即

6?4?=?6?2?，解得?=6．②點P與點Q間的距離為6個單位長度，則??=6，根據絕對值的幾何意義

有|(6?4?)?(?6?2?)|=6，解得?=3或?=9．

【詳解】（1）∵數軸上點A表示的數為6，

∴??=6，

∵A，B兩點間的距離為12，

∴??=12，

∴??=?????=12?6=6，

∵點B在原點左邊，

∴數軸上點B所表示的數為?6；

∵動點P從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，

∴點P運動t秒的長度為4?，

所以點P所表示的數為：6?4?；

第8頁共53頁.

故答案為：?6；6?4?．

（2）∵動點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，

∴運動t秒時，點Q表示的數為：?6?2?．

①點P與點Q相遇，則點P與點Q表示的數相同，即

6?4?=?6?2?，

解得：?=6，

∴當點P運動6秒時，點P與點Q相遇；

②點P與點Q間的距離為6個單位長度，則??=6，

即|(6?4?)?(?6?2?)|=6，

解得：?=3或?=9，

∴當點P運動3秒或9秒時，點P與點Q間的距離為6個單位長度．

【點睛】此題考查的知識點是數軸上兩點間的距離，絕對值的幾何意義，理解并運用絕對值的幾何意義是

解題的關鍵．

【變式2-1】（23-24七年級·甘肅蘭州·期末）如圖，已知數軸上點?表示的數為6，?是數軸上在?左側的一

點，且?，?兩點間的距離為10．動點?從點?出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運

動時間為?(?>0)秒．

(1)數軸上點?表示的數是_______，點?表示的數是_______(用含?的代數式表示)；

(2)動點?從點?出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點?、?同時出發．求：當點?運

動多少秒時，點?與點?相遇？

【答案】(1)?4；6?6?．

(2)當點?運動5秒時，點?與點?相遇．

【分析】此題考查的知識點是兩點間的距離及數軸，根據題意得出各線段之間的等量關系是解題關鍵．

（1）由題意知??=6，??=?????=10?6=4，因為?點在原點左邊，從而得出數軸上點?表示的數；

動點?從點?出發沿數軸向左勻速運動，根據題意則得出點?表示的數；

（2）設?點運動?秒時追上點?，根據題意列方程6?=10+4?，解得?值．

【詳解】（1）解：∵數軸上點A表示的數為6，

第9頁共53頁.

∴??=6，

則??=?????=10?6=4，

又∵點B在原點左邊，

∴數軸上點B所表示的數為?4；

點P運動t秒的長度為6?，

∵動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，

∴P所表示的數為：6?6?．

（2）設點?運動?秒時追上點?，

根據題意，得6?=10+4?，

解得：?=5，

答：當點?運動5秒時，點?與點?相遇．

【變式2-2】（23-24七年級·福建三明·期中）如圖，已知數軸上點?表示的數為4，點?表示的數為1，?是數

軸上一點，且??=8.

（1）直接寫出數軸上點?表示的數；

（2）動點?從?出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為?(?>0)秒，動點?從

點?出發，以每秒2個單位長度沿數軸向左勻速運動，求當t為何值時P，R兩點會相遇．

（3）動點?從?出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為?(?>0)秒，動點?從

點?出發，以每秒2個單位長度沿數軸向左勻速運動，動點?從點?出發，以每秒1個單位長度的速度沿數

軸向左勻速運動，若?，?????，?三點同時出發，當點?遇上點?后立即返回向點?運動，遇到點?后則停止運

動．求點?從開始運動到停止運動，行駛的路程是多少個單位長度？

【答案】（1）-4；（2）當t=1時，P，R兩點會相遇；（3）行駛的路程是24.75個單位長度．

【分析】（1）根據AC的距離和點A表示的數即可求出結論；

（2）先求出BC的長度，然后根據題意列出方程即可求出結論；

（3）先求出AB的長，然后求出點P遇上點?的時間，并求出此時點P與點Q的距離，從而求出P、Q的

相遇時間，然后即可求出結論．

【詳解】解：（1）∵數軸上點?表示的數為4，??=8，點C在點A左側

∴點C表示的數為4－8=-4；

（2）∵點?表示的數為1，點C表示的數為-4

第10頁共53頁.

∴BC=1－（-4）=5

由題意可得3t＋2t=5

解得：t=1

答：當t=1時，P，R兩點會相遇；

（3）由題意可得：AB=4－1=3

點P遇上點?的時間為：5÷（3－2）=5（秒）

此時點P與點Q的距離為3＋（3－1）×5=13

∴P、Q的相遇時間為13÷（3+1）=3.25（秒）

∴點?從開始運動到停止運動，行駛的路程是3×（5＋3.25）=24.75個單位長度

答：點?從開始運動到停止運動，行駛的路程是24.75個單位長度．

【點睛】此題考查的是數軸與動點問題，掌握數軸上兩點之間的距離公式和行程問題公式是解題關鍵．

【變式2-3】（23-24七年級·河北石家莊·階段練習）如圖，已知數軸上?，?，?三個點表示的數分別是?，

?，?，且|??10|=0，若點?沿數軸向右移動12個單位長度后到達點?，且點?，?表示的數互為相反數．

(1)?的值為______，???的值為______；

(2)動點?，?分別同時從點?，?出發，點?以每秒1個單位長度的速度向終點?移動，點?以每秒?個單位長

度的速度向終點?移動，點?表示的數為?．

①若點?，?在點?處相遇，求?的值；

②若點?的運動速度是點?的2倍，當點?，?之間的距離為2時，求此時?的值．

【答案】(1)?6；?4；

14

?=；?或；

(2)①3②30

【分析】（1）由絕對值的意義，數軸的定義，相反數的定義進行計算，即可求出答案；

（2）①利用行程問題，即可求出答案；

②根據題意，進行分類討論：當P、Q在相遇之前距離為2時；當P、Q在相遇之后距離為2時；分別求出

答案即可．

【詳解】（1）解：根據題意，則

∵|??10|=0，

第11頁共53頁.

∴?=10，

∵點?沿數軸向右移動12個單位長度后到達點?，且點?，?表示的數互為相反數，

?+12=?，解得：?=?6，

∴?+?=0?=6

∴???=6?10=?4；

故答案為：?6，?4；

（2）解：①根據題意，則

??=10?(?6)=16，??=6?(?6)=12，??=10?6=4，

∵點?，?在點?處相遇，

12

運動的時間為：=12（秒），

∴1

∴12?=4，

1

?=；

∴3

②∵點?的運動速度是點?的2倍，

∴點Q的速度是每秒2個單位；

當P、Q在相遇之前距離為2時；

16?214

運動的時間為：=（秒），

∴1+23

144

?=?6+=?；

∴33

當P、Q在相遇之后距離為2時；

16+2

運動的時間為：=6（秒），

∴1+2

∴?=?6+6=0；

4

綜合上述，?的值為?或；

30

【點睛】本題考查了數軸上表示的數，數軸上的動點問題，絕對值的意義，相反數的定義等知識，解題的

關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的進行解題．

【題型3數軸動點中的中點問題】

【例3】（23-24七年級·全國·假期作業）如圖，在數軸上A點表示數a，B點表示數b，C點表示數c，b是

最小的正整數，且a，c滿足|?+2|+(??7)2=0．

第12頁共53頁.

(1)?=______，?=______，?=______．

(2)點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點Q從點C出發，沿數軸向左勻速

運動，兩點同時出發，當點Q運動到點A時，點P，Q停止運動．當??=2??時，點Q運動到的位置恰好

是線段??的中點，求點Q的運動速度．（注：點O為數軸原點）

【答案】(1)?2；1；7

48

點的運動速度是每秒個單位長度或者每秒16個單位長度

(2)Q7

【分析】（1）本題主要考查了非負數的性質，根據有理數的特征、非負數的性質即可解答；掌握幾個非負

數的和為0，則每個非負數都為0成為解題的關鍵；

（2）本題主要考查了數軸上的動點問題，先求出點Q表示的數是?1，進而得到??=8，然后分當點P在??

和??上兩種情況解答即可；掌握數軸上的動點問題成為解題的關鍵．

【詳解】（1）解：因為b是最小的正整數，所以?=1．

因為|?+2|+(??7)2=0，所以?=?2，?=7．

故答案為?2；1；7．

（2）解：因為點Q運動到的位置恰好是線段??的中點，

所以點Q表示的數是?1，此時??=7?(?1)=8，

由??=2??，可分兩種情況：

11

當點在??上時，得??=??=，

①P33

17

此時??=??+??=2+=；

33

77

所以點運動的時間為÷2=，

P36(s)

748

所以點的運動速度=8÷=；

Q67

②當點P在??上時，得??=??=1，

此時??=?????=2?1=1，

1

所以點P的運動時間是1÷2=，

2(s)

1

所以點Q的運動速度=8÷=16，

2

48

綜上，點的運動速度是每秒個單位長度或者每秒16個單位長度．

Q7

第13頁共53頁.

【變式3-1】（23-24七年級·湖北武漢·期中）如圖，在數軸上有?、?、?三點，分別表示有理數?，?，?，

且?，?，?滿足式子|?+30|+|?+10|+|??14|=0；如圖：動點?從點?出發，以2個單位/秒的速度一直

向右運動，點?運動5秒后，長度為6個單位的線段??（?為線段左端點且與點?重合，?為線段右端點）

從?點出發以3個單位/秒的速度向右運動，當點?到達點?后，線段??立即以同樣的速度返回向左運動，當

點?到達點?后線段??再以同樣的速度向右運動，如此往返．設點?運動時間為?秒．

(1)求?，?，?的值；

(2)當?=______秒時，點?與點?重合，并求出此時線段??上點?所表示的數；

(3)記線段??的中點為?，在運動過程中，當點?與點?的距離為1個單位時，求?的值．

【答案】(1)?=?30，?=?10，?=14

(2)22秒，11

73

?=或

(3)515

【分析】（1）根據絕對值的非負的性質求解即可；

（2）結合（1）確定??之間的距離，然后根據點?運動的速度可計算當?=22秒時，點?與點?重合；當?=22

秒時，線段??的運動時間為17秒，即可確定線段??從?運動到?所用時間為6秒，結合數軸上點?起始位置

所表示數為?4，即可確定線段??運動17秒后，點?所表示數為11；

（3）由點?為線段??的中點，首先確定點?的起始位置所表示數為?7，然后結合在運動過程中點?所表示

數為(?30+2?)，分5≤?≤11，11≤?≤17，17≤?≤23三個階段逐一分析計算即可獲得答案．

【詳解】（1）解：∵|?+30|+|?+10|+|??14|=0，

∵|?+30|≥0，|?+10|≥0，|??14|≥0，

∴|?+30|=0，|?+10|=0，|??14|=0，

∴?=?30，?=?10，?=14；

（2）∵?所表示數為?30，?所表示數為14，

∴??=14?(?30)=44，

∴點?從運動到?所用時間為44÷2=22秒，

即當?=22秒時，點?與點?重合；

線段??的運動時間為22?5=17秒，

第14頁共53頁.

14?(?10)?6

線段??從?運動到?所用時間為=6秒，

3

∵數軸上點?起始位置所表示數為?4，

∴線段??運動17秒后，點?所表示數為?4+3×(17?6?6)=11；

?10+(?4)

（3）點?的起始位置所表示數為：=?7；

2

在運動過程中，點?所表示數為：?30+2?，

①當5≤?≤11時，點?所表示數為：?7+3(??5)=3??22，

??=|3??22?(?30+2?)|=1，?=?7（舍），?=?9（舍）；

②當11≤?≤17時，點?所表示數為：11?3(??11)=?3?+44，

73

??==1，?=，?=15；

|?3?+44?(?30+2?)|5

③當17≤?≤23時，點?所表示數為：?7+3(??17)=3??58，

??=|3??58?(?30+2?)|=1，?=27，?=29．

73

綜上所述，?=或．

515

【點睛】本題主要考查了絕對值的性質、數軸與有理數、數軸上兩點之間的距離、數軸上動點問題等知識，

理解題意，運用數形結合和分類討論的思想分析問題是解題關鍵．

【變式3-2】（23-24七年級·湖北武漢·階段練習）已知A，B，C三點在數軸上所對應的數分別為a，b，

18，且a、b滿足(?+10)2+|??10|=0.動點M從點A出發，以2個單位長度/秒的速度向右運動，同時，

動點N從點C出發，以1個單位長度/秒的速度向左運動，線段??為“變速區”，規則為：從點O運動到點B

期間速度變為原來的一半，之后立刻恢復原速，從點B運動到點O期間速度變為原來的兩倍，之后也立刻

恢復原速.當點M到達點C時，兩點都停止運動.設運動的時間為t秒.

(1)?=，?=，??=；

(2)M，N兩點相遇時，求相遇點在數軸上所對應的數.

(3)點D為線段??中點，當t為多少秒時，??=??？

【答案】(1)?10,10,28

16

(2)3

31

?=2或?=11或?=或?=17

(3)3

第15頁共53頁.

【分析】（1）根據絕對值的非負性，數軸上兩點間的距離公式計算即可．

????

（2）設M，N相遇于點P，且點P表示的數為m，則點M用時為+=?+5，??=10??，點N用

21

????10??10??

時為+=+8，根據題意，得+8=?+5，計算即可．

2122

（3）根據線段中點的性質求出點D的坐標，設時間為t，分五種情況進行討論，分別求出每種情況下點M

和點N的坐標，再根據兩點間的距離公式求出??和??，令??=??，解方程即可得出答案．

【詳解】（1）∵A，B，C三點在數軸上所對應的數分別為a，b，18，且a、b滿足(?+10)2+|??10|=0，

∴?=?10,?=10，

故A表示的數是?10，C表示的數是18，

∴??=18?(?10)=28，

故答案為：?10,10,28．

（2）設M，N相遇于點P，且點P表示的數為m，

①當點M在??上，點N在??上時，點M表示的數為2??10，點N表示的數為18??，

此時無法相遇；

②當點M在??上，點N在??上時，無法相遇；

③當點M在??上，點N在??上時，

則??=10??，??=?，

????????10??

點M用時為+=?+5，點N用時為+=+8，

∴21212

10??

根據題意，得+8=?+5，

2

16

解得?=，

3

故相遇點在數軸上所對應的數16．

3

（3）∵A表示的數是?10，點B表示的數是10，C表示的數是18，點D為線段??中點，

∴點D表示的數是5；

設運動t秒時，??=??，

①當點M在??上，點N在??上時，點M表示的數為2??10，點N表示的數為18??，

此時??=5?(2??10)=15?2?，??=18???5=13??，

∵??=??，

∴15?2?=13??，

第16頁共53頁.

解得?=2；

②當點M在??上，點N在??上時，點M表示的數為??5，點N表示的數為18??，

此時??=5?(??5)=10??，??=18???5=13??，

∵??=??，

∴10??=13??，

無解；

③當點M在??上，點N在??上時，點M表示的數為??5，點N表示的數為10?2(??8)=26?2?，

此時??=5?(??5)=10??，??=26?2??5=1=21?2?，

∵??=??，

∴10??=21?2?，

解得?=11；

④當點M在??上，點N在??上時，點M表示的數為??5，點N表示的數為10?2(??8)=26?2?，

此時??=(??5)?5=??10，??=26?2??5=1=21?2?，

∵??=??，

∴??10=21?2?，

31

解得?=；

3

⑤當點M在??上，點N在??上時，點M表示的數為2(??15)+10=2??20，點N表示的數為0?(??13)

=13??，

此時??=(2??20)?5=2??25，??=5?(13??)=??8，

∵??=??，

∴??8=2??25，

解得?=17；

31

綜上所述，當?=2或?=11或?=或?=17時，??=??．

3

【點睛】本題考查的是數軸上的動點問題，點表示的有理數，分類思想，熟練掌握兩點間距離公式的計算

是解決本題的關鍵.

【變式3-3】（23-24七年級·廣東廣州·期中）如圖：在數軸上?點表示數?3，?點表示數1，?點表示數9．

(1)若將數軸折疊，使得?點與?點重合，則點?與______表示的點重合；

第17頁共53頁.

(2)若點?、點?和點?分別以每秒2個單位、1個單位長度和4個單位長度的速度在數軸上同時向左運動．

①若?秒鐘過后，?，?，?三點中恰有一點為另外兩點的中點，求?值；

②當點?在?點右側時，是否存在常數?，使????2??的值為定值，若存在，求?的值，若不存在，請說明

理由．

【答案】(1)5；

2

①?=1或4或16；②存在，?=?．

(2)3

【分析】（1）求出??的長度和中點，然后求出中點到點?的距離即中點到點?的重合點的距離，即可求得

點?的重合點；

（2）①分別以?、?、?為中點，列出方程求解即可；②使????2??的值為定值，列出等式中的含?項合并

為0，從而求出?的值．

【詳解】（1）??=9?(?3)=12，

12÷2=6，

∴??的中點表示的數為：9?6=3，

∵3?1=2，

點B的重合點為3+2=5，

故答案為：5；

（2）解：①由題意可知，?秒時，點?所在的數為：?3?2?，點?所在的數為：1??，點?所在的數為：

9?4?，

（1）若?為??中點，

(?3?2?)+(9?4?)

則1??=，

2

解得?=1；

（2）若?為??中點，

(?3?2?)+(1??)

則9?4?=，

2

解得?=4；

（3）若?為??中點，

1??+9?4?

則?3?2?=，

2

解得?=16；

第18頁共53頁.

綜上，當?=1或4或16時，?、?、?三點中恰有一點為另外兩點的中點；

②假設存在．

∵?在?右側，?在?右側，

∴??=9?4??(1??)=8?3?，??=1???(?3?2?)=?+4，

∴????2??=?(8?3?)?2(?+4)=8??8?(3?+2)?，

2

當3?+2=0即?=?時，

3

40

????2??=8×?2?8=?，為定值，

33

2

故存在常數?=?使????2??的值為定值．

3

【點睛】此題考查了數軸上兩點間距離，數軸上動點問題，一元一次方程的應用，解題的關鍵是能用兩點

間的距離公式列出方程．

【題型4數軸動點中的相距問題】

【例4】（2024七年級·全國·專題練習）如圖1，已知線段??=24，點C為線段??上的一點，點D、E分

別是??和??的中點．

(1)若??=8，則??的長為______；

(2)若??=?，求??的長；

(3)動點P，Q分別從A，B兩點同時出發，相向而行，點P以每秒3個單位長度沿線段??向右勻速運動，Q

點以P點速度的兩倍，沿線段??向左勻速運動，設運動時間為t秒，問當t為多少秒時P，Q之間的距離為

6？

【答案】(1)??的長為12；

(2)??的長為12；

10

當?=2或?=時，之間的距離為；

(3)36

【分析】（1）由??=24，??=8，則??=16，由點D、E分別是??和??的中點，則??=4,??=8，即

可得到答案；

11

（2）由??=24，??=?，則??=24??，由點D、E分別是??和??的中點，則??=12??,??=?，即

22

第19頁共53頁.

可得到答案；

（3）由??=3?,??=6?，則??+??+??=24或??+?????=24，即可得到答案．

【詳解】（1）解：∵??=24，??=8，

∴??=16，

∵點D、E分別是??和??的中點，

∴??=4,??=8，

∴??=??+??=12，即??的長為12；

（2）解：∵??=24，??=?，

∴??=24??，

∵點D、E分別是??和??的中點，

11

∴??=12??,??=?，

22

∴??=??+??=12，即??的長為12；

（3）解：∵??=3?,??=6?，

如圖，

∴??+??+??=24，

如圖，

∴??+?????=24，

∴3?+6+6?=24或3?+6??6=24，

10

解得：?=2或?=，

3

10

當?=2或?=時，之間的距離為；

∴36

【點睛】本題考查了線段的中點，線段的和差倍分，一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據題意畫出圖

形，得出線段之間的關系式．

【變式4-1】（23-24七年級·河南周口·階段練習）在數軸上點A表示a，點B表示b，且a、b滿足|?+5|+|??7|

=0．

(1)求a，b的值，并計算點A與點B之間的距離．

第20頁共53頁.

(2)若動點P從A點出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸正方向勻速運動，運動幾秒后，點P到達B

點？

(3)若動點P從A點出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，同時動點Q從B點出發，以每

秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，運動幾秒后，P、Q兩點間的距離為4個單位長度？

【答案】(1)?=?5，?=7，A與B之間的距離為12個單位長度

(2)6秒

(3)2秒或4秒

【分析】（1）根據絕對值的非負性求出a、b，再利用AB=|???|求解即可；

（2）根據運動距離÷速度=時間求解即可；

（3）分點P、Q相遇前和相遇后兩種情況求解即可．

【詳解】（1）解：因為|?+5|+|??7|=0，

所以?=?5，?=7

所以點A與點B之間的距離為|?5?7|=12．

（2）解：因為A、B兩點之間的距離為12個單位長度，

所以12÷2=6秒，

答：點P運動6秒后到達B點．

（3）解：由題意，有兩種情況：

P、Q相遇前：(12?4)÷(1+3)=2（秒），

P、Q相遇后：(12+4)÷(1+3)=4（秒），

所以運動2秒或4秒后，P、Q兩點間的距離為4個單位長度．

【點睛】本題考查絕對值、數軸，理解絕對值的非負性，會利用數形結合思想和分類討論思想解決數軸上

的動點問題是解答的關鍵．

【變式4-2】（23-24七年級·吉林長春·期中）在數軸上，O表示原點，A、B兩點分別表示﹣8和2．

(1)求出線段AB的長度；

(2)動點P從A出發沿數軸向右運動，速度為每秒5個單位長度；同時點Q從B出發，沿數軸向右運動，速

度為每秒3個單位長度，當P、Q重合時，兩點同時停止運動．設兩點運動時間為t秒，用含有t的式子表

示線段PQ的長；

(3)在(2)的條件下，t為何值時，點P、點Q到原點O的距離相等．

第21頁共53頁.

【答案】(1)AB＝10；(2)PQ＝10﹣2t且0≤t≤5；(3)為0.75、5時，點P、點Q到原點O的距離相等．

【分析】（1）用點A到原點O的距離加上點B到原點O的距離，即可求出線段AB的長度．

（2）用線段AB的長度減去動點P向右運動的長度，再加上動點Q向右運動的長度，用含有t的代數式表

示線段PQ的長即可．

（3）根據題意，分兩種情況：①點P、點Q重合時；②點P、點Q在原點O的兩側時；求出t為何值時，

點P、點Q到原點O的距離相等即可．

【詳解】(1)AB＝OA+OB＝8+2＝10,

(2)PQ＝10﹣5t+3t＝10﹣2t,

由10﹣2t≥0，

解得0≤t≤5．

(3)①點P、點Q重合時，

由10﹣2t＝0，

解得t＝5．

②點P、點Q在原點O的兩側時，

OP＝8﹣5t,

OQ＝2+3t,

由8﹣5t＝2+3t,

解得t＝0.75,

所以t為0.75、5時，點P、點Q到原點O的距離相等．

【點睛】本題考查負數的意義和應用，兩點間的距離的求法，考查了分類討論思想的應用，要熟練掌握．

【變式4-3】（23-24七年級·福建三明·期中）已知數軸上有?、?、?三個點，分別表示有理數?24、?10、

10，動點?從?出發，以每秒1個單位長度的速度向終點?移動，設移動時間為?秒．若用??，??，??分別表

示點?與點?、點?、點?的距離，試回答以下問題．

(1)當點?運動10秒時，??=______，??=______，??=______；

第22頁共53頁.

(2)當點?運動了?秒時，請用含?的代數式表示?到點?、點?、點?的距離：??=______，??=______，

??=______；

(3)經過幾秒后，點?到點?、點?的距離相等？此時點?表示的數是多少？

(4)當點?運動到?點時，點?從?點出發，以每秒3個單位長度的速度向?點運動，?點到達?點后，再立即以

同樣速度返回，運動到終點?．在點?開始運動后，?、?兩點之間的距離能否為4個單位長度？如果能，請

直接寫出點?表示的數；如果不能，請說明理由．

【答案】(1)10，4，24；

(2)?，|?14+?|，|?34+?|；

(3)?7；

(4)?5，?1，2.5，4.5．

【分析】（1）根據題意求得?=10時，?點的位置，進而求得兩點距離；

（2）先表示出?點的位置表示的數，進而求得兩點距離；

（3）根據題意，列一元一次方程，解方程求解即可；

（4）分?點到達?點之前，和?點到達?點之后，兩種情形，根據兩點距離為，建立一元一次方程解方程求

解即可；

此題考查了數軸上動點問題，數軸上兩點距離問題，一元一次方程的應用，數形結合是解題的關鍵．

【詳解】（1）∵?、?、?三個點，分別表示有理數?24、?10、10，動點?從?出發，以每秒1個單位長度的

速度向終點?移動，設移動時間為?秒，

∴?=10時，?點表示的數為?24+10=?14，

∴當?點運動10秒時，??=|?14?(?24)|=10，??=|?14?(?10)|=4，??=|?14?10|=24，

故答案為：10，4，24；

（2）依題意，當?點運動了?秒時，

則??=?，點?表示的數為?24+?，

∴??=|?24+??(?10)|=|?14+?|，??=|?24+??10|=|?34+?|，

故答案為：?，|?14+?|，|?34+?|；

（3）∵??=??，

∴?=|?34+?|，

即?=?34+?或??=?34+?，

第23頁共53頁.

解得：?=17，

∴點?表示的數為?24+17=?7；

（4）根據題意，設經過?秒后?、?兩點之間的距離為4個單位長度，?點運動到?點需要的時間為：20÷1=20

（秒）

①當?點未到達?點，

此時??=3?，??=?，則?點表示的數為?24+3?，點?表示的數為?10+?，

則??=|?10+??(?24+3?)|=|14?2?|=4，

即14?2?=4或14?2?=?4，

解得：?=5或?=9，

∴點表示的數為?5或?1；

②當?點從?點返回后，

此時??=?????=|34?(3??34)|=|68?3?|，??=?，

則?點表示的數為?24+68?3?=?3?+44，點?表示的數為?10+?，

則??=|?10+??(?3?+44)|=|4??54|=4，

即4??54=4或4??54=?4，

2925

解得?=或?=，

22

∴點?表示的數為4.5或2.5，

綜上所述，點?表示的數為?5，?1，2.5，4.5．

【題型5數軸動點中的和差倍分問題】

【例5】（23-24七年級·江西南昌·期末）已知數軸上的兩