第三章

空間向量與立體幾何

空間向量的概念及線性運(yùn)算設(shè)計(jì)者:王志勇1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程.3.掌握空間向量的線性運(yùn)算.探究1

想象一個(gè)滑翔傘運(yùn)動(dòng)的場景，在滑翔過程中，飛行員受到來自不同方向，大小各異的力，如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等，這些力在同一平面內(nèi)嗎？在數(shù)學(xué)上，我們把這些力稱為什么？提示這些力不在同一平面內(nèi).在數(shù)學(xué)上，我們把這些力稱為空間向量.1.在空間中，把具有______和______的量叫作空間向量.向量的大小叫作向量的______或____.

空間向量用有向線段表示，表示向量a的有向線段的長度也叫作向量a的長度或模，用_____表示.有向線段的方向表示向量的方向.大小方向長度模|a|2.幾類特殊的空間向量名稱定義及表示相等向量方向______且模______的向量稱為相等向量自由向量數(shù)學(xué)中所研究的向量，與向量的起點(diǎn)無關(guān)，稱之為__________相反向量方向相反且模相等的向量互為相反向量，向量a的相反向量用______表示零向量規(guī)定模為0的向量叫作________，記為0共線向量表示向量的兩條有向線段所在的直線____________時(shí)，稱這兩個(gè)向量互為共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量______共面向量平行于__________的向量，叫作共面向量相同相等自由向量－a零向量平行或重合平行同一平面例1③④⑤(1)(多選)設(shè)空間向量b是空間向量a的相反向量，則下列說法正確的是A.a與b的長度相等

B.a與b平行C.a與b所在的直線平行

D.a是b的相反向量訓(xùn)練1√空間向量b是空間向量a的相反向量，即b＝－a.根據(jù)向量的模的定義，可得|a|＝|－a|＝|b|，所以A中說法正確；易知B中說法正確；a與b所在的直線可能平行也可能重合，故C中說法錯(cuò)誤；易知D中說法正確.故選ABD.√√探究3

空間向量的加減運(yùn)算可否按照平面向量的加減運(yùn)算來進(jìn)行？為什么？提示空間任意兩個(gè)向量都可平移到同一平面內(nèi)，因此空間向量的加減運(yùn)算可以按平面向量的加減運(yùn)算來進(jìn)行運(yùn)算.知識(shí)梳理對角線被減向量b＋aa＋(b＋c)例2√√√訓(xùn)練2探究4

a為空間向量時(shí)，實(shí)數(shù)λ與a的乘積的幾何意義與a為平面向量時(shí)，實(shí)數(shù)λ與a的乘積的幾何意義是否類似？提示幾何意義類似.知識(shí)梳理空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義與平面向量類似，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積仍然是一個(gè)向量，記作λa.求實(shí)數(shù)與空間向量的乘積的運(yùn)算稱為空間向量的數(shù)乘運(yùn)算幾何意義λ＞0向量λa與向量a的方向______|λa|＝|λ||a|，λa的長度是a的長度的____倍λ＜0向量λa與向量a的方向______λ＝0λa＝0，其方向是______的運(yùn)算率結(jié)合律λ(μa)＝_______分配律(λ＋μ)a＝________，λ(a＋b)＝_______，其中λ∈R，μ∈R相同相反任意|λ|(λμ)aλa＋μaλa＋λb例3(1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，訓(xùn)練3如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)M是上底面A1B1C1D1的中心.在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是上底面A1B1C1D1的中心，知識(shí)梳理定理：空間兩個(gè)向量a，b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.通常把這個(gè)定理稱為共線向量基本定理.(也稱“一維向量基本定理”)1、背誦記憶空間向量的基礎(chǔ)概念2、背誦記憶空間向量的加減運(yùn)算法則及運(yùn)算律3、背誦記憶空間向量的數(shù)乘運(yùn)算法則4、背誦記憶空間向量共線的基本定理√1.(多選)下列命題中正確的是 A.如果a，b是兩個(gè)單位向量，則|a|＝|b| B.兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同 C.若a，b，c為任意向量，則(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) D.空間任意兩個(gè)非零向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)由單位向量的定義知|a|＝|b|＝1，故A正確；因相等向量不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；由向量加法結(jié)合律知C正確；在空間確定一點(diǎn)后，可將兩向量的起點(diǎn)移至該點(diǎn)，這兩個(gè)非零向量就同在一個(gè)平面內(nèi)，故D正確.√√√√易知四邊形EFGH為平行四邊形，√√√√1、把課堂檢測