第八章二元一次方程組

8.1二元一次方程組

教材分析

二元一次方程組是第八章第一節的內容，在此之前，學生已學習了一元一次方程，這為過渡到本節的學習起著

鋪墊作用.本節內容主要學習和二元一次方程組有關的幾個概念.本節內容既是前面知識的深化和應用，又是今后

用二元一次方程組解決生活中的實際問題的準備知識，占據重要的地位，是學生新的方程建模的基礎課，為今后學

習一次函數以及其他學科（如：物理）的學習奠定基礎，同時建模的思想方法對學生今后的發展有引導作用，因此本

節課具有承上啟下的作用.

備課素材

。新課導入國B

【情景導入】

古老的“雞兔同籠問題”

“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足.問雞、兔各幾何？”

方法一：算數方法

把兔子都看成雞，則多出94-35X2=24只腳，每只兔子比雞多出兩只腳，由此可先求出兔子有24+2=12（只），

進而求出雞有35—12=23（只）.

方法二：列一元一次方程求解

設有x只雞,則有（35-x）只兔子.根據題意,得2x+4（35-x）=94.

問題：上面的問題可以用一元一次方程來解，還有其他方法嗎？

【說明與建議】說明：以古老的數學名題引入，可以增強學生的民族自豪感，激發學生學習數學的興趣.能

用方法一來解的學生算術功底比較好，應給予高度贊賞.方法二既是對一元一次方程的復習與鞏固，又為二元一次

方程組的引出做好了鋪墊.建議：教師利用課件出示問題，學生思考，自行解答，教師巡視.最后，在學生動手動

腦的基礎上，通過討論給出各種解決方案.

【置疑導入】

播放多媒體：姚明和劉翔的合影照片.已知姚明比劉翔高37cm劉翔身高的2倍比姚明高152c加，則他們的

身高分別是多少？

假設姚明的身高為xcnu劉翔的身高為ycm,你能得到怎樣的方程？能列幾個？

【說明與建議】說明：由同學們熟悉的姚明和劉翔的身高，為新課的引入做準備，還可以調節氣氛，給學生

以輕松的感覺，以對話的形式再次引出方程問題，讓學生再次經歷建模的同時，以相對輕松的狀態進入后面的學

習.建議：引導學生回答問題，小組今作完成題目，教師參與并指導.

命題角度1認識二元一次方程（組）

1.下列方程中，為二元一次方程的是(D)

A.2x+3=0B.3x—y=2zC.x2=3D.2x—y=5

2.若關于x,y的方程7xm+（m—l）y=6是二元一次方程，則m的值為（A）

A.-1B.0C.1D.2

3.下列方程組中，是二元一次方程組的是（D）

3x—y=5fx+3=l5x+2y=lx+y=2

A.-B.C.I).

2y—z=61y=x~2xy=—1y—2x=4

命題角度2二元一次方程（組）的解

2x—3y=-8,

4.在下列各組數中，是方程組I。°的解的是（D）

,x+2y=3

x=4,

5.已知是關于x,y的二元一次方程x-ay=3的一個解，則a的值是1.

ly=l

命題角度3建立二元一次方程（組）模型

6.“今有50鹿進舍，小舍容4鹿，大舍容6鹿，需舍幾何？（改編自《緝古算經》）”大意為：今有50只鹿

進圈舍，小圈舍可以容納4頭鹿，大圈舍可以容納6頭鹿，若每個圈舍都住滿，求所需圈舍的間數.設需要大圈舍

x間，小圈舍y間，則列二元一次方程為6x+4y=50.

7.某公司要購買辦公桌，A型辦公桌每張500元，B型辦公桌每張300元，購買10張辦公桌共花費4200元.設

x+y=10

購買A型辦公桌x張，B型辦公桌y張，則根據題意可列方程組為……一

500x+300y=4200

教學設計”

課題8.1二元一次方程組授課人

1.了解二元一次方程（組）及其相關概念，會設兩個未知數并列方程組表示實際問題中的等量關系.

素養目標

2?會用數學的思維判斷一對數值是不是某個二元一次方程組的解.

1.了解二元一次方程（組）及其相關概念.

教學重點

2?會檢驗一對數值是不是某個二元一次方程組的解.

1.會檢驗一對數值是不是某個二元一次方程組的解.

教學難點

2?會設兩個未知數并列方程組表示實際問題中的等量關系.

授課類型新授課課時

教學活動

教學步驟師生活動設計意圖

1.方程2x-3=l是二元二次方程，其解是x=2,有j_個解.

通過簡單的提問，

2.下列方程中，解為x=4的方程是(C)

幫助學生回顧一元

回顧A.X—1=4B.4x=l

一次方程，為學習

C.4x—l=3x+3D.2(x—1)=1

新課做好準備.

師生活動：學生獨立完成，班內統一答案.師生共同回顧一元一次方程及其解.

【課堂引入】

活動一：對話

老牛喘著氣吃力地說：“累死我了！”

小馬說：“你還累？這么大的個，才比我多馱了2個.”

老牛氣喘吁吁地說：“哼，我從你背上拿來1個，我的包裹數就是你的2倍！”

小馬天真而不信地說：“真的？”

它們各馱了多少包裹呢？

根據學生的生活實

際和認知實際，創

屈;儕曬陶品

活動一：設具體的問題情

|一就1底而2伸］

創設情境，讓學生經歷建

至適馱r多少但Q

境、導入模的同時，調節心

新課設老牛馱了x個包裹，小馬馱了y個包裹，你能得到怎樣的方程？能列兒個？情，以相對輕松的

問題1：老牛馱的包裹數比小馬馱的多2個，由此你能得到怎樣的方程？狀杰進入后面的學

問題2：若老牛從小馬背上拿來1個包裹，老牛的包裹數就是小馬的包裹數的2習.

倍，由此你又能得到怎樣的方程？

活動二：多媒體展示公園門票問題，學生認真觀看圖片，部分學生開始在練習本

上計算.

［昨天.我們8個人］［藕腔生3倡

1門一氣看七1|依"仁、'幾

uB

設他們中有X個成人，y個兒童，由此你能得到怎樣的方程？

【探究新知】

1.二元一次方程的概念

上面兩個問題中，我們分別得到方程x—y=2,x+l=2(y—1)和x+y=8,5x

+3y=34.

(1)觀察以上幾個方程，它們各含有幾個未知數？含未知數的項的次數是多少？

與一元一次方程有何異同？

(2)能否仿照一元一次方程的定義給這幾個方程起個名？

歸納：L學生通過類比學

二元一次方程的概念：含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方習，抓住二元一次

程叫做二元一次方程.方程的關鍵特征，

它有3個特征：(1)含有兩個未知數；(2)所含未知數的項的次數都是1；(3)方歸納、概括得出二

程的兩邊都是整式.元一次方程的概

師生活動：先讓學生通過觀察歸納其中的共性，并用自己的語言進行描述，然后念.

再組織學生交流.2.通過分組討論得

活動二：

判斷一個方程是不是二元一次方程，要從元和次兩個方面去判斷，首先要看元，到二元一次方程組

實踐探

即未知數是否有兩個；其次要看次，即未知數的次數，含有未知數的項的次數必的概念，提高學生

究、交流

須都是1.這個概念分別在元和次兩個方面進行了限定，這兩個方面缺一不可.學習的積極性，同

新知

2.二元一次方程組的概念時增強學生的語言

對于公園門票問題：x+y=8和5x+3y=34這兩個方程，其中x的含義是什么？組織能力.

y呢？兩個方程中x,y的含義一樣嗎？3.深刻理解二元一

總結：兩個方程中x,y的含義是一樣的.次方程(組)的解的

x,y必須同時滿足兩個方程，所以我們把它們聯立起來，在前面加一個大括號，概念，體會二元一

x+y=8，次方程的解的不唯

組成方程組.

5x+3y=34.一性.

含有兩個未知數，每個未知數的項的次數都是1,并且一共有兩個方程，像這樣

的方程組叫做二元一次方程組.

師生活動：總結歸納出二元一次方程組的定義后，注意引導學生理解未知數X

和y表示的意義相同，棄規范方程組的表示方法.最后讓學生嘗試自己舉例.

二元一次方程組的判斷要點：首先要看方程中是不是含有兩個未知數；其次要看

含有未知數的項的次數是否都為1.這兩個重要條件必須同時滿足的兩個方程組

成的方程組才能稱為二元一次方程組.

3.二元一次方程(組)的解

做一做：

(l)x=6,y=2適合方程x+y=8嗎？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你還能

找到其他x,y的值適合方程x+y=8嗎？

(2)x=5,y=3適合方程5x+3y=34嗎？x=2,y=8呢？

(3)你能找到一組x,y的值同時適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎?

總結：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值叫做二元一次方

程的解.

x=5，x=5，

x=5,y=3是二元一次方程x+y=8的一個解，記作|同樣|也是

[y=3.〔y=3

二元一次方程5x+3y=34的一個解.

x=59x=5，

c同時適合方程x+y=8和5x+3y=34,那么，我們就說°是二元

ly=3[y=3

x+y=8，

一次方程組,的解.

5x+3y=34

一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

師生活動：學生分組討論后進行回答，教師幫助學生對比得到二元一次方程(組)

的解的定義，并引導學生理解一個二元一次方程一般有無數個解.

【典型例題】

例1下列方程有哪些是二元一次方程：(1)(3)(6).

(l)x+3y-9=0；(2)3x:-2y+12=0；

(3)3a—4b=7；(4)3x—^=1；

1.典型例題進一步

(5)mn+m=7；(6)^-5n=1；鞏固新知，提高學

活動三：

生的應用能力.

開放訓(7)xy—1=0；(8)x+y+z=2.

2變.式訓練拓展學

練、體現例2下列方程組中，屬于二元一次方程組的是(A)

生思維，進一步提

應用x+y=51x+y=2[xy=4fx2-1=0

A.]B/C.\D.1

,y=21y—z=6[y=1[x+y=5高學生分析問題、

解決問題的能力.

例3下列四組數中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？

x=-2，fx=3，[x=4fx=6，

(1)((2),(3)。(4).

ly=6；[y=4；ly=3；(y=-2.

解：(2),(4)是二元一次方程2x+y=10的解.

x+2y=10?

例4二元一次方程組的解是(C)

y=2x

x=4x=3[x=2x=4

A：B.C.iD.

ly=3y=6ly=4ly=2

例5某旅店一共有70個房間，大房間每間住8個人，小房間每間住6個人,

480個學生剛好住滿.設大房間有x個，小房間有y個，則列出方程組為

x+v=7()

8X+6Y=480?

【變式訓練】

1.若(a—l)x+4y、=3是二元一次方程，則@=二］_.

2.小明在解題時發現二元一次方程Dx—y=3中，x的系數已經模糊不清(用

x=-2，

“口”表示)，但查看答案發現是這個方程的一組解.，則“口”表示的

ly=5

數為二

師生活動：學生先獨立思考并作答，然后分小組交流討論，派學生代表進行講解,

教師最后進行完善.

【課堂檢測】

1.下列各組數中，不是x+y=5的解的是(B)

x=2[x=lfx=-2[x=0

AJB.IC.D.]

y=3ly=6ly=7ly=5

2x—y=1x=2，x+y=0，xy=l?

2.在方程組

y=3z+1；3y—x=l；3x-y=5；x+2y=3；

針對本課時的主要

是二元一次方程組的有⑴

問題，分層次進行

活動四：A.2個B.3個C.4個D.5個

檢測，達到了解課

課堂檢測x+3y=7，

3.下列各組數是二元一次方程組］的解的是(A)堂學習效果的目

y—x=l

的.

x=lx=0x=7X=1

A/B.C.D.

y=2y=iy=0y=-2

4.如圖,設他們中有x個成人，y個兒童，根據圖中的對話可得方程組(C)

昨天，我們8個人每張成人票30元.每張幾女

去看電影,美門票IS之，他們到底去了幾個

票花了195元.成人、幾個兒立？

x+y=30fx+y=195

AJB

■[30x4-15y=195130x+15y=8

x+y=8[x4-y=15

ClD

130x+15y=195,匕Ox+I5y=195

5.若方程/—3產1=5是關于x,y的二元一次方程，則m+n=2.

師生活動：學生進行課堂檢測，完成后，教師進行批閱、點評、講解.

1.課堂小結：

注重課堂小結，激

(1)二元一次方程組及其解的概念是怎樣的？

發學生參與課堂總

(2)如何檢驗一對數值是不是某個二元一次方程組的解？

課堂小結結的主動性，為每

2.布置作業：

一個學生的發展與

(1)教材第89頁練習.

表現創造機會.

(2)教材第90頁習題8.1第1,2,3,5題.

反思，更進一步提

教學反思

升.

經典導學設計

詳見電子資源

8.2消元——解二元一次方程組

第1課時用代入消元法解方程組

教材分析

本課時是在學習了一元一次方程及其解法以及二元一次方程組的基本概念之后進一步學習解二元一次方程組

的第一種方法一一代入消元法.本節課通過探索、嘗試、比較等活動來學習代入消元法，在學習的過程中要注意讓

學生體會消元思想在解決數學問題中的應用.

備課素材

GWWXWJ

【情景導入】

情境：某商場有如圖所示的一則廣告.

問題：你知道?個茶杯和?瓶可樂各多少錢嗎？

【說明與建議】說明：現實而直觀的情境是使學生主動參與的最佳途徑，同時讓學生體驗數學與生活的緊密

聯系.建議：以此例引出課題，使學生對新知識的學習有所期待，為順利地完成教學內容做了思想上的準備.

【置疑導入】

問題：體育節要到了，籃球是七年級（1）班的拳頭項目.為了取得好名次，他們想在全部22場比賽中得到4（）

分.已知每場比賽都要分出勝負，勝隊得2分，負隊得1分.那么七年級（1）班應該勝、負各幾場？

你會用二元一次方程組解決這個問題嗎？

根據問題中的等量關系設勝x場，負y場，可以很容易地列出方程組：

x+y=22,①

2x+y=40.②

那么有哪些方法可以求得這個二元一次方程組的解呢？

【復習導入】

（D下列方程是二元一次方程嗎？

①x+3y=7：②2y+2=0；③2x—3=5；④3x+y=9.

（2）你能把上面的二元一次方程改寫成用x表示y（或用y表示x）的形式嗎？

[x++yy==22,。的解是

⑶二元一次方程組

【說明與建議】說明：通過對已有知識的I可顧和思考，學生既感自然乂倍添新奇，有躍躍欲試的心情.由易

到難，引出課題，展示學習目標，培養學生養成回顧已學知識的習慣，并在回顧的過程中學會思考和質疑，通過質

疑，自然地引出我們要研究和解決的問題.建議：培喬學生獨立完成回顧和探究的好習慣，如果學生確實感覺自己

完成會比較困難，可小組內討論解決.

命題角度1用一個未知數表示另一個未知數

1.方程5x-3y=7,變形可得*=與^，丫="」?

命題角度2用代入法解二元一次方程組

2.用代入消元法解關于x,y的方程組xA=、4—y-3y3=,—1時’代入正確的是S)

A.2(4y-3)-3y=-lB.4y-3-3y=-l

C.4y-3-3y=lD.2(4y-3)~3y=l

2x—y=l,①

3.用代入法解方程組/時，下列變形正確的是(B)

6y—3x=5②

y+1

A.由①，得y=2x+lB.由①，得x=f—

C.由②，得丫=六二2D.由②，得

b—3

4.用代入消元法解二元一次方程組：

2x+3y=0,7=1,

⑴⑵〈34'

x—y=5；

3x—4y=2.

2x+3y=0,①

(1)

X—y=5,②

由②，得*=丫+5.③

把③代入①，得2(y+5)+3y=0.

解得y=-2.

把y=-2代入③，得x=3.

x=3,

故原方程組的解為°

ly=-2.

,J4x—3y=12,①

(2)方程組整理,得3x—4y=2.②

①+②，得7x—7y=14,

即x-y=2.

貝ijx=2+y.③

把③代入②，得3(2+y)-4y=2.

解得y=4.

把y=4代入③，得x=6.

故原方程組的解為一‘

y=4.

命題角度3用代入法解二元一次方程組的簡單應用

5.草特基地對收獲的草轉分揀成A,B兩個等級銷售，每千克4級草箍的價格比B級的2倍少4元，3千克A

級草莓比5千克B級草蔣多賣4元.求草卷基地銷售A,B兩個等級的草蔣每千克各是多少元？

解：設草莓基地銷售A等級草莓每千克為x元，銷售B等級草莓每千克為y元，

x=2y—4,x=28,

根據題意，得一.解得

y=16.

答：草莓基地銷售A等級草莓每千克是28元，銷售B等級草莓每千克是16元.

教學設計.

課題8.2第1課時用代入消元法解方程組授課人

1.會用代入消元法解二元一次方程組.

素養目標2?初步體會解二元一次方程組的基本思想——“消元”.

3?在解決問題的過程中學會交流與合作，感受二元一次方程組的實用價值.

教學重點會用代入消元法解二元一次方程組.

教學難點如何靈活地“消元”，壬“二元”轉化為“一元”.

授課類型新授課課時

教學活動

教學步驟師生活動設計意圖

1.下列方程是二元一次方程嗎？

XV

(1)x4-3y=7；(2)2y+2=0；(3)2x—3=5；(4)^—-=1.回顧舊知，為學習新

J乙

回顧

2.你能把上面的二元一次方程改寫成用x表示y(或用y表示x)的形式嗎？知做好準備.

3.解一元一次方程的步驟是什么？

【課堂引入】

通過提出實際問題，

活動一：上節課我們學習了老牛和小馬馱包裹的問題，經過大家的共同努力，得出了二

充分調動學生的積

創設情境、元一次方程組「二一：：“它們分別馱了多少包裹呢？這就需要我們

極性，激發學生的學

導入新課[x+l=2(y—1)，

習動力和興趣.

去解這個二元一次方程組.我們會解一元一次方程，那么二元一次方程組如何

解呢？

【探究新知】

問題1:老牛和小馬馱包裹的問題中，你能否列一元一次方程？如何求解？

解：設老牛馱了X個，則小馬馱了(X—2)個.根據題意，得

x+l=2(x—2—1),

x+l=2x—4—2,

x-2x=-4—2—1,

—x=—7,

x=7.

1.通過利用一元一

問題2：如果設老牛馱了x個包裹，小馬馱了y個包裹，你還記得怎么列的方

次方程解決實際問

程組嗎？

題，引導學生將求解

x-y=2?

二元一次方程組的

1x4-1=2(y—1).

問題轉化為消“二

問題3：針對同樣的問題，如何求二元一次方程組'’的解呢？元”為“一元”，調

[x+l=2(y—1)

動學生思考問題的

活動二：實提示：(1)對照一元一次方程的解法，問題2比問題1多了一個未知數y,y相

積極性，同時提高學

踐探究、交當于問題1中的____________.

生分析問題、解決問

流新知(2)一元一次方程會解，如何解二元一次方程呢？能否化成一元一次方程？換

題的能力.

句話說，多出來的未知數y可以轉化成____________,然后代入_____________.

2.通過問題羅列及

學生自己分析求解，教師規范解題格式.

小組討論，讓學生發

x—y=2?①

解.?揮學習的主動性，同

?x+l=2(y-l).②

時讓學生養成學會

由①，得y=x-2.③

觀察、分析、歸納的

將③代入②，得x+l=2(x—2—l).解得x=7.

好習慣.

把x=7代入③，得y=5.

x=7?

所以原方程組的解為

ly=5.

探索與歸納：

(1)給前面解方程組的方法取個什么名字好？

(2)解方程組的基本思路是什么？

(3)解方程組的主要步驟有哪些？

代入消元法：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的

式子表示出來，再代入另一個方程，從而消去一個未知數，化二元一次方程組

為一元一次方程.這種好方程組的方法叫代入消元法，簡稱代入法.

基本思路：二元一次方程組。一元一次方程

解二元一次方程組的第一種解法一一代入消元法，其主要步驟：

第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當的方程，將它的某個未知數

用含有另一個未知數的代數式表示出來.

第二步：把此代數式代入沒有變形的另一個方程中，可得一個一元一次方程.

笫三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數的值.

第四步：回代求出另一個未知數的值.

第五步：把方程組的解表示出來.

第六步：檢驗，即把求得的解代入每一個方程看其是否成立.

代入法解二元一次方程組的小竅門：

用代入消元法解二元一次方程組時，盡量選取一個未知數的系數的絕對值是1

的方程進行變形；若未知數的系數的絕對值都不是1,則選取系數的絕對值較

小的方程變形.

【典型例題】

1.進一步熟悉解二

X—y=3，①

例1(教材第91頁例1)用代入法解方程組人元一次方程組的基

[3x-8y=14.②

本思路，熟練解二元

解：由①，得乂=丫+3.③

一次方程組的基本

把③代入②,得3(y+3)-8y=14.

步驟和過程.

解得y=-L

2.讓學生解決數學

把y=-1代入③，得x=2.

問題，將新知識融入

活動三：開x=2，

所以這個方程組的解是學生已有的認知結

放訓練、體y=-i-

構中，提高認識知識

現應用例2(教材第92頁例2)根據市場調查，某種消毒液的大瓶裝(500g)和小瓶

的效率，促進學生能

裝(250g)兩種產品的銷售數最(按瓶計算)比為2：5.某廠每天生產這種消毒液

運用所學知識和技

22.5t,這些消毒液應該分裝大、小瓶裝兩種產品各多少瓶？

能解決問題，同時為

兩種產品的銷售數量比為2：5,即銷售的大瓶數目與小瓶數目的比為2：5.這

學生提供充分發揮

里的數目以瓶為單位.

創造力的空間，更大

【分析1問題中包含兩個條件：

地調動學生的積極

大瓶數：小瓶數=2：5,

性.

大瓶所裝消毒液+小瓶所裝消毒液=總生產量.

解：設這些消毒液應分裝X大瓶和y小瓶.根據題意，得

j5x=2y，?

|500x+250y=22500000.②

由①，得丫="③

5

把③代入②，得500x+250X：x=22500000.解得x=20000.

把x=20000代入③，得y=50000.

x=20000，

所以這個方程組的解是

y=50000.

答：這個工廠一天應生產20000大瓶和50000小瓶消毒液.

總結：上面解方程組I向過程可以用下面的框圖表示：

二產50000

元

一―20000|

次

方

程

組一元一次方程

500x+250x-^-.x=22500000

【變式訓練】

1.用代入法解下列方程組:

2x+3y=-195①[2x+3y=16，①

(1)(2)-

[x=l-5y；②[x+4y=13.②

解：(1)把②代入①，得2(1—5y)+3y=-19.解得y=3.

把y=3代入②，得x=l—5X3=-14.

x=—14，

所以方程組的解為J

y=3.

(2)由②，得x=13-4y.③

把③代入①.得2(13—4y)+3y=16.解得y=2.

把y=2代入③，得x=13—4X2=5.

所以方程組的解為x-5'

[y=2.

2.游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽.如果每

位男孩看到的藍色游泳帽是紅色游泳帽的兩倍?，而每位女孩看到的藍色游泳帽

比紅色游泳帽多12頂，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

解：設游泳池里男孩有x人，女孩有y人，根據題意，得

fx—1=2y，[x=21，

解得《

(x—(y—1)=12?ty=10.

答：游泳池里男孩有21人，女孩有10人.

師生活動：學生獨立思考，舉手回答，師生交流心得和方法.

【課堂檢測】

X-2y=75

1.用代入法解方程組時，代入正確的是(C)

y=1-x

A.x-2-x=7B.x-2-2x=7

C.x-2+2x=71).x-2+x=7

2s+t=l?①

2.用代入法解方程組[「＜不下面四個選項中正確的是(C)

A.由②，得再代入①

□

只—

B.由②.得s=—,再代入①

C.由①，得t=l-2s,再代入②

D.由①，得s-,再代入②

通過設置課堂檢測，

3.用代入法解方程組：

促進學生進一步鞏

活動囚：y=2x—3，①[2x—y=55①

(1"(2)