2024-2025學年重慶市開州開區高三上學期11月月考數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若復數滿足，則可以為（

）A． B． C． D．2．已知平面向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．為等比數列的前項和，若，且，則等于（

）A．2 B．4050 C． D．4．已知實數滿足，則的最小值為（

）A．20 B．25 C．30 D．355．若為銳角，已知，則（

）A． B． C． D．6．已知函數的定義域為，若函數與函數的交點為，則（

）A．0 B． C．2025 D．40507．已知圓，直線，點為直線上的動點.過點作圓的兩條切線，切點分別為.若使得四邊形為正方形的點有且只有一個，則實數的值為（

）A．或 B．或5 C．3或 D．3或58．已知點分別為橢圓的左?右焦點，過點作軸的垂線交橢圓于兩點，分別為的內切圓圓心，則的周長是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．B．C．關于直線對稱D．將函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象10．已知拋物線的焦點為，過點的直線交該拋物線于，兩點，點，則下列結論正確的是（

）A．B．C．若直線的斜率為1，則D．面積的最小值為11．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．在上是增函數B．若關于的方程有兩個不相等的實根，且，則C．若，不等式恒成立，則的取值范圍為D．若，且，則的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．若直線與直線平行，則實數.13．點為平面直角坐標系的原點，，點滿足，點為圓上一動點，則的最小值為.14．若數列滿足對任意都有，則稱數列為上的“凹數列”.已知，若數列為上的“凹數列”，則實數的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內角的對邊分別為.已知為邊的中點，且.(1)求證：；(2)若，求的面積.16．已知數列的前項和為，且.(1)若，求；(2)若數列是單調遞增數列，求首項的取值范圍.17．某校高三年級在一次數學測驗中，各位同學的成績，現規定：成績在的同學為“成績頂尖”，在的同學為“成績優秀”，低于90分的同學為“不及格”.(1)已知高三年級共有2000名同學，分別求“成績優秀”和“不及格”的同學人數（小數按四舍五入取整處理）；(2)現在要從“成績頂尖”的甲乙同學和“成績優秀”的丙丁戊己共6位同學中隨機選4人作為代表交流學習心得，在已知至少有一名“成績頂尖”同學入選的條件下，求同學丙入選的概率：(3)為了了解班級情況，現從某班隨機抽取一名同學詢問成績，得知該同學為142分.請問：能否判斷該班成績明顯優于或者差于年級整體情況，并說明理由.（參考數據：若，則，）18．已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線方程及漸近線方程；(2)過右焦點的直線與雙曲線右支交于兩點，與漸近線分別交于點，直線分別與直線交于.（i）求的取值范圍；（ii）求證：以為直徑的圓過定點，并求出該定點.19．已知函數.(1)討論函數極值點的個數；(2)當時，數列滿足.求證：的前項和滿足.

答案1．【正確答案】A【分析】借助復數的性質設，結合題意計算即可得.【詳解】設，，則，故有，即有，選項中只有A選項符合要求，故A正確，B、C、D選項不符合要求，故B、C、D錯誤.故選A.2．【正確答案】B【詳解】若與的夾角為鈍角，則且與不共線，可得，解得且，因為是的真子集，所以“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.3．【正確答案】A【詳解】設等比數列的公比為，由，得，即，解得，所以.故選：A.4．【正確答案】B【詳解】因為，所以，所以，當且僅當即取等號，故最小值為25，故選：B5．【正確答案】D【詳解】由為銳角，則，，由，解得，，所以.故選：D.6．【正確答案】C【詳解】由，可得函數的圖象關于點對稱，因，則，故函數的圖象關于點對稱，又函數的定義域為且和的交點有奇數個，故是兩個函數的交點，即，另外2024個交點都關于點對稱，即，故.故選：C.7．【正確答案】C【詳解】由可知圓心C0,1，半徑為2，因為四邊形為正方形，且邊長為圓的半徑2，所以，所以直線上有且只有一個點，使得，即，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或．故選：C.8．【正確答案】A【詳解】由橢圓，知，所以.所以，所以過作垂直于軸的直線為，可得，由題知的內切圓的半徑相等，且，的內切圓圓心的連線垂直于軸，垂足為.設內切圓的半徑為，在中，由等面積法得，，由橢圓的定義可知，，由，所以，解得，在中，因為為的角平分線，所以一定在上，即軸上，令圓半徑為，在中，由等面積法得，，由橢圓的定義可知，，所以，解得，所以，所以，所以的周長是.故選：A.9．【正確答案】ACD【詳解】對于AB，由題意知，，所以，，又，即，所以；即，又因為，所以，故，所以A正確，B錯誤；對于C，令,則，存在著當時，使其對稱軸為，故C正確；對于D，將圖象上所有點向左平移個單位長度后得到，故D正確；故選：ACD.10．【正確答案】BC【詳解】對于A，易知拋物線即為，所以焦點，由題意可知過點的直線斜率一定存在，設直線方程為，聯立，整理可得，，由韋達定理可得，即A錯誤；對于B，由焦半徑公式可得，因此，即B正確；對于C，若直線的斜率為1，即，則，可得C正確；對于D，易知，點到直線的距離為，所以的面積為，當時，面積的最小值為，即D錯誤.故選：BC11．【正確答案】BCD【詳解】因為，則，當時，f′x>0；當時，f可知在內單調遞減，在0,+∞內單調遞增，且；又因為的定義域0,+∞，且，當時，；當時，；可知在0,1內單調遞減，在1,+∞內單調遞增，且.對于選項A：因為，則，所以在1,+∞上不是增函數，故A錯誤；對于選項B：因為關于的方程有兩個不相等的實根，可知，，且，整理可得，即，結合對數等式，可得，即，所以，故B正確；對于選項C：因為，則，且，可得，又因為在0,+∞內單調遞增，可得，則，構建，則，因為，可知：當時，?′x>0；當時，?可知?x在0,1內單調遞減，在1,+∞內單調遞增，且.可得，所以的取值范圍為，故C正確；對于選項D：若，且，由圖象可知：，則，即，可得，且，即，可得，又因為，且，在0,+∞內單調遞增，可得，則，構建，則，當時，；當時，；可知在上單調遞增，在上單調遞減，則，所以的最大值為，故D正確；故選：BCD.12．【正確答案】?2【詳解】因為直線與直線平行，所以，所以，且且所以.故答案為.13．【正確答案】/【詳解】設，則，整理得到，設該圓的圓心為，則，半徑為，而，圓的半徑為，，故圓與圓相離，故的最小值為，當且僅當共線時且在之間時取最小值.而的最小值為，當且僅當共線且在之間時取最小值，故的最小值為，故14．【正確答案】【詳解】若數列為上的“凹數列”，則，即，可得，整理可得，即，因為，令，可得，當時，，可得，原題意等價于對任意恒成立，因為在上單調遞增，則在上單調遞減，且當時，，可知的最大值為，可得，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：由，得即，因為，由正弦定理得，，則，即.（2）在中，由余弦定理得，①因為為的中點，所以，則，即，即，②聯立①②，得，解得，所以，所以的面積為.

16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，則，可得，若，則，可知是以首項為2，公比為3的等比數列，則，所以.（2）因為，當時，則；當時，則，兩式相減可得，則，若數列是單調遞增數列，則，解得，且，解得，綜上所述：首項的取值范圍為.17．【正確答案】(1)“成績優秀”和“不及格”的同學人數分別為人、人(2)(3)班級成績由于年級成績【詳解】（1）由已知，“成績優秀”的概率為：.“不及格”的概率為：，所以“成績優秀”的人數為人，“不及格”的人數為人.（2）設事件：至少一名“成績頂尖”同學入選，事件：丙入選，則，（3）由條件知年級中，而在該班隨機抽查中，同學成績在一次隨機事件中就發生了，這說明班級成績由于年級成績.18．【正確答案】(1)；(2)（i）;（ii）證明見解析;定點為.【詳解】（1）依題意，，則得，則雙曲線方程為，其漸近線方程為：，即；（2）（i）顯然當過點的直線斜率不能為0，故可設其方程為為，代入雙曲線方程，消元整理得：，則由,解得.設點，則，于是，，又由解得，即圖中；由解得，即圖中.則，于是，因，則，即的取值范圍為；（ii）因，則直線方程為：，令，則得，即；同理直線方程為：,令，則得,即.根據圖象的對稱性可知以為直徑的圓必經過軸上的一定點，設為，則,代入坐標，可得（*），因，，則，代入（*），可得，解得或.即以為直徑的圓過定點和.19．【正確答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由，，則，當時，，令，得，所以函數有唯一極值點；當時，令，即，由于，設方