有理數及其運算（復習課）有理數的定義與特點定義可以用兩個整數之比（即分數的形式）表示的數稱為有理數。特點有理數包括整數和分數，它們可以用小數形式表示，包括有限小數和無限循環小數。正數和負數正數大于零的數稱為正數，用“+”號表示，通常省略“+”號，例如：1，2.5，100。負數小于零的數稱為負數，用“—”號表示，例如：-1，-2.5，-100。零零既不是正數，也不是負數。絕對值定義一個數在數軸上所對應點到原點的距離叫做這個數的絕對值.符號用兩個豎線“||”表示,例如:|3|表示3的絕對值,|-3|表示-3的絕對值.性質任何數的絕對值都是非負數,即:|a|≥0,且|0|=0.有理數的大小比較數軸在數軸上，右邊的數大于左邊的數。正負數正數大于負數，0大于所有負數。同號比較同號的數，絕對值大的數大。異號比較異號的數，正數大于負數。有理數的四則運算1加法同號相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號相加，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得零。2減法減去一個數，等于加上這個數的相反數。3乘法兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘；任何數與零相乘都得零。4除法除以一個數，等于乘以這個數的倒數；零除以任何非零數都得零；任何非零數除以零沒有意義。加法運算性質交換律a+b=b+a結合律(a+b)+c=a+(b+c)加法單位元a+0=a減法運算1定義減法是加法的逆運算2性質a-b=a+(-b)3法則同號相減，取相同的符號，并用絕對值大的減去絕對值小的4異號相減取絕對值大的符號，并用絕對值大的減去絕對值小的減法運算的關鍵在于理解其定義和性質，以及掌握不同的減法法則，靈活運用不同的方法進行計算。乘法運算性質1交換律兩個有理數相乘，交換因數的位置，積不變。2結合律三個有理數相乘，先把前兩個數相乘，或先把后兩個數相乘，積不變。3分配律兩個數的和與一個數相乘，等于把這兩個數分別與這個數相乘，再把積相加。除法運算1除數不為0除法運算中，除數不能為02商的定義被除數除以除數等于商3除法的性質除法是乘法的逆運算分數的定義1表示部分與整體的關系分數表示一個整體被分成若干等份，其中的一部分所占的份數。2由分子和分母組成分子表示所占的份數，分母表示把整體分成的份數。3分數的意義分數可以表示數量、比例、除法等，是數學中重要的概念之一。分數的化簡1分子分母同除以公因數將分數的分子和分母同時除以它們的公因數，得到一個與原分數相等的新分數。例如，將分數6/8化簡為3/4，因為6和8的公因數是2。2簡化至最簡分數當分數的分子和分母互質（沒有公因數）時，分數被認為是最簡分數。3化簡的應用化簡分數可以簡化計算，使結果更易于理解。它也用于比較分數的大小。分數的約分最大公因數找到分子和分母的最大公因數（GCD）。除以GCD將分子和分母都除以它們的GCD。簡化分數結果是約簡后的分數，它與原始分數等價。分數的擴大1分子分母同時乘以同一個數分數的值不變2例如1/2=2/4=3/63擴大后的分數與原分數相等分數的四則運算1加減法同分母分數相加減，分子相加減，分母不變2乘法分子相乘作為積的分子，分母相乘作為積的分母3除法除以一個分數等于乘以這個分數的倒數分數的加減法1同分母分數的加減法將分子相加減，分母不變。2異分母分數的加減法先通分，再按同分母分數的加減法進行計算。3分數的加減混合運算按照運算順序進行計算，先算乘除法，再算加減法。分數的乘除法1分數乘法分子相乘，分母相乘2分數除法除以一個數等于乘以這個數的倒數3約分計算結果化簡，得到最簡分數小數與分數的轉換1小數化為分數將小數點后的數字作為分子，將小數點后的位數作為分母2分數化為小數將分數分子除以分母，得到小數3循環小數循環小數可以化為分數循環小數無限循環小數小數部分由一個或多個數字依次不斷重復出現的無限小數。循環節重復出現的數字部分稱為循環節。分數與循環小數的轉換有些分數可以化成有限小數，而有些分數可以化成無限循環小數。有理數的性質封閉性兩個有理數的加、減、乘、除運算（除數不為0）的結果仍然是有理數。交換律加法和乘法滿足交換律，即a+b=b+a，a*b=b*a。結合律加法和乘法滿足結合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(a*b)*c=a*(b*c)。分配律乘法對加法滿足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。有理數集的特點無限性有理數集包含無數個有理數。任何兩個有理數之間都存在無數個有理數。有理數可以按照大小順序排列。有理數的應用溫度生活中常見的溫度，例如零下10度，可以用負數來表示。海拔海拔高度可以是正數或負數，例如珠穆朗瑪峰海拔8848米，而死海海拔-430米。財務銀行賬戶的余額，例如存款可以用正數表示，而欠款可以用負數表示。有理數在生活中的體現有理數在生活中隨處可見，比如溫度計上的溫度、海拔高度、商品的價格、股票的漲跌等等。例如，溫度計上的溫度可以表示為正負有理數，正數表示氣溫高于零度，負數表示氣溫低于零度。海拔高度也可以用有理數來表示，正數表示高于海平面，負數表示低于海平面。數線上的有理數數軸可以直觀地表示有理數。原點表示零，正數在原點的右邊，負數在原點的左邊。每個有理數在數軸上對應一個點，反之，數軸上的每個點都對應一個有理數。有理數的大小比較數軸利用數軸比較大小，數軸上右邊的數大于左邊的數。絕對值若兩個數的絕對值相等，則這兩個數互為相反數，它們的大小相等。同號比較同號數比較大小，絕對值大的數就大。異號比較異號數比較大小，正數大于負數。有理數的四則運算應用1生活中的應用溫度、海拔、收入、支出等2科學計算物理、化學、工程等3數據分析統計、預測、決策等綜合練習鞏固知識通過練習鞏固對有理數及其運算的理解和掌握。提升能力練習不同類型的題目，提高解決問題的能力。小結知識回顧今天我們復習了有理數的概念和運算，包括：有理數的定義、分類、比較大小、四則運算以及分數和小