挑戰2023年中考數學壓軸題之學霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題28以圓為載體的幾何綜合問題

【例1】（2022·河北·育華中學三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，

BC＝10，sinC＝，以AB為直徑作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x個單位，得到⊙O′，A'B'

4

為直徑AB平移后5的對應線段．

(1)當x＝0，且M為⊙O上一點時，求DM的最大值；

(2)當B′與C重合時，設⊙O′與CD相交于點N，求點N到AB的距離；

(3)當⊙O′與CD相切時，直接寫出x的值．

【答案】(1)

(2)42+4

154

(3)225或12．

【分析】（1）當x＝0，連接DO并延長交⊙O于點M，則此時DM的值最大，過點D作DE⊥BC

于E，易證四邊形ABED是矩形，可得AB＝DE，AD＝BE＝4，解RtDEC求出DE＝8，

CD＝10，可得⊙O的半徑為4，利用勾股定理求出OD，即可得到DM△的最大值；

（2）當與C重合時，與CD相交于點N，則⊙O向右平移了10個單位長度，連接，

′′′

則?，連接，⊙過?點N作NF⊥于點F，如圖，解Rt，求出，??，

′′′′′′′′

然后??根=據1等0積法求?出?NF即可解決問題；??△???????

（3）當與CD相切，在CD的左邊時，設切點為P，如圖，則是矩形，、CD、

′′′′

都是⊙?的切線，根據切線長定理可得，，?求?出???，?

′′′′′′

??，⊙根?據列?方?程=求?出?x即?可?=；?當?與?C?D=相4切?，?在C?D?的=

′′′

1右0邊?時?，同理?求?解=即?可?+．??=??+??⊙?

（1）

解：如圖，當x＝0，連接DO并延長交⊙O于點M，則此時DM的值最大，過點D作DE⊥BC

于E，

∵∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，

第1頁共68頁.

∴四邊形ABED是矩形，

∴AB＝DE，AD＝BE＝4，

∴EC＝BC－BE＝10－4＝6，

∵在RtDEC中，sinC＝，

??4

∴設DE△＝4k，CD＝5k（k?＞?=0）5，

由勾股定理得：，即，

222222

整理得：，??+??=??6+4?=5?

2

∵k＞0，?=4

∴，

∴?DE=＝24k＝8，CD＝5k＝10，

∴AB＝DE＝8，

∴OA＝OB＝4，

∴OD＝，

22

∴DM=4+4，=42

即DM的4最2大+值4為；

42+4

（2）

當與C重合時，與CD相交于點N，則⊙O向右平移了10個單位長度，連接，則

′′′

?，連接⊙，?過點N作NF⊥于點F，如圖，則，??

′′′′′′

?在?Rt=1C0DE中，??，??，∠???=90°

??3??4

∵△，sin∠???=??=5cos∠???=??=5

′′

∴??∥??∥??，

′′

在∠R?t??=∠中?，??，

′′′′

∵△?????=??=8，，

′′

′′??3′′??4

′′′′

∴sin∠???=??=sin∠?，??=5cos∠???=??=，cos∠???=5

′3′′324′4′′432

∵??=5??=5×8=5??=，5??=5×8=5

11

′′′′′′

?△???=2?????=2?????

∴2432，

′′

?????5×596

′′

??=??=8=25

第2頁共68頁.

∴點N到AB的距離為；

′96154

?????=10?25=25

（3）

當與CD相切，在CD的左邊時，設切點為P，如圖，則是矩形，、CD、

′′′′′

都是⊙?的切線，????????

′

⊙?

∴，，

′′

∵??=????，=??

′′

∴??=??=，?，

′′

∵??=4????=10??，

′′

∴??=??+??=??，+??

解得10：=4??；+10??

當?與=C2D相切，在CD的右邊時，設切點為Q，如圖，則是矩形，、CD、

′′′′′

都是⊙?的切線，????????

′

⊙?

∴，，

′′

∵??=????，=??

′′

∴??=??=，?，

′′

∵??=??4??=??10，

′′

??=??+??=??+??

第3頁共68頁.

∴，

解得10：=??4+；??10

綜上，當?=⊙1O2′與CD相切時，x的值為2或12，

故答案為：2或12．

【點睛】本題主要考查了矩形的判定，解直角三角形，勾股定理，點與圓的位置關系，平移

的性質，圓周角定理，切線的性質以及切線長定理等知識，熟練掌握直徑所對的圓周角是直

角，從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等是解題的關鍵．

【例2】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知是的直徑，點A，點B是上的兩個

點，連接，點D，點E分別是半徑?的?中⊙點，?連接，且⊙?．

??,????,????,??,??∠???=2∠???

(1)如圖1，求證：；

(2)如圖2，延長∠交???于=點∠?F?，?若，求證：；

(3)如圖3，在（2）?的?條件??下，點G是??上⊥一?點?，連接??=??，若，，

求的長．????,??,??,????:??=5:3??=2

【答??案】(1)見解析

(2)見解析

(3)

19

??=3

【分析】（1）根據SAS證明即可得到結論；

（2）證明即可得△出?結??論?；△???

（3）先證明∠?=∠???，連接，證明，設，，在上取點M，

使得?，?連⊥接??，證明??為??等=邊三??角形，?得?=5???=3，?根據??

可求出??=?，?得??，△，?過?點?H作于點?N?，求=出??=2，再??證=??+??，

根據?=1??=5可?得?結=論3．??⊥????=19??=2??

（1）??=3??=19

如圖1．∵點D，點E分別是半徑的中點

??,??

第4頁共68頁.

∴，

11

∵??=2??，??=2??

∴??=??

∵??=??，

∴∠???=2∠???∠???=2∠???

∵∠???=∠???

∴??=??，

∴△????△???；

（∠2）???=∠???

如圖2．∵，

∴??⊥??

∠???=90°

由（1）得，

∴∠???=∠???=90°

??1

∴sin∠???=?，?=2

∴∠???=30°

∵∠???=90°?∠???=60°

11

∴∠?=2∠???，=2×60°=30°

∴∠?=∠???

（?3）?=??

第5頁共68頁.

如圖3．∵，

∴??=????=??

∴??⊥??

∠???=90°

連接．∵

∴??∠???=∠??，?=60°

∴∠???=∠，???=120°

∵??=??∠???=60°

設??:??=，5:3

∴??=5?

在??上=取3?點M，使得，連接

∵??，??=????

∴∠???=∠???

∴△???≌，△???

∴??=?為?等邊三角形

∴△???

∵??=??=2，

∴??=??+??

∴5?=3，?+2

∴?=1

∴??=5，

過點??H=作??=3于點N

??⊥??，

11

?∴?=2??=2×2=1，??=???sin60°=3

∴??=??+??=4

22

∵??=??=，??+??=，19

∴∠???=90°∠???=30°

∵∠???=6，0°

??=??

第6頁共68頁.

∴，

∴∠???=∠???=30°

∴∠???=，∠???=30°

在??=??中，，

∴??△???∠???=30°

∴??=2??，

∴??=??．+??=3??=19

19

【點??睛=】本3題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，

等腰三角形的性質，勾股定理以及解直角三角形等知識，正確作出輔助線構造全等三角形是

解答本題的關鍵．

【例3】（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖所示，在的內接中，，

，作于點P，交于另一點B，⊙C?是上的△一??個?動點（∠不??與?A=，9M0°重

?合?），=射2?線?交?線?段⊥??的延長線于點⊙D?，分別連接和?，?交于點E．

????????????

(1)求證：．

(2)若△??，?∽△???，求的長．

(3)在點??C=運1動0過?程?中=，?當???時，求的值．

3??

【答案】(1)證明見解析tan∠???=4??

(2)

(3)310

3

2

【分析】（1）利用圓周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用兩角分別相等即可證明相似；

（2）連接OC，先證明MN是直徑，再求出AP和NP的長，接著證明，利

用相似三角形的性質求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；△???∽△???

（3）先過C點作CG⊥MN，垂足為G，連接CN，設出，，再利用三角函

??=3???=4?

第7頁共68頁.

數和勾股定理分別表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性質表示出EG，然后表示出

ME和NE，算出比值即可．

（1）

解：∵AB⊥MN，

∴∠APM=90°，

∴∠D+∠DMP=90°，

又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，

∴∠DMP+∠CAM=90°，

∴∠CAM=∠D，

∵∠CMA=∠ABC，

∴．

（△2）???∽△???

連接OC，

∵，

∴∠M?N?是?直=徑90，°

∵，

∴?OM?==ON10=OC=5，

∵，且，

222

∴??=2??，??+?，?=??

∵??=25??=45，

11

∴?△???=，2?????=2?????

∴??=4，

∴??=??=4，

22

∴??=????，?=2

∵??=5?，2=3

∴?OC?⊥=M?N?，

∴∠COE=90°，

∵AB⊥MN，

∴∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠COE，

又∵∠BEP=∠CEO，

∴

∴△???∽△?，??

??????

??=??=??

第8頁共68頁.

即

5????

由4=??=??，

∴??+??，=??=，3

54

??=3??=3

∴，

2

22255

??=??+??=5+3=310

，

2

22244

∴??=??+??=4+3．=310

54

??=310+310=310

（3）

過C點作CG⊥MN，垂足為G，連接CN，則∠CGM=90°，

∴∠CMG+∠GCM=90°，

∵MN是直徑，

∴∠MCN=90°，

∴∠CNM+∠DMP=90°，

∵∠D+∠DMP=90°，

∴∠D=∠CNM=∠GCM，

∵，

3

∴tan∠???=4，

3

∵tan∠???=tan∠???=4

??

∴t設an∠???=，??，

∴??=3，???=4?

∴??=5?，，

20?16?

∴??=3，??=3

25?

∴??=3，

25?

??=??=6

第9頁共68頁.

∵，且，

222

∴??=2??，??+??，=??

55105

∵??=3???=3?，

11

∴?△???=2???，??=2?????

10

∴??=3?，=??

5

∴??=3?，

16511

∵∠??C=GE3=?∠?BP3E?==903°，?∠CEG=∠BEP，

∴，

∴△???∽△?，??

??????

即??=??=??

4?????

10

3?=??=??

∴，

5

∴??=2?，??=3?，

10?

∴??=5???，=3

∴??的:?值?為=．3:2

??3

??2

【點睛】本題考查了圓的相關知識、相似三角形的判定與性質、三角函數、勾股定理等知識，

涉及到了動點問題，解題關鍵是構造相似三角形，正確表示出各線段并找出它們的關系，本

題綜合性較強，屬于壓軸題．

【例4】（2022·湖北荊州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點O是邊

AB上一個動點（不與點A重合），連接OD，將△OAD沿OD折疊，得到△OED；再以O

為圓心，OA的長為半徑作半圓，交射線AB于G，連接AE并延長交射線BC于F，連接EG，

設OA＝x．

第10頁共68頁.

(1)求證：DE是半圓O的切線；

(2)當點E落在BD上時，求x的值；

(3)當點E落在BD下方時，設△AGE與△AFB面積的比值為y，確定y與x之間的函數關系

式；

(4)直．接．寫．出．：當半圓O與△BCD的邊有兩個交點時，x的取值范圍．

【答案】(1)見詳解

(2)

3

2

(3)2

9?3

2

(4)?=4?+36或(0<?<2)

325

2<?≤38<?≤4

【分析】（1）根據切線的判定定理求解即可；

（2）如圖，在，根據勾股定理列方程求解即可；

（3）先證??Δ???，求出AE，然后證明，根據相似三角形面積比等于

相似比的平Δ方??即?可∽求Δ?解?；?Δ???∽Δ???

（4）結合圖形，分情況討論即可求出x的取值范圍．

(1)

證明：在矩形ABCD中，，

△OED是△OAD沿OD∠折?疊??得=到9的0，°

∵，即，

∴D∠?E?是?半=圓∠?O?的?切=線90；°??⊥??

∴(2)

解：△OED是△OAD沿OD折疊得到的，

∵，

∴??=??=3,??=??，=?

∴在??=??中?，??=4??，

2222

??Δ?????=??+，??=3+4=5

∴??=?????=5?3=2

第11頁共68頁.

在中，，

222

??Δ?????+，?解?得=??，

2223

答∴?：x+的2值=為4．???=2

3

2

(3)

解：在中，，

22222

△OE?D?Δ是?△??OAD沿??O=D折?疊?得+到?的?，=3+?=9+?

∵，

∴??是⊥??的直徑，

∵??⊙?，即，

∴∠???=，90°??⊥??

∴??∥??∠???，=∠???=90°

∴∠???=∠???，

∴Δ???∽，Δ???

????

∴??=??，

22

9+?36?

22

∴2?=??,??=9+?，

∵∠???=∠???，=90°,∠???=∠???

∴Δ???∽Δ???

，即6?2，

2

?Δ?????232+?29?

2

∴?Δ???=???=4=49+?

（）

2

9?3

2

∴?=4?+360<?<2

第12頁共68頁.

(4)

解：由（2）知，當E在DB上時，，

3

如圖，當點E在DC上時，，?=2

?=3

∴當時，半圓O與△BCD的邊有兩個交點；

3

當半圓2<O?經≤過3點C時，半圓O與△BCD的邊有兩個交點，

連接OC，在中，，

??Δ??，???=4??,??=?,??=3

222

∵??+??=??，解得，

22225

∴當4??+3時=，?半圓O與?△=B8CD的邊有兩個交點；

25

8≤?≤4

綜上所述，當半圓O與△BCD的邊有兩個交點時，x的取值范圍為：或．

325

【點睛】本題考查了矩形的性質，軸對稱，勾股定理，切線的判定定2理<，?相≤似3三角8形<的?≤判4定

和性質，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的判定和性質是解本題的關鍵．

【例5】（2022·浙江溫州·中考真題）如圖1，為半圓O的直徑，C為延長線上一點，

切半圓于點D，，交延長線于點?E?，交半圓于點F，已知??．點?P?，

Q分別在線段??⊥上?（?不與?端?點重合），且滿足．設??=5．,??=3

??5

??,????=4??=?,??=?

(1)求半圓O的半徑．

(2)求y關于x的函數表達式．

(3)如圖2，過點P作于點R，連結．

①當為直角三角??形⊥時?，?求x的值．??,??

△???

第13頁共68頁.

②作點關于的對稱點，當點落在上時，求的值．

F′

′′??

′

【答案】(1)????????

15

(2)8

55

(3)?①=或4?+；4②

92119

7119

【分析】（1）連接OD，設半徑為r，利用，得，代入計算即可；

????

（2）根據CP=AP十AC，用含x的代數式△表?示??A∽P△的?長?，?再由?（?1=）?計?算求AC的長即可；

（3）①顯然，所以分兩種情形，當時，則四邊形RPQE是矩形，

當∠PQR＝9∠0°?時?，?<過9點0°P作PH⊥BE于點H，則∠?四?邊?形=9P0H°ER是矩形，分別根據圖形可

得答案；

②連接，由對稱可知，利用三角函數表示出和

′′′′

BF的長度??，,?從?而解決問題．??=??,∠???=∠???=45°??

（1）

解：如圖1，連結．設半圓O的半徑為r．

??

∵切半圓O于點D，

∴??．

∵??⊥??，

∴??⊥??，

∴??∥??，

∴△???，∽△???

????

即??=??，

?5??

∴3=5，即半圓O的半徑是．

1515

（2?）=88

由（1）得：．

155

∵??=，?????=5?2×8=4

??5

∴??=4,?．?=?

5

??=4?

第14頁共68頁.

∵，

∴??=??+．??

55

（3?）=4?+4

①顯然，所以分兩種情況．

?。┊敗???<90時°，如圖2．

∠???=90°

∵，

∴??⊥??．

∵∠???=9，0°

∴∠四?邊=形90°為矩形，

∴??．??

∵??=??，

333

∴??=???sin?，=5?=4?+4

33

∴4?+．4=3??

9

ⅱ）?當=7時，過點P作于點H，如圖3，

∠???=90°??⊥??

則四邊形是矩形，

∴????．

∵??=??,??=，??

∴??=5,??=3．

22

∵??=5?3=4，

4

∴??=???cos?=5?=，?+1

∴??=??=3??=?，?

∴∠???=∠???=45°，

∠???=45°=∠???

第15頁共68頁.

∴，

由??=??得=：3??，

33

∴??=．??(3??)+(3??)=4?+4

21

綜上?=所1述1，x的值是或．

921

②如圖4，連結7，11

′

??,??

由對稱可知，

′′

∵BE⊥CE，?P?R=⊥?C?E，∠???=∠???

∴PR∥BE，

∴∠EQR=∠PRQ，

∵，，

55

∴E?Q?==3-?x，??=4?+4

∵PR∥BE，

∴，

∴△???，∽△???

????

??=??

即：55，

4?+45

解得：??CR==x4+1，

∴ER=EC-CR=3-x，

即：EQ=ER

∴∠EQR=∠ERQ=45°，

∴

′

∴∠???=∠??，?=45°

′

∴∠???=90°．

′4

∵??是=半??圓=O?的?直?t徑an，?=3?

∴??，

∴∠???=90°，

9

∴??=???，cos?=4

49

3?+?=4

第16頁共68頁.

∴，

27

∴?=28．

′′

?????????319

′′′

【點??睛=】本??題是=圓??的?綜1合=題?，?主1=要考9查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定

理，三角函數等知識，利用三角函數表示各線段的長并運用分類討論思想是解題的關鍵．

一、解答題【共20題】

1．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學校模擬預測）如圖，在中，AD、BC是弦，

＋．⊙?

∠???∠????∠???=180°

(1)如圖1，求證：；

(2)如圖2，如果??∥?，?求證：AC是直徑；

(3)如圖3，在（?2）?=的?條?件下，點F在⊙AC?上，點E在AB上，，，連接

CE、BF交于點G，作于點G，交BC于點H，?，?=求??OF的??長=．??=4

【答案】(1)見解析??⊥???△???=5

(2)見解析

(3)1

【分析】（1）延長AO交BC于點E，證明，即可證明；

（2）連接AB，CD，先證四邊形ABCD是平∠?行?四?+邊∠形??，?推=1出80°，再根?據?∥圓?內?接四邊形

對角和為180度，可得，即可證明AC是直徑；∠?=∠?

（3）連接EH，延長BF交∠?C=D90于°點T，連接ET，證明⊙四?邊形BETC是矩形，進而推出，

利用三角形面積公式求出，推出，設，利用勾股定理求?出?=，??即

可求解．??=??=5??=3??=??=??

【詳解】（1）證明：如圖，延長AO交BC于點E，

第17頁共68頁.

∵，，

∴∠???=∠???+∠???∠???+∠??，??∠???=180°

∴∠???+∠???+∠???，?∠???=180°

∴∠???+；∠???=180°

（?2）?∥證??明：如圖2，連接AB，CD，

∵，，

∴四?邊?∥形??ABC?D?=是?平?行四邊形，

∴，

∵∠?=∠?，

∴∠?+∠?，=180°

∴∠AC?=是90°直徑；

（3）解：⊙如?圖3，連接EH，延長BF交CD于點T，連接ET，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，，

∠?=90°

第18頁共68頁.

∴四邊形ABCD是矩形，

∴，，

∴??∥????=，??

∵∠???=∠，???，

∴??=??，??=??

∴??=??，

∵∠???=∠???，

∴∠???=∠???，

∴∠???=，∠???

∵??=??，

∴??=??，

∵??=??，

∴四?邊?∥形??BETC是平行四邊形，

∵，

∴四∠?邊?形?=B9E0T°C是矩形，

∴，

∵??=??，

∴??⊥??，

∴??=??，

1

∵?Δ???=，2?Δ???=10=2?????

∴??=4，

∴??=??=5，

2222

∴??=?????，=5?4=3

設??=??+?，?=則8，

∵??=??=??，?=?+4

222

∴??+??=??，

222

解得?+8=，(?+4)

∴?=6，，

∴??=6??，=10

∴??=??=5．

【點??睛=】??本?題??屬=于5?圓4=的1綜合題，主要考查了圓內接四邊形的性質，矩形的判定與性質，圓周

角定理，平行線的判定與性質，勾股定理，三角形的面積等知識點，解題的關鍵是正確添加

輔助線，構造特殊四邊形解決問題，難度較大，多見于壓軸題．

2．（2022·安徽·合肥市五十中學新校二模）如圖，為的內接三角形，且為

△???⊙???⊙?

第19頁共68頁.

的直徑，與相切于點，交的延長線于點，連接交于點，連接、，

??．⊙??????????????

∠?=∠???

(1)求證：平分；

(2)若??，∠???，求的半徑．

【答案??】=(12)見??解析??=6⊙??

(2)5

【分析】（1）根據圓周角定理得到，進而證明，得到，

根據切線的性質得到，根據∠?垂?徑?=定∠理?得??到，∠根??據?圓=周∠角??定?理證明結??論∥?；?

（2）根據三角形中位?線?定⊥理??求出，根據勾股定理??列=出?方?程，解方程得到答案．

【詳解】（1）由圓周角定理得：??，

，∠???=∠???

∵∠?=∠???，

∴∠???=，∠???

∴??∥與??相切于點，

∵??⊙?，?

∴??⊥??，

∴??⊥??，

∴??=??，

∴∠??平?分=∠???；

∴（?2?）∠???，

∵??，⊥??

∴??=??，

∵??=??，

1

∴??=2??=，3

∴??=??3，

∴在??=??=中2，??=2??3，即，

222222

解得??：△???，??=舍?去?+，???=3+(2??6)

答：?1的=半5徑?2為=3．()

【點睛⊙】?本題考查?的5是切線的性質、垂徑定理、勾股定理的應用，掌握圓的切線垂直于經過

第20頁共68頁.

切點的半徑是解題的關鍵．

3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第八十四中學校一模）如圖，內接于⊙為⊙O的直徑，

AD交BC于點E，且．△????,??

??=??

(1)如圖1，求證：AD平分；

(2)如圖2，點P為弧CD上∠一??點?，連接AP交BC于點F，過點P作⊙O的切線，交BC的

延長線于點G，點H是PF的中點，求證：；

(3)如圖3，在（2）的條件下，連接DF，且??⊥??，點R在CG上，連接，

交CH于點N，，∠?求?D?E=的3∠長?．??????

【答案】(1)見解?析?=??,??=2,??=10

(2)見解析

(3)

225

5

【分析】（1）根據垂徑定理得出，則垂直平分，進而得到，根據等

腰三角形的性質求解即可；??⊥????????=??

（2）連接，是圓O的切線得出，根據垂徑定理得出，

根據直角三?角?形?的?性質、對頂角相等得∠出???+∠???=90°，根據等腰三角形?的?性⊥質??得出

，進而得出∠，?根??據+等∠腰?三??角=形9的0°判定與性質即可得解；

∠（?3?）?連=接∠???，延長交∠?于??點=M∠，???交于點T，根據題意推出點M是的中點，根

據三角形中?位?線性質?推?出??，?根?據勾??股定理得到，根據?平?行線的性質

推出??，=2??，根據等腰??三=角?形?的=性4質及相似三角形的性

質、勾∠?股??定=理∠求?解??即=可∠．???△???∽△???

【詳解】（1）證明：如圖1，連接，，

????

第21頁共68頁.

∵為⊙的直徑，交于點E，且，

∴???，??????=??

∴??垂⊥直??平分，

∴??，??

∵??=??，

∴??平⊥分??；

（?2）?證明∠：?連??接，

??

∵是圓O的切線，

∴??，

∴??⊥??，

即∠???=90°，

∵∠?為??⊙+∠的?直??徑=，90°交于點E，且，

∴???，??????=??

∴??⊥??，

∴∠???=90°，

∵∠???+∠???，=90°

∴∠???=∠???，

∵∠???+∠，???=90°

∴??=??，

∴∠???=∠???，

∴∠???=，∠???

∵?點?H=是??的中點，

∴?；?

（?3）?解⊥：??連接，延長交于點M，交于點T，

??????????

第22頁共68頁.

∵，為⊙的直徑，

∴??⊥?????，

∴∠???=，∠???=90°

∵?點?H∥?是?的中點，

∴點M是??的中點，

∴??，

1

∴??=??=，2??=5

∵??=2?，?

∴??=??，

∴∠???=∠???，

∵∠???=∠???+∠?，??=2∠???，

∴???=∠???=，90°∠???=∠???

∴∠???=∠???，

∵∠???=2∠???，

∴∠???=∠???+，∠???=3∠???

∵∠???=∠???，

∴∠???=∠???，

∴∠???=∠???，=∠???

∵??=??，=5

∴??=2，

∴??=3，

∴??=2??=6，

22

∵??=?，?=?????=4

∴??∥??，，

∴∠???=∠???=∠???，△???∽△???

?????????4???1

∴??=??=，??=??=3

??=3

第23頁共68頁.

∴，

????1??

∴tan∠???，=tan∠???=，??=??=2=??

∵??=12??=2??，

∵??=???????，?=4

222

∴??+??=，??

2

∴5??=1，6

216

∵??=5，

222

∴??+??=??，

216

∴??+5=．100

225

【點??睛=】本5題考查了圓的綜合題，等角的余角相等，解直角三角形，切線的性質，正確的作

出輔助線是解題的關鍵．

4．（2022·北京市第十九中學三模）如圖，中，平分交于，以

為直徑的交于點，交于點．△?????=????∠????????

⊙???????

(1)求證：是切線；

(2)連接?交?⊙與?、連接交于，連接，若的半徑為，，求和

的長．????????????⊙?5??=3????

【答案】(1)見解析

(2)4，

217

【分析】（1）由等腰三角形的性質可得，再由是直徑即可證得結論；

（2）連接、、，過作?于?⊥，?則?易證??≌，則可得，

從而有??∽????，由?相似??三⊥角?形?的性?質可求得Rt△的?長?，?則R可t△得???是等腰?直?∥角?三?

角形；易△得??四?邊△形???是矩形，則可得?，?且可得△是?等?腰?直角三角形，

則可得??及??的長，在??=中?，?由=勾2股定理即△可?求??得的長．

（1）??=??=2??Rt△?????

證明：，平分交于，

∵AB，=AC??∠??????

∴??⊥??

第24頁共68頁.

是的直徑，

∵??是⊙?切線；

∴（?2）?⊙?

解：連接、、，過作于，如下圖，

?????????⊥???

是的直徑，

∵??⊙?，

∴∠??平?分=∠???，=90°

∵??∠???，

∴∠???=∠，???

∴??=??，

∵??=??≌，

∴Rt△???，Rt△???HL

∴??=??，

∴??⊥的?半?徑為，，

∵⊙?5??，=3

22

∴??=5，?3=4

∵∴??⊥?，?

??∥??∽，

∴△???，△即???，

????45+3

∴??=??，??=10

∴??=5，

∴??=2??=10，

∵四∠?邊?形?=∠??是?矩=形∠，???=90°

∴????，，

∴??=??=5?，3=2??∥??

∴∠???=∠??，?

∵??=??=5，

∴∠???=∠???=45°

第25頁共68頁.

，

∴∠???=∠??，?=45°

∴??=??=2，

∴在??=???中?，?由=勾8股定理得．

22

【點Rt睛△】?本??題主要考查了圓的切?線?的=性?質?與+判?定?，=等2腰三17角形的性質與判定，矩形的判定與

性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理的應用，關鍵是構造

直角三角形．

5．（2022·上?！とA東師范大學松江實驗中學三模）如圖，在梯形中，

°

動點在邊上，過點作1，??與?邊?交∠?于?點?=，90過,點??∥

?作?,??=4，,?與?邊=5,?交?于=點2.，設?線段??，??．?∥??????

??∥???????=???=?

(1)求關于的函數解析式，并寫出定義域；

(2)當??是以為腰的等腰三角形時，求的值；

(3)如圖△??，?作??的外接圓，當點在?運?動過程中，外接圓的圓心落在

的內部不2包括△邊上??時?，求出⊙的?取值范圍?．⊙??△???

【答案】(1)，??

5

(2)或?=3?0≤?≤5

5

(3)53

45

34<??≤5

【分析】（1）由題中條件、可知四邊形是平行四邊形，故CE

，；過點??/作/?垂?線??//??交于點?，??交?于點，可得相似的=??=

?和??=，??用=含5?、?的表達?式表示它?們?的⊥邊??長，??再根據?相似三??角形的?對應邊成比例即△可??求?

得△關?于??的解析式?；?下一步即為求得和的各自邊長，過點作垂線

交?延長?線于點，由且△???可△得?四??邊形為矩形，?則??⊥??

，??，???//??∠???=90；°在?中?，?由?勾股定理可?算?得=??的=長度；

5在??=??中=，4??=，??=?，?則?可??由=勾3股定理??求△得???的長度，??

?，?△?????=???=?，至此已求?得?所有所需?邊?長=，?根?據?相??似=三?角?形?

?邊?長比??例關=系??：???=?，?代?入?各?邊=長??表?達?式?即可得關于的解析式，再根據題中要求寫出

????

??=????

第26頁共68頁.

定義域即可；

（2）因為是以為腰的等腰三角形，，由勾股定理知，

22

過點作△???交?于?點，則四邊形?是?矩=形??，=?，