等腰三角形的判定定理年

級：八年級學科：數學（浙教版）定義三角形等腰三角形性質等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形三線合一判定兩邊相等定義兩

相等兩

相等

邊

角要素？（能得到等腰三角形的最少條件）幾何圖形的一般研究路徑猜想

如果一個三角形有兩個角相等，

那么這個三角形是等腰三角形.？在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

內部聯系

獲得猜想在同一個三角形中操作

動手畫一個有兩個角相等的三角

形，度量這個三角形的三邊長.猜想

如果一個三角形有兩個角相等，

那么這個三角形是等腰三角形.你有什么發現？在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝AC.

實驗操作

驗證猜想已知求證在△ABC中，∠B＝∠C.△ABC是等腰三角形.AB＝AC證明兩條線段相等三角形全等怎么構造？

證明猜想

獲得定理猜想

如果一個三角形有兩個角相等，

那么這個三角形是等腰三角形.

作∠A的平分線AD分析12∠1＝∠2∠B＝∠CAD＝AD△ABD≌△ACDAB＝AC證明

作∠A的平分線AD.在△ABD和△ACD中，∵∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB＝AC（全等三角形的對應邊相等），∴△ABC是等腰三角形.∠1＝∠2（角平分線的定義），∠B＝∠C（已知），AD＝AD（公共邊），

證明猜想

獲得定理已知求證在△ABC中，∠B＝∠C.△ABC是等腰三角形.過點A作BC邊上的高線AD分析12∠1＝∠2∠B＝∠CAD＝AD△ABD≌△ACDAB＝AC證明

過點A作BC邊上的高線AD.在△ABD和△ACD中，∵∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB＝AC（全等三角形的對應邊相等），∴△ABC是等腰三角形.∠1＝∠2（垂直的意義），∠B＝∠C（已知），AD＝AD（公共邊），

證明猜想

獲得定理已知求證在△ABC中，∠B＝∠C.△ABC是等腰三角形.過點A作BC邊上的中線AD分析BD＝CD12(AAS)12(AAS)(SSA)△ABD≌△ACD×AB＝AC?

證明猜想

獲得定理已知求證在△ABC中，∠B＝∠C.△ABC是等腰三角形.在△ABC和△ACB中分析∠B＝∠C△ABC≌△ACBAB＝ACBC＝CB∠C＝∠B已知求證在△ABC中，∠B＝∠C.△ABC是等腰三角形.12(AAS)12(AAS)思考

對比這三種證明方法，你覺

得它們的本質依據是什么？等腰三角形的軸對稱性

證明猜想

獲得定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.幾何語言在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形.等腰三角形的判定定理（在同一個三角形中，等角對等邊）

證明猜想

獲得定理兩邊相等兩角相等三角形

要素

的視角觀察獲得猜想實驗驗證猜想推理證明猜想等腰三角形的判定定理性質在同一個三角形中定理探究的一般路徑？思考你能類比等腰三角形判定定理的研究視角探索等邊三角形的判定方法嗎？探究活動

從三角形

的視角探索能判定等腰三角形的命題.相關要素

方法梳理

形成結構三邊相等三角相等三角形

要素

的視角性質？三角形等腰三角形兩條邊相等兩個角相等等邊三角形邊角邊三條邊相等三個角相等∠B＝∠CAB＝AC∠A＝∠BAC＝BCAB＝AC＝BC

運用結構

探索新知三個角都相等的三角形是等邊三角形.幾何語言：在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形.等邊三角形的判定定理1等腰三角形等邊三角形?頂角為60°底角為60°

運用結構

探索新知有一個角為

60°的等腰三角形是等邊三角形.頂角底角60°60°另一個底角60°頂角180°－2×60°＝60°60°60°60°底角（180°－60°）÷2＝60°60°60°60°三個角都相等三個角都相等等邊三角形的判定定理2分類討論

運用結構

探索新知例1一次數學實踐活動的內容是測量河寬.如圖，即測量點A，B之間的距離.同學們想出了許多方法，其中小聰的方法是:從點A出發，沿著與直線AB成60°角的AC方向前進至C，在C處測得∠C=30°.量出AC的長，它就是河的寬度(即A，B之間的距離).這個方法正確嗎?請說明理由.60°30°?AB＝AC?∠ABC＝∠C?∠ABC＝∠DAC－∠C

＝60°－30°＝30°解

小聰的測量方法正確，理由如下：

∵∠DAC＝∠ABC＋∠C（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）

∴∠ABC＝∠DAC－∠C

＝60°－30°＝30°

∴∠B＝∠C

∴AB＝AC（同一個三角形中，等角對等邊）x2x

回歸生活

運用定理1.如圖1，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，則△ABC是等腰三角形嗎？說明理由.2.如圖2，BD是等腰△ABC的底邊AC上的高線，DE∥BC，交AB于點E，則△BDE是等腰三角形嗎？說明理由.（圖1）（圖2）

鞏固練習

歸納提升1.如圖1，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，則△ABC是等腰三角形嗎？說明理由.AD平分∠EAC12（圖1）△ABC是等腰三角形∠1＝∠2∠1＝∠B，∠2＝∠CAD∥BC∠B＝∠C∠?＝∠?分析解

△ABC是等腰三角形，理由如下：

∵AD∥BC，

∴∠1＝∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2＝∠C（兩直線平行，內錯角相等），

∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠2（角平分線的定義），

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC（同一個三角形中，等角對等邊），∴△ABC是等腰三角形.

鞏固練習

歸納提升2.如圖2，BD是等腰△ABC的底邊AC上的高線，DE∥BC，交AB于點E，則△BDE是等腰三角形嗎？說明理由.（圖2）123△BDE是等腰三角形∠EBD＝∠EDB∠EDB＝∠DBC∠EBD＝∠DBCBD是等腰△ABC的底邊AC上的高線DE∥BC分析解

△BDE是等腰三角形，理由如下：

∵BD是等腰△ABC的底邊AC上的高線，

∴∠1＝∠2（等腰三角形三線合一），

∵DE∥BC，∴∠2＝∠3（兩直線平行，內錯角相等），

∴∠1＝∠3，

∴BE＝DE（同一個三角形中，等角對等邊），∴△BDE是等腰三角形.

鞏固練習

歸納提升（圖2）12312（圖1）

思考從這兩題的解題思路中你得到了什么啟發？解

∵AD∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，

∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠2，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.解

∵BD是等腰△ABC的底邊AC上的高線，

∴∠1＝∠2，

∵DE∥BC，∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形.

鞏固練習

歸納提升1這節課我們研究了哪些內容？3研究過程中涉及到哪些思想方法？2我們是以怎樣的路徑研究的？

小結梳理

提升思想類比分類討論

小結梳理

提升思想

布置作業

鞏固提高(A層作業)1．如圖1，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝15，AC＝18，則△AMN的周長為（）A．15B．18C．30

D．33（圖1）2．如圖2，已知∠A＝36°，∠C＝72°，BE平分∠ABC，DE∥BC，則圖中等腰三角形的個數有（）A．3B．4