第12講方差【學習目標】了解方差的意義和求法，體會它們刻畫數據波動的不同特征．體會用樣本方差估計總體方差的思想，掌握分析數據的思想和方法．【基礎知識】一．方差（1）方差：一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差．（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果叫方差，通常用s2來表示，計算公式是：s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可簡單記憶為“方差等于差方的平均數”）（3）方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越?。环粗瑒t它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．二．計算器-標準差與方差由于不同的計算器，其操作不完全相同，可以根據計算器的說明書進行操作．以如圖的計算器為例說明：首先，按2ndf鍵，再按on/c（清零）鍵，即進入統計狀態，右上角有stat顯示．接著，進入數據輸入存儲狀態，輸入一個數據后按M+鍵，即對數據進行儲存，可顯示1，表示輸入了第一個數據，依次再輸入，顯示2，為第二個數據．數據輸入完成后，就可進行計算，按2ndf，再按RM，即顯示為平均值，其他同此．先按2ndf鍵再按其他鍵，表示選擇的是該鍵上方的功能．【考點剖析】一．方差（共9小題）1．（2022?貴陽模擬）七年級某班甲、乙、丙、丁四位同學準備選一人參加學校“跳繩”比賽．經過三輪測試，他們的平均成績都是每分鐘180個，方差分別是s甲2＝65，s乙2＝56.5，s丙2＝53，s丁2＝50.5，你認為派哪一個同學去參賽更合適（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2022春?北侖區期中）用如下算式計算方差：S2[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（xn﹣2）2]，上述算式中的“2”是這組數據的（）A．最小值 B．平均數 C．中位數 D．眾數3．（2022春?溫州期中）現有甲、乙兩支排球隊，每支球隊隊員身高的平均數均為1.82米，方差分別為S3.7，S4.2，則身高較整齊的球隊是隊．4．（2022春?朝陽區校級期中）下表記錄了甲、乙、丙、丁四名射箭選手10次測試成績的平均數與方差：甲乙丙丁平均數（分）9.29.59.59.2方差3.63.67.48.1要選擇一名成績好且發揮穩定的選手參加射箭比賽，應該選擇（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2022春?諸暨市期中）已知數據x1，x2，x3的平均數是5，方差是2．則數據2x1﹣3；2x2﹣3；2x3﹣3的平均數是，方差是．6．（2022春?嘉興期中）一組數據1，2，a，3的平均數是3，則這組數據的方差是．7．（2022春?龍港市期中）某研究員隨機從甲、乙兩塊試驗田中各抽取100株雜交水稻苗測試高度，經測量、計算平均數和方差的結果為12cm，12cm，S3.2cm2，S8.6cm2，則雜交水稻長勢比較整齊的是試驗田．（填“甲”或“乙”）8．（2022?寧波模擬）某射擊隊從甲、乙、丙、丁四人中選拔一人參加射擊比賽，在隊內選拔賽中，每人射擊10次，四人成績的平均數（單位：環）及方差（單位：環2）如表所示：甲乙丙丁平均數8.58.28.58.2方差1.72.321.8根據表中數據選擇其中一人參加比賽，最合適的人選是．9．（2022?建鄴區一模）2021年7月24日，楊倩獲得了東京奧運會的首枚金牌，這也激發了人們對射擊運動的熱情．李雷和林濤去射擊場館體驗了一次射擊，兩人成績如下：李雷10次射擊成績統計表命中環數命中次數5環26環17環38環39環1（1）完成下列表格：平均數（單位：環）中位數（單位：環）方差（單位：環2）李雷77林濤75（2）李雷和林濤很謙虛，都認為對方的成績更好．請你分別為兩人寫一條理由．二．計算器-標準差與方差（共2小題）10．先簡化數據，再用科學計算器分別計算下列各組數據的方差：（1）8241，8250，8248，8253，8245；（2）12341，12340，12349，12349，12344．11．用科學計算器分別計算下面各組數據的平均數和方差：甲組12345乙組100200300400500（1）比較這兩組數據，它們的對應關系是什么？它們的平均數和方差各有什么關系？（2）如果用科學計算器計算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均數和方差，你能根據（1）的結論，用簡化數據的方法計算嗎？請你試一試．【過關檢測】一．選擇題（共5小題）1．（2022春?鼓樓區校級期中）甲、乙、丙、丁四位選手各10次射擊成績的平均數和方差的數值如下表：選手甲乙丙丁平均數9.29.39.59.1方差0.0350.0150.0250.027則這四人中成績發揮最穩定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2022?皇姑區一模）某數學興趣小組為了了解本班同學一周課外閱讀的時間，隨機調查了5名同學，并將所得數據整理如表：學生編號12345一周課外閱讀時間（小時）754□8表中有一個數字被污染后而模糊不清（該處用□表示），但曾計算得該組數據的平均數為6，則這組數據的方差和中位數分別為（）A．1.5，4 B．2，4 C．2，6 D．6，63．（2022?海陵區一模）小麗同學住在學校附近，某周星期一至星期五早晨步行到校所花時間（單位：分鐘）分別為11，10，11，9，x，已知這組數據的平均數為10，則其方差為（）A． B． C． D．4．（2022?椒江區二模）對甲、乙、丙、丁四名選手進行射擊測試，每人射擊10次，平均成績均為9.5環，方差如表所示：則四名選手中成績最穩定的是（）選手甲乙丙丁方差1.340.162.560.21A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2022?鹽池縣二模）甲、乙兩人5次數學考試成績如表：則以下判斷中正確的是（）甲8486858387乙8485868585A．， B．， C．， D．，二．填空題（共7小題）6．（2022?烏海一模）某超市銷售五種飲料，單價分別為（單位：元）3，3，x，5，7．若這組數據的平均數是2x，則這組數據的方差為．7．（2022?遵義模擬）若數據2，1，a，3，0的平均數是2，則這組數據的方差是．8．（2022?興寧區校級模擬）2022年冬奧會將在北京市和張家口市聯合舉行，北京成為奧運史上第一個既舉辦夏季奧運會又舉辦冬季奧運會的城市．為了激發同學們對冬奧會的熱情，某校開設了冰球選修課，12名同學被分成甲、乙、丙三組進行訓練，經過5次測試，若甲、乙、丙三組的平均成績相同，且方差，，則應選擇組參加全市中學生冰球聯誼賽．9．（2022?李滄區一模）某班50名同學參加了“預防溺水，珍愛生命”為主題的安全知識競賽，競賽成績統計如表，其中有兩個數據被遮蓋．關于成績的三個統計量：①平均數，②方差，③眾數，與被遮蓋的數據無關的是．（填寫序號即可）成績/分919293949596979899100人數123577101210．（2022?東城區校級模擬）有甲、乙兩組數據，如表所示：甲、乙兩組數據的方差分別為，，則．（填“＞”，“＜”或“＝”）甲1012131416乙121213141411．（2022?銅仁市一模）甲、乙二人五次數學考試成績如下：甲：135，134，132，138，136；乙：134，135，135，135，136．則甲、乙兩人成績比較穩定的是．12．（2022春?金華期中）在樣本方差的計算公式，數字10表示，數字20表示．三．解答題（共5小題）13．（2022?如東縣一模）在一次體操比賽中，6個裁判員對某一運動員的打分數據（動作完成分）如下：9.6??8.8??8.8??8.9??8.6??8.7對打分數據有以下兩種處理方式：方式一：不去掉任何數據，用6個原始數據進行統計；平均分中位數方差8.9a0.107方式二：去掉一個最高分和一個最低分，用剩余的4個數據進行統計；平均分中位數方差b8.8c（1）a＝，b＝，c＝；（2）你認為把哪種方式統計出的平均分作為該運動員的最終得分更合理？寫出你的判定并說明理由．14．（2022?宛城區一模）北京冬奧會的開幕式驚艷了世界，在這背后離不開志愿者們的默默奉獻，這些志愿者很多來自高校，在志愿者招募之時，甲、乙兩所大學就積極組織了志愿者選拔活動，對報名的志愿者進行現場測試，現從兩所大學參加測試的志愿者中分別隨機抽取了20名志愿者的測試成績進行整理和分析（成績得分用x表示，滿分100分，共分成五組：A．x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E．95≤x≤100），下面給出了部分信息：a．甲校20名志愿者的成績在D組的數據是：90，91，91，92．b．乙校20名志愿者的成績成績是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．c．d．兩校抽取的志愿者成績的平均數、中位數、眾數、方差如下表所示：學校平均數中位數眾數方差甲92a9536.6乙9292.5b31.4根據以上信息，解答下列問題：（1）由上表填空：a＝，b＝，α＝°．（2）你認為哪個學校的志愿者測試成績較好，請說明理由（寫出一條即可）．（3）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者參加了此次側試，估計此次參加測試的志愿者中，成績在90分以上的志愿者有多少？15．（2022春?如皋市期中）八年級某老師對一、二兩班學生進行了一次“安全知識競賽”，并將成績進行了統計，繪制了如圖圖表（滿分10分，學生得分均為整數）．（1）補充完成下列的成績統計分析表：班級平均分中位數眾數方差一班7.162.69二班6.985.89（2）小亮同學說：“這次競賽我得了7分，在我們班中排名屬中游略偏上!”觀察表可知，小亮是班學生（填“一”或“二”）；（3）甲同學依據平均分推斷，一班學生安全知識水平更好些．乙同學不同意甲的推斷，請給出兩條支持乙同學觀點的理由．16．（2022春?朝陽區校級月考）某醫院醫生為了研究該院某種疾病的診斷情況，需要調查來院就診的病人的兩個生理指標x，y，于是他分別在這種疾病的患者和非患者中，各隨機選取20人作為調查對象，將收集到的數據整理后，繪制統計圖如圖：注“●”表示患者，“▲”表示非患者．根據以上信息，回答下列問題：（1）在這40名被調查者中，①指標y低于0.4的有人；②將20名患者的指標x的平均數記作，方差記作s12，20名非患者的指標x的平均數記作，方差記作s22，則，s12s22（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）來該院就診的500名未患這種疾病的人中，估計指標x低于0.3的大約有人；（3）若將“指標x低于0.3，且指標y低于0.8”作為判斷是否患有這種疾病的依據，則發生漏判的有人．17．（2022春?拱墅區期中）八年級舉