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文檔簡介

第十四章

冪級數單選題：1設冪級數的收斂半徑為

R

，則下列斷語中正確的是（A）在上一致收斂。（B）在內某些點處非絕對收斂。（C）

的收斂半徑大于

。（D）對任意的

，在上一致收斂。．2。若冪級數在處收斂，在處發散，則該級數(A)在處發散；

(B)在處收斂；(C)收斂區間為

;

(D)當時發散。

3．冪級數級數的收斂域是(A)

(B)

(C)

(D)

4．若冪級數的收斂半徑為R,那么(A),

(B)

,(C),

(D)不一定存在.

5．如果能展開成

的冪級數，那么該冪級數

(A)

是

的麥克勞林級數；

(B)不一定是

的麥克勞林級數；

(C)不是

的麥克勞林級數；

(D)

是在點處的泰勒級數。6.

如果,則冪級數(A)當時,收斂；

(B)

當時,收斂；(C)

當時,發散；

(D)

當時,發散7..設級數在

處是收斂的，則此級數在處

(A)發散；

(B)絕對收斂；

(C)條件收斂；

(D)不能確定斂散性。

8冪級數在其收斂區間的兩個端點處A

全是發散的.

B.

全是收斂的C.

左端點發散,

右端點收斂.

D

左端點收斂,

右端點發散9.

函數展開成的冪級數的方法是.

10.

冪級數的收斂域為

答案:

1—10

DDBDA

ADDDA

即

.

解上述關于的二階微分方程,

得

.

7.

解

易看出

,

而

兩邊求導,

得

.8.

級數的和函數為

9.

由于級數在上收斂，

所以當時，有

10.

因為冪級數的收斂域是，所以在上的連續，

且可逐項積分。

.證明題：

1.

設

在內收斂,

若也收斂,

則

.

2.

設f為冪級數在

(-R,R)

上的和函數,

若f為奇函數,

則原級數僅出現奇次冪的項,

若f

為偶函數,

則原級數僅出現偶次冪的項.3.

設函數定義在

[0,1]上,

證明它在

(0,1)

滿足下述方程:

4.

設

證明當

時,

級數

收斂.5.

設冪級數，的收斂半徑分別為，設，證明：當時，冪級數絕對收斂。6.

設，求證：

其中

7.

設，，。證明：當時，滿足方程。

8.

若冪級數的收斂半徑為R(>0),

且在(或時收斂,

則級數在[0,R](

或

[-R,0])上一致收斂.

9.

設函數在區間內的各階導數一致有界,即存在正數M,

對一切,

有,

證明:

對內任一點與有

.

10.

證明:

滿足方程.答案:

1.

證明:

因為當

收斂,

有

又當時,

收斂,

從而可知

在左連續,于是.

2.

,

,

當為奇函數時,

有,

從而

,

這時必有

.

當為偶函數時,

有此式當且僅當.3.證明:

設

則

.

所以

故

.0<x<1.4.

因為

所以

,

,取極限得到

,

從而級數的收斂半徑故

時,

級數收斂.5.

對于任意

，由于，所以，絕對收斂。

又所以絕對收斂。

6.

時,

，

，故

從而

7.

由于

，冪級數的收斂半徑是1，所以當時，可微，且

故

即滿足方程。

8.

證明:

設級數在時收斂,

對于有

=已知級數

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