第十四章整式的乘法與因式分解平方差公式1.經歷探索平方差公式的過程,會推導平方差公式.2.理解平方差公式的結構特征,靈活應用平方差公式．

預習目標

初春時節，小萌的父親在自家院子里圈了一塊地準備嘗試種植臍橙，她幫父親測得這塊地長是10.3米，寬是9.7米，她的父親要他幫助算一下這塊地的面積，她脫口而出面積是99.91平方米，父親驚訝地問：“你是怎么算得這么快？”小萌說：“我利用了數學課上剛學過的一個公式.”數學與生活多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.議一議：多項式與多項式相乘的法則活動一以前，狡猾的灰太狼，把一塊長為a米的正方形土地租給懶羊羊種植。今年，他對懶羊羊說：“我把你這塊地一邊減少4米，另一邊增加4米，繼續租給你，你也沒有吃虧，你看如何？”懶羊羊聽了，覺得好像沒有吃虧，就答應了。懶羊羊回去羊村，把這件事跟大伙一說，喜羊羊馬上就說懶羊羊吃虧了。過了一會兒沸羊羊也說懶羊羊確實吃虧了。這是為什么呢？喜羊羊與灰太狼小故事4米4米a米(a-4)(a+4)米相等嗎？原來現在面積變了嗎？面積變了嗎？a2(a+4)(a-4)

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn探究：計算下列多項式的積，你能發現什么規律？(a+b)(a?b)=a2?b2平方差公式(a+b)(a?b)=a2?b2兩數和與這兩數差的積，等于這兩個數的平方差.

相同為a

相反為b注：這兩個數可以是兩個單項式也可以是兩個多項式．(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)aba2-b21x-3aa1

0.3x1(a-b)(a+b)(0.3x-1)(1+0.3x)找一找、填一填例1：運用平方差公式計算

注意

1、先把要計算的式子與公式對照2、哪個是a；哪個是b練習：

(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相反為b小結相同為a

適當交換合理加括號平方差公式(1)(x+1)(x－1)；(2)(a+2)(a－2)；

(3)(3－x)(3+x)；(4)(2x+1)(2x－1).觀察上述算式，你能發現什么規律？運算出結果后，你又發現什么規律？等號的左邊：兩個數的和與差的積，等號的右邊：是這兩個數的平方差.=a2－4=4x2－1活動二探究平方差公式平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.即兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.(a+b)(a－b)=a2－b2.a2－ab+ab－b2=公式變形:1、(a–b)(a+b)2、(b+a)(-b+a)3、(-a+b)(-a-b)4、(a-b)(-a-b)特點：

☆具有完全相同的兩項☆具有互為相反數的兩項平方差公式在結構上有什么特點？1、(a–b)(a+b)2、(b+a)(-b+a)3、(-a+b)(-a-b)4、(a-b)(-a-b)下列多項式乘法中，能用平方差公式計算的是()（1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a)；（3）(－a+b)(a－b)；（4）(x2－y)(x+y2)；（5）(－a－b)(a－b)；（6）(c2－d2)(d2+c2).（2）（5）（6）練一練

請從這個正方形紙板上，剪下一個邊長為b的小正方形，如圖1，拼成如圖2的長方形，你能根據圖中的面積說明平方差公式嗎？(a+b)(a－b)=a2－b2圖1圖2活動三動手操作驗證平方差公式1、運用平方差公式計算：(1)(3x＋2)(3x－2).(2)(b+2a)(2a－b).

解

(1)(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4.(2)(b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.只有符合(a+b)(a－b)的形式才能用平方差公式活動四新知運用2.計算(1)102×98.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).解（1）102×98=(100+2)(100-2)=1002－22=10000－4=9996.解：原式=(y2－22)-(y2+5y-y-5)

=y2－22－y2-5y+y+5

=-4y+1.利用平方差公式計算：原式=(-2y-x)(-2y+x)=4y2－x2.解：原式=(5+2x)(5-2x)=25－4x2.解：原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]=(x+6-x+6)(x+6+x-6)=12×2x=24x.解：

解：原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2+0.25)=(0.25－x2)(0.25+x2)=0.0625－x4.（4）100.5×99.5.解：原式=(100+0.5)(100-0.5)=10000-0.25=9999.75.（5）（0.5-x)(x+0.5)(x2+0.25)1．下列運算中正確的是（）

A．B．

C．D．【解析】選B.在A中3a＋2a＝5a；C中；

D中.7.已知a-b=1,則a2－b2－2b的值為()A．4 B．3C．1 D．0【解析】選C.a2－b2－2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.活動五達標訓練3.將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你能根據兩個圖形的面積關系得到的數學公式是___________．【解析】圖甲的面積=（a+b）(a-b)，圖乙的面積=a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.答案:（a+b）(a-b)=a2-b2

原式=(100-1)(100+1)×10001=(10000-1)(10000+1)=100000000-1=99999999.4.計算99×101×10001.

解：5.化簡：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)=（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)=（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16)=(x16-y16)(x16+y16)=x32-y32.解：選擇選擇下列各式中,能用平方差公式運算的是()A.(-a+b)(-a-b)B.(a-b)(b-a)

C.（100+8)(100-7)2.下列多項式相乘,不能用平方差公式計算的是()A.(x-2y)(2y+x)B.(-x+2y)(-x-2y)C.(-2y-x)(x+2y)D.(-2b-5)(2b-5)AC火眼金睛D.(x+y-1)(x+y-1)我能行!我能行!運用平方差公式計算：1、(m+n)(-n+m)=2、(-x-y)(x-y)=3、(2a+b)(2a-b)=4、(x2+y2)(x2-y2)=5、51×49=m2-n2位置變化y2-x2符號變化4a2-b2系數變化x4-y4指數變化2499無中生有(a+b)(a-b)=a2-b2練習3：判斷正誤練習3：判斷正誤（1）(2b+a)(a-2b)=4b2-a2()（2）(m–n)(-m-n)=-m2-n2()（3）(x+y)(-x-y)=x2-y2()（4）（a-b+c)(a-b-c)=

(a-b)2-c2

（√）a2-4b2n2-m2-x2-2xy-y2×××（5）(3b+2a)(2a-3b)=4a2-9b2()√大顯身手大顯身手

完成下列填空

1、()()=4x2-9y2

2、（5+a）()=25-a2a2-b2=(a+b)(a-b)

公式逆用（1）(a+3b)(a-

3b)=(9x2－16)

－(6x2+5x

-6)=3x2－5x-10（2）(3+2a)(－3+2a)（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)（4）(－y－2x2)(－2x2+y)計算下列各式（3）2009×2007－20082當堂訓練小試牛刀小試牛刀例2計算：⑴102×98;⑵(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);⑴102×98動腦筋！誰是a?誰是b?102=(100+2)98(100-2)=1002-22=10000-4=9996⑵(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)動腦筋！yyyy22=y2

-2215-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1靈活運用平方差公式計算：1、(3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2);2、(x+y)(x-y)(x2+y2);（）化簡(x4+y4)(x4+y4)(x4+y4)拓展提升挑戰極限挑戰極限

(2+1)(22+1)(24+1)

挑戰極限挑戰極限喜羊羊同學在計算（2+1)(22+1)(24+1)時，將積式乘以（2-1）得：

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)=(24-1)(24+1)=28-1挑戰極限挑戰極限你能根據上題計算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)的結果嗎？

運用平方差公式解：（1）(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2

==x2-4y2

例1運用平方差公式計算：（1）(-x+2y)(-x-2y)；（2）．(-3x-1)(3x-1)運用平方差公式解：（2）(-3x-1)(3x-1)(a+b)(a-b)原式=(-1+3x)(-1-3x)=(-1)2-(3x)2=1-9x2(-3x-1)(3x-1)原式=-(3x+1)(3x-1)=-［

(3x)2-12］

=-(9x2-1)

=-9x2+1

例1運用平方差公式計算：（1）(-x+2y)(-x-2y)；（2）．(-3x-1)(3x-1)a2-b2(a+b)(a-b)a2-b2鞏固平方差公式例2

計算：（1）(-y+2)(-y-2)-(y-1)(y+5)

；

解：（1）(-y+2)(-y-2)-(y-1)(y+5)=(-y)2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1只有符合公式要求的乘法，才能運用公式簡化運算，其余的運算仍按乘法法則進行。鞏固平方差公式例2

計算：

（2）102×98．解：(2)102×98=(100+2)×(100-2)=1002-22=10000-4=9996鞏固平方差公式練習運用平方差公式計算：（1）(6x+2)()=36x2-4；（2）

(a-b)()=b2-a2.

6x-2-a-b

初春時節，小萌的父親在自家院子里圈了一塊地準備嘗試種植