專題17解答題壓軸題新定義題型（解析版）

模塊一2022中考真題集訓

類型一函數中的新定義問題

1．（2022?南通）定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都不大于n（n≥0）的點叫做這個函數圖象的“n階

方點”．例如，點（，）是函數y＝x圖象的“階方點”；點（2，1）是函數y圖象的“2階方點”．

1112

=

（1）在①（﹣2，3）3；②（﹣1，﹣1）；③（21，1）三點中，是反比例函數y?圖象的“1階方點”

11

的有②③（填?序2號）；=?

（2）若y關于x的一次函數y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點”有且只有一個，求a的值；

（3）若y關于x的二次函數y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點”一定存在，請直接寫出n的取值

范圍．

思路引領：（1）根據定義進行判斷即可；

（2）在以O為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當直線與正方形區域只有唯一交點時，圖象的“2

階方點”有且只有一個，結合圖象求a的值即可；

（3）在以O為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當拋物線與正方形區域有公共部分時，二次函數y

＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點”一定存在，結合函數圖象求解即可．

解：（1）①（﹣2，）到兩坐標軸的距離分別是2，，

11

?

∵2＞1，＜1，22

1

∴（﹣2，2）不是反比例函數y圖象的“1階方點”；

11

②（﹣1，?﹣21）到兩坐標軸的距離=分?別是1，1，

∵≤1，1≤1，

∴（﹣1，﹣1）是反比例函數y圖象的“1階方點”；

1

③（1，1）到兩坐標軸的距離分=別?是1，1

∵1≤1，1≤1，

∴（1，1）是反比例函數y圖象的“1階方點”；

1

故答案為：②③；=?

（2）∵當x＝3時，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，

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∴函數經過點（3，1），

如圖1，在以O為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當直線與正方形區域只有唯一交點時，圖象的“2

階方點”有且只有一個，

由圖可知，C（2，﹣2），D（2，2），

∵一次函數y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點”有且只有一個，

當直線經過點D時，a＝﹣1，此時圖象的“2階方點”有且只有一個，

當直線經過點C時，a＝3，此時圖象的“2階方點”有且只有一個，

綜上所述：a的值為3或﹣1；

（3）在以O為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當拋物線與正方形區域有公共部分時，二次函數y

＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點”一定存在，

如圖2，當n＞0時，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），

當拋物線經過點B時，n＝1；

當拋物線經過點D時，n＝﹣1（舍）或n；

1

=4

∴n≤1時，二次函數y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象有“n階方點”；

1

≤

綜上4所述：當n≤1時，二次函數y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點”一定存在．

1

≤

4

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總結提升：本題屬于二次函數背景下新定義問題，主要考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數

的圖象及性質，理解定義，將所求問題轉化為正方形與函數圖象的交點問題是解題的關鍵．

2．（2022?湘西州）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱

22

為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax+2ax+c組成一個開口向上的“月

牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側），與y軸的交

點分別為G、H（0，﹣1）．

（1）求拋物線C2的解析式和點G的坐標．

（2）點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN

與線段DM的長度的比值．

（3）如圖②，點E是點H關于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG

是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

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思路引領：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數的解析式；

（2）設M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2t﹣1），N（t，0），分別求出MN，DM，再求比值即可；

12

+

（3）先求出E（﹣2，﹣1），設F（x3，0），3分兩種情況討論：①當EG＝EF時，2，

2

可得F（2，0）或（2，0）；②當EG＝FG時，2，F點不存2在=．(?+2)+1

2

解：（1）將7A?（﹣3，0）、?H（70?，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，2=9+?

∴，

9??6?+?=0

解得?=?1，

1

?=3

∴y?x=2?1x﹣1，

12

在y=＝3x2++2x3﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，

∴G（0，﹣3）；

（2）設M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2t﹣1），N（t，0），

12

+

∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DMt2t﹣1﹣3（t32+2t﹣3）t2t+2，

1224

=3+3=?3?3

∴；

2

???(?+2??3)3

=22=

???3(?+2??3)2

（3）存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：

由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，

∵E點與H點關于對稱軸x＝﹣1對稱，

∴E（﹣2，﹣1），

設F（x，0），

①當EG＝EF時，

∵G（0，﹣3），

∴EG＝2，

∴22，

2

解得2x=(?2+或2)x+12，

∴F（=72?，0）或=（?7?2，0）；

②當EG7＝?FG時，2?7?，

2

此時x無實數根；2=9+?

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綜上所述：F點坐標為（2，0）或（2，0）．

總結提升：本題考查二次函7數?的圖象及性?質，7熟?練掌握二次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質，分

類討論是解題的關鍵．

3．（2022?蘭州）在平面直角坐標系中，P（a，b）是第一象限內一點，給出如下定義：k1和k2兩個

??

值中的最大值叫做點P的“傾斜系數”k．=?=?

（1）求點P（6，2）的“傾斜系數”k的值；

（2）①若點P（a，b）的“傾斜系數”k＝2，請寫出a和b的數量關系，并說明理由；

②若點P（a，b）的“傾斜系數”k＝2，且a+b＝3，求OP的長；

（3）如圖，邊長為2的正方形ABCD沿直線AC：y＝x運動，P（a，b）是正方形ABCD上任意一點，

且點P的“傾斜系數”k＜，請直接寫出a的取值范圍．

3

思路引領：（1）根據“傾斜系數”k的定義直接計算即可；

（2）①根據“傾斜系數”k的定義分情況得出結論即可；

②根據“傾斜系數”k的定義求出P點坐標，進而求出OP的值即可；

（3）根據k的取值，分情況求出a的取值范圍即可．

解：（1）由題意知，k3，

6

即點P（6，2）的“傾=斜2系=數”k的值為3；

（2）①∵點P（a，b）的“傾斜系數”k＝2，

∴2或2，

??

==

即?a＝2b或?b＝2a，

∴a和b的數量關系為a＝2b或b＝2a；

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②由①知，a＝2b或b＝2a

∵a+b＝3，

∴或，

?=1?=2

∴O?P=2?=1；

22

=1+2=5

（3）由題意知，滿足條件的P點在直線yx和直線yx之間，

3

①當P點與D點重合時，且k時，P=點在3直線y=x上3，a有最小臨界值，

如圖：此時a＜b，=3=3

連接OD，延長DA交x軸于E，

此時，

?

=3

則?，

?+2

=3

解得?a，

此時B=點的3坐+標1為（，），

3+33+1

且k

3+3

==3

∴a＞3+11；

3+

②當P點與B點重合時，且k時，P點在直線yx上，a有最小臨界值，

3

如圖：此時a＞b，=3=3

連接OB，延長CB交x軸于F，

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此時，

?

=3

則?，

?

=3

解得??2a＝3，

此時D（+3，），

3+13+3

且k，

3+3

==3

∴a＞3+13；

綜上所述3+，若點P的“傾斜系數”k＜，則a＞3．

總結提升：本題主要考查一次函數的圖象3和性質，熟3+練掌握一次函數的性質，正確理解“傾斜系數”的

定義是解題的關鍵．

4．（2022?遵義）新定義：我們把拋物線y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）與拋物線y＝bx2+ax+c稱為“關聯拋物

222

線”．例如：拋物線y＝2x+3x+1的“關聯拋物線”為：y＝3x+2x+1．已知拋物線C1：y＝4ax+ax+4a﹣

3（a≠0）的“關聯拋物線”為C2．

（1）寫出C2的解析式（用含a的式子表示）及頂點坐標；

（2）若a＞0，過x軸上一點P，作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點M，N．

①當MN＝6a時，求點P的坐標；

②當a﹣4≤x≤a﹣2時，C2的最大值與最小值的差為2a，求a的值．

思路引領：（1）根據“關聯拋物線”的定義可直接得出C2的解析式，再將該解析式化成頂點式，可得出

C2的頂點坐標；

（2）①設點P的橫坐標為m，則可表達點M和點N的坐標，根據兩點間距離公式可表達MN的長，列

出方程，可求出點P的坐標；

②分情況討論，當a﹣4≤﹣2≤a﹣2時，當﹣2≤a﹣4≤a﹣2時，當a﹣4≤a﹣2≤﹣2時，分別得出C2

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的最大值和最小值，進而列出方程，可求出a的值．

2

解：（1）根據“關聯拋物線”的定義可得C2的解析式為：y＝ax+4ax+4a﹣3，

∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，

∴C2的頂點坐標為（﹣2，﹣3）；

（2）①設點P的橫坐標為m，

∵過點P作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點M，N，

∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），

∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，

∵MN＝6a，

∴|3am2﹣3am|＝6a，

解得m＝﹣1或m＝2，

∴P（﹣1，0）或（2，0）．

2

②∵C2的解析式為：y＝a（x+2）﹣3，

∴當x＝﹣2時，y＝﹣3，

當x＝a﹣4時，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，

當x＝a﹣2時，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，

根據題意可知，需要分三種情況討論，

Ⅰ、當a﹣4≤﹣2≤a﹣2時，0＜a≤2，

且當0＜a≤1時，函數的最大值為a（a﹣2）2﹣3；函數的最小值為﹣3，

∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2或a＝2（舍）；

當1≤a≤2時，函數的最大值為a3﹣3；函數?的最2小值為+﹣3，2

∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a或a（舍）；

Ⅱ、當﹣2≤a﹣4≤a﹣2時，a≥=2，2=?2

函數的最大值為a3﹣3，函數的最小值為a（a﹣2）2﹣3；

∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，

解得a（舍）；

3

Ⅲ、當=a﹣24≤a﹣2≤﹣2時，a≤0，不符合題意，舍去；

綜上，a的值為2或．

總結提升：本題屬?于二2次函2數背景下新定義類問題，涉及兩點間距離公式，二次函數的圖象及性質，由

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“關聯拋物線”的定義得出C2的解析式，掌握二次函數圖象的性質是解題關鍵．

5．（2022?赤峰）閱讀下列材料

定義運算：min|a，b|，當a≥b時，min|a，b|＝b；當a＜b時，min|a，b|＝a．

例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．

完成下列任務

（1）①min|（﹣3）0，2|＝1；

②min|，﹣4|＝﹣4．

?14

（2）如圖，已知反比例函數y1和一次函數y2＝﹣2x+b的圖象交于A、B兩點．當﹣2＜x＜0時，min|，

??

2=

﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x，求?這兩個函數的解析式．?

思路引領：（1）根據定義運算的法則解答即可；

（2）根據反比例函數和一次函數圖象的性質解答即可．

解：（1）由題意可知：①min|（﹣3）0，2|＝1，

②min|，﹣4|＝﹣4；

故答案為?：114，﹣4．

（2）當﹣2＜x＜0時，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x﹣3，

?

∵一次函數y2＝﹣2x+b，?

∴b＝﹣3，

∴y2＝﹣2x﹣3，

當x＝﹣2時，y＝1，

∴A（﹣2，1）

將A點代入y1中，得k＝﹣2，

?

=?

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∴y1．

2

總結=提?升?：本題主要考查了新定義運算和反比例函數圖像的性質，熟練掌握新定義運算的法則和反比例

函數的性質是解答本題的關鍵．

6．（2022?泰州）定義：對于一次函數y1＝ax+b、y2＝cx+d，我們稱函數y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc

≠0）為函數y1、y2的“組合函數”．

（1）若m＝3，n＝1，試判斷函數y＝5x+2是否為函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”，并說明理由；

（2）設函數y1＝x﹣p﹣2與y2＝﹣x+3p的圖象相交于點P．

①若m+n＞1，點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，求p的取值范圍；

②若p≠1，函數y1、y2的“組合函數”圖象經過點P．是否存在大小確定的m值，對于不等于1的任

意實數p，都有“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變？若存在，請求出m的值及此時點Q的坐標；

若不存在，請說明理由．

思路引領：（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函數y＝5x+2是函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組

合函數”；

（2）①由得P（2p+1，p﹣1），當x＝2p+1時，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）

?=????2

＝（p﹣1）（?m=+n?），?+根3據?點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而

m+n＞1，可得p＜1；

②由函數y1、y2的“組合函數”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經過點P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p

﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p

﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可

得m時，“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變，Q（3，0）．

3

=

解：（14）函數y＝5x+2是函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”，理由如下：

∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，

∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），

∴函數y＝5x+2是函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”；

（2）①由得，

?=????2?=2?+1

∴P（2p+1，?p=﹣?1）?，+3??=??1

∵y1、y2的“組合函數”為y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），

∴x＝2p+1時，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），

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∵點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，

∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），

∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，

∵m+n＞1，

∴1﹣m﹣n＜0，

∴p﹣1＜0，

∴p＜1；

②存在m時，對于不等于1的任意實數p，都有“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變，Q（3，

3

0），理由如=下4：

由①知，P（2p+1，p﹣1），

∵函數y1、y2的“組合函數”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經過點P，

∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），

∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，

∵p≠1，

∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，

∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，

令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，

變形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，

∴當3﹣4m＝0，即m時，x0，

313

=?=

∴x＝3，422

∴m時，“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變，Q（3，0）．

3

總結=提4升：本題考查一次函數綜合應用，涉及新定義，函數圖象上點坐標的特征，一次函數與一次方程

的關系等，解題的關鍵是讀懂“組合函數“的定義．

類型二幾何圖形中的新定義問題

7．（2022?青島）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、

例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC

和△A'B'C'是等高三角形．

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【性質探究】

如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，

則S△ABCBC?AD，S△A'B'C′B′C′?A′D′，

11

∵AD＝A=′2D′=2

∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．

【性質應用】

（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝3：4；

（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S

△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝；

11

（3）如圖③，在△ABC2中，D，E分別6是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S

△ABC＝a，則S△CDE＝．

?

??

思路引領：（1）根據等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案；

（2）同（1）的方法即可求出答案；

（3）同（1）的方法即可求出答案．

解：（1）∵BD＝3，DC＝4，

∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，

故答案為：3：4；

（2）∵BE：AB＝1：2，

∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，

∵S△ABC＝1，

∴S△BEC；

1

∵CD：B=C2＝1：3，

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∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，

∴S△CDES△BEC；

1111

==×=

故答案為：3，；326

11

26

（3）∵BE：AB＝1：m，

∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，

∵S△ABC＝a，

∴S△BECS△ABC；

1?

∵CD：B=C?＝1：n，=?

∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，

∴S△CDES△BEC?，

11??

===

故答案為：?．????

?

總結提升：?此?題主要考查了三角形的面積公式，理解等高的兩三角形的面積比等于底的比是解本題的關

鍵．

8．（2022?北京）在平面直角坐標系xOy中，已知點M（a，b），N．

對于點P給出如下定義：將點P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|個單位長度，再向上（b≥0）或向

下（b＜0）平移|b|個單位長度，得到點P′，點P′關于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應點”．

（1）如圖，點M（1，1），點N在線段OM的延長線上．若點P（﹣2，0），點Q為點P的“對應點”．

①在圖中畫出點Q；

②連接PQ，交線段ON于點T，求證：NTOM；

1

=2

（2）O的半徑為1，M是O上一點，點N在線段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P為O外一點，

1

⊙⊙⊙

點Q為點P的“對應點”，連接PQ．當點M在O上運動時，直接寫出PQ2長的最大值與最小值的差（用

含t的式子表示）．⊙

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思路引領：（1）①根據定義，先求出P'的坐標，從而得出Q的位置；

②連接PP'，利用三角形中位線定理得NTPP'，從而證明結論；

1

=

（2）連接PO，并延長至S，使OP＝OS，延長2SQ到T，使ST＝OM，由題意知，PP1∥OM，PP1＝OM，

P1N＝NQ，利用三角形中位線定理得QT的長，從而求出SQ的長，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，則

PQ的最小值為PS﹣QS，PQ的最大值為PS+QS，從而解決問題．

解：（1）①由題意知，P'（﹣2+1，0+1），

∴P'（﹣1，1），

如圖，點Q即為所求；

②連接PP'，

∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，

∴PP'∥ON，

∵P'N＝QN，

∴PT＝QT，

∴NTPP'，

1

∵PP'=＝2OM，

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∴NTOM；

1

（2）=如2圖，連接PO，并延長至S，使OP＝OS，延長SQ到T，使ST＝OM，

由題意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，

∴TQ＝2MN，

∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，

∴TQ＝2﹣2t，

∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，

∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，

∴PQ的最小值為PS﹣QS，PQ的最大值為PS+QS，

∴PQ長的最大值與最小值的差為（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．

總結提升：本題是圓的綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，三角形中位線定理，三角形三邊

關系，平移的性質等知識，解題的關鍵是理解定義，畫出圖形，利用三角形中位線定理求出QT的長是

解題的關鍵．

模塊二2023中考押題預測

9．（2023?義烏市校級模擬）定義：在平面直角坐標系中，有一條直線x＝m，對于任意一個函數，作該函數

自變量大于m的部分關于直線x＝m的軸對稱圖形，與原函數中自變量大于或等于m的部分共同構成一

個新的函數圖象，則這個新函數叫做原函數關于直線x＝m的“鏡面函數”．例如：圖①是函數y＝x+1

的圖象，則它關于直線x＝0的“鏡面函數”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數”的解析式為

?=

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，也可以寫成y＝|x|+1．

＜

?+1(?≥0)

??+1(?0)

（1）在圖③中畫出函數y＝﹣2x+1關于直線x＝1的“鏡面函數”的圖象．

（2）函數y＝x2﹣2x+2關于直線x＝﹣1的“鏡面函數”與直線y＝﹣x+m有三個公共點，求m的值．

（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函數y＝x2﹣2nx+2（n＞0）關于直線

x＝0的“鏡面函數”圖象與矩形ABCD的邊恰好有4個交點，求n的取值范圍．

思路引領：（1）根據“鏡面函數”的定義畫出函數y＝﹣2x+1的“鏡面函數”的圖象即可；

（2）分直線y＝﹣x+m過“鏡面函數”圖象與直線x＝﹣1的交點和與原拋物線相切兩種情況求解即可；

（3）先求出y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“鏡面函數”解析式，再分x＝﹣1以及頂點在y＝﹣2上的情況和

x＝3時，列出不等式求解即可．

解：（1）如圖，即為函數函數y＝﹣2x+1關于直線x＝1的“鏡面函數”的圖象，

（2）如圖，

對于y＝x2﹣2x+2，當x＝0時，y＝2，∴函數y＝x2﹣2x+2與y軸的交點坐標為（0，2），

當直線y＝﹣x+m經過點（﹣1，5）時，m＝4；

此時y＝x2﹣2x+2關于直線x＝﹣1的“鏡面函數”與直線y＝﹣x+m有三個公共點，

當直線y＝﹣x+m與原拋物線只有一個交點時，則有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，

整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，

此時，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，

解得，m，

7

=4

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綜上，m的值為4或；

7

（3）函數y＝x2﹣2n4x+2（n＞0）的“鏡面函數”解析式為y＝x2+2nx+2（n＞0），

當x＝﹣1時，y＜0，

∴1﹣2n+2＜0，

解得，＞；

3

?2

當y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的頂點在CD上時，，

2

8?4?

=?2

解得n＝2或n＝﹣2（舍），4

此時，函數y＝x2﹣2nx+2（n＞0）關于直線x＝0的“鏡面函數”圖象與矩形ABCD的邊有5個交點，不

合題意，

∴＜＜，

3

?2

當2x＝3時，y＜﹣2，

∴9﹣6n+2＜﹣2，

解得，＞；

13

?6

綜上，n的取值范圍為＜＜或＞．

313

?2?

26

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總結提升：本題考查二次函數的綜合應用；理解并運用新定義“鏡面函數”，能夠將圖象的對稱轉化為點

的對稱，借助圖象解題是關鍵．

10．（2023?秦皇島一模）定義：如果二次函數，（a1≠0，a1、b1、c1是常數）與

22

1112

a2≠0，a2、b2、c2是常數）滿足a1?+a=2＝?0?，b+1＝?b?2，+c?1+c2＝0，則這兩個函致互為“旋轉?函=數?”?．例+

2222

?如?：+求?函數y＝2x﹣3x+1的“旋轉函數”，由函數y＝2x﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根據a1+a2

＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2、b2、c2就能確定這個函數的“旋轉函數”．

請思考并解決下面問題：

（1）寫出函數y＝x2﹣4x+3的“旋轉函數”；

（2）若函數y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉函數”，求（m+n）2023的值；

（3）已知函數y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原

點的對稱點分別是A1、B1、C1，試求證：經過點A1、B1、C1的二次函數與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋

轉函數”．

思路引領：（1）根據“旋轉函數”的定義求出另一個函數的a、b、c的值，從而得出函數解析式；

（2）根據定義得出m和n的二元一次方程組，從而得出答案；

（3）首先求出A、B、C三點的坐標，然后得出對稱點的坐標，從而求出函數解析式，然后根據新定義

進行判定．

解：（1）根據題意得，

1+?=0

?=?4

3+?=0

解得，

?=?1

?=?4

故解析?式=?為3：y＝﹣x2﹣4x﹣3．

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（2）根據題意得，

??1=??

∴，??3=0

?=?2

∴（?m=+3n）2023＝（﹣2+3）2023＝12023＝1．

（3）根據題意得A（1，0），B（3，0），C（0，﹣6），

∴A1（﹣1，0），B1（﹣3，0），C1（0，6），

又y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，

2

且經過點A1，B1，C1的二次函數為y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x+4x+6，

∵，

?1+?2=2+(?2)=0

?1=?2=4

∴兩?1個+函?2數=互?為6“+旋6=轉0函數”．

總結提升：本題考查了拋物線與x軸的交點，涉及了待定系數法，關于原點對稱的點的坐標等知識，正

確理解題意，熟練運用相關知識是解題的關鍵．

11．（2022?濱海縣校級三模）定義：若一個函數的圖象上存在橫、縱坐標之和為零的點，則稱該點為這個

函數圖象的“好點”，例如，點（﹣1，1）是函數y＝x+2的圖象的“好點”．

（1）在函數①y＝﹣x+5，②，③y＝x2+2x+1的圖象上，存在“好點”的函數是③（填序

6

號）．?=?

（2）設函數＜與y＝kx﹣1的圖象的“好點”分別為點A、B，過點A作AC⊥y軸，垂足為C．當

4

△ABC為等腰?=三角?(形?時0，)求k的值；

（3）若將函數y＝2x2+4x的圖象在直線y＝m下方的部分沿直線y＝m翻折，翻折后的部分與圖象的其余

部分組成了一個新的圖象．當該圖象上恰有3個“好點”時，求m的值．

思路引領：（1）判斷y＝﹣x與各個函數圖像是否有公共點即可；

（2）先得出y的“好點”，從而得出AC的長，在y＝﹣x上的點B，使得AB＝AC，從而求得點B

4

坐標，將B點坐=?標?代入y＝kx+3求得k的值；

（3）折疊前的拋物線上有兩個“好點”，所以折疊后的拋物線上有一個“好點”即可，即y＝﹣x與折疊

后拋物線只有一個公共點，從而求得折疊后的拋物線解析式，進一步求得結果．

解：（1）∵y＝﹣x+5，

∴y+x＝5，

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∴①不是“好點”的函數，

∵y，x＞0，

3

∴xy=＝?3＞0

∴x+y≠0，

∴②不是“好點”的函數，

∵，

2

?=?+2?+1

∴x?2++3x?+1=＝00，

∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，

∴方程組有解，

∴③是“好點”的函數，

故答案為：③；

（2）∵，x＜0，

4

?=??

?+?=0

∴，

?=?2

∴A?（=﹣22，2），

如圖，

當△ABC為等腰三角形時，AB＝AC＝2或BA＝BC，

當AB＝AC時，

∵y＝﹣x，

∴B（x，﹣x），

∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，

∴x12，x22，

當x=2?2時，=y?2?2，

=2?=?2+

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∴（2）k+32，

2?=?2+

∴k，

32?4

當x=22時，y2，

∴（=?2?2）k+3=2+2，

?2?=2+

∴k，

32?4

當A=B?＝BC2時，點B（﹣1，1），

∴﹣k﹣1＝1，

∴k＝﹣2，

綜上所述：k或k＝﹣2；

32?4

（3）設翻折=后±的拋2物線解析式為y＝﹣2x2﹣4x+k，

∵y＝2x2+4x的圖像上有兩個“好點”：（0，0）和（﹣3，3），

當y＝﹣2x2﹣4x+k上有一個“好點”時，

把y＝﹣x代入得，

﹣x＝﹣2x2﹣4x+k，

化簡整理得，

x2xk＝0，

31

+?

∵Δ222k＝0，

9

=+

∴k4，

9

=?

∴y＝﹣82x2﹣4x，

9

?8

由2得，

?=2?+4?

29

?=?2??4??8

2y，

9

=?

∴y8，

9

=?

∴m16．

1

當（=0?，80）在y＝﹣2x2﹣4x+k上時，

此時﹣x2﹣2x＝﹣x，

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x＝0或x＝﹣1，

這時也有三個“好點”：（﹣3，3），（0，0），（﹣1﹣1），

∴m或0．

1

總結=提?升8：本題考查了結合一次函數，反比例函數及二次函數知識，考查了對“好點”的理解，等腰三

角形知識，坐標系中線段的長，兩個圖像的交點與方程組之間的關系等知識，解決問題的關鍵是根據題

意，轉化為學過的知識．

12．（2022?婺城區模擬）定義：在平面直角坐標系中，對于任意一個函數，作該函數y軸右側部分關于y

軸的軸對稱圖形，與原函數y軸的交點及y軸右側部分共同構成一個新函數的圖象，則這個新函數叫做

原函數的“新生函數“例如：圖①是函數y＝x+l的圖象，則它的“新生函數“的圖象如圖②所示，且

它的“新生函數“的解析式為y，也可以寫成y＝|x|+1．

＜

?+1(?≥0)

=

（1）在圖③中畫出函數y＝﹣2x+l?的?“+新1(生?函0數)“的圖象．

（2）函數y＝x2﹣2x+2的“新生函數“與直線y＝﹣x+m有三個公共點，求m的值．

（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函數y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生

函數“圖象與矩形ABCD的邊恰好有4個交點，求n的取值范圍．

思路引領：（1）根據定義畫出函數圖象即可；

（2）畫出函數圖象，結合圖象可知，當直線y＝﹣x+m經過（0，2）時，有3個公共點；函數y＝x2﹣

2x+2（x＞0）與直線y＝﹣x+m有一個交點時，即m時有3個公共點；根據臨界情況可知，m＝2或

7

=

m時，函數y＝x2﹣2x+2的“新生函數“與直線y＝﹣4x+m有三個公共點；

7

=

（3）4畫出函數圖象，結合圖象可知，當y＝x2+2nx+2經個點A時，n，此時有3個交點；當y＝x2﹣

3

=2

2nx+2的頂點在CD上時，n＝2，此時有5個交點；根據臨界情況可得＜n＜2時，函數y＝x2﹣2nx+2

3

2

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（n＞0）的“新生函數“圖象與矩形ABCD的邊有4個交點；當y＝x2﹣2nx+2經過點C時，n，此

13

=

時有5個交點，根據臨界情況可得n＞時，函數y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數“圖象與矩形6ABCD

13

的邊有4個交點．6

解：（1）如圖：

（2）如圖：y＝x2﹣2x+2與y軸的交點為（0，2），

當直線y＝﹣x+m經過（0，2）時，m＝2，此時函數y＝x2﹣2x+2的“新生函數“與直線y＝﹣x+m有3

個公共點；

當x2﹣2x+2＝﹣x+m時，x2﹣x+2﹣m＝0有兩個相等的實數根時，Δ＝1﹣8+4m＝0，

解得m，

7

此時函=數4y＝x2﹣2x+2的“新生函數“與直線y＝﹣x+m有3個公共點；

∴m或m＝2時，函數y＝x2﹣2x+2的“新生函數“與直線y＝﹣x+m有三個公共點；

7

（3）=如4圖3，當y＝x2+2nx+2經個點A時，1﹣2n+2＝0，

解得n，

3

=2

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當n時，函數y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數“圖象與矩形ABCD的邊有3個交點；

3

=2

當y＝x2﹣2nx+2的頂點在CD上時，2，

2

8?4?

=?

解得n＝2或n＝﹣2（舍），4

當n＝2時，函數y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數“圖象與矩形ABCD的邊有5個交點；

∴＜n＜2時，函數y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數“圖象與矩形