2024-2025學年年八年級數學人教版下冊專題整合復習卷21.3二次根式的加減(第1課時)同步作業(含答案)21．3二次根式的加減（第一課時）◆隨堂檢測1、下列計算正確的是（）A．B．C．D．2、計算：=_____________．3、計算（1）（2）（+）+（-）4、先化簡，再求值：（6x+）-（4y+），其中x=，y=27．◆典例分析要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長度，在求這四段的長度和時，要先化為最簡的精確值，再取近似結果．ABDC2m1m4mABDC2m1m4mBC==.∴所需鋼材長度為AB+BC+AC+BD=2++5+2=3+7≈3×2.24+7≈13.7（m）答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材．◆課下作業●拓展提高1、下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2.其中正確的有（）．A．3個B．2個C．1個D．0個2、計算：eq\r(8)＋(－1)3－2×eq\f(\r(2),2)=_____________．3、已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（結果精確到0.01）4、計算：3-9+35、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．提示：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根據二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再代入求值．●體驗中考1、（2009年，泰安）化簡：的結果為____________．2、（2009年，臨沂）計算的結果是（）A．1B．-1C．D．（提示：首先要將各二次根式正確化簡，然后進行二次根式的加減運算.）參考答案◆隨堂檢測1、B2、解：原式=．3、解：（1）=0；（2）（+）+（-）=++-=4+2+2-=6+.4、解：原式=6+3-（4+6）=（6+3-4-6）=-，當x=，y=27時，原式=-=-.◆課下作業●拓展提高1、C只有④是正確的,故選C.2、－1原式＝2－1－＝－1.3、解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.4、解：（1）原式=12-3+6=（12-3+6）=15.5、解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0,∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0,∴（2x-1）2+（y-3）2=0,∴x=，y=3.∴原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6∴當x=，y=3時，原式=×+6=+3.●體驗中考1、原式=.2、C原式=.故選C.21.3二次根式的加減（第二課時）◆隨堂檢測1、下列計算正確的是（）A．B．C．D．2、計算（-3+2）×的值是（）A．-B．2-C．3-D．-33、已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為，那么這個等腰直角三角形的周長是________．4、計算:（1）（+）×（2）（4-3）÷2分析：二次根式仍然滿足整式的運算規律，所以直接可用整式的運算規律．5、計算：（1）（+6）（3-）（2）（+）（-）分析：二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立．◆典例分析已知，其中是實數，將式子+化簡并求值．分析：由于（+）（-）=1，因此對代數式的化簡，可先將分母有理化，再依據二次根式的意義求得x的值，代入化簡式得結果即可．解：原式=+=+==.∵∴且，解得.∴∴原式=4x+2=22.◆課下作業●拓展提高1、（-+）2的計算結果（用最簡根式表示）是________．2、（1-2）（1+2）-（2-1）2的計算結果（用最簡二次根式表示）是_______．3、若，則=________．4、已知a=3+2，b=3-2，則=_________．5、計算：（1）；（2）；（3）；（4）.●體驗中考1、（2009年，新疆烏魯木齊）計算：（提示：首先要將各二次根式正確化簡，然后進行二次根式的綜合運算，注意運算順序.）2、（2008年，上海）先化簡，再求值：，其中.（注意：和,即的和與積比較簡單,容易計算.）參考答案◆隨堂檢測1、A只有A等式成立，故選A.2、D原式=.3、2+2利用勾股定理計算斜邊的長為2，周長為2+2.4、解：（1）（+）×=×+×=+=3+2.(2)（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-.5、解：（1）（+6）（3-）=3-（）2+18-6=13-3.（2）（+）（-）=（）2-（）2=10-7=3.◆課下作業●拓展提高1、1-原式=.2、4-24原式=.3、3.4、4a﹣b=4,ab=1,∴.5、解：（1）原式=12-18=-6；（2）原式；（3）；（4）原式.●體驗中考1、解：原式=.2、解：原式=.∵，.21.3二次根式的加減情境感知小明家樓房前有一直角三角形空地，小明的爸爸想把它開墾出來種菜．經測量，一直角邊長為m，斜邊長為m．現要用籬笆把這塊地圍起，小明的爸爸至少需買多少籬笆？（商店出售籬笆的方式是以米為單位出售）基礎準備一、同類二次根式的概念幾個二次根式化成________________后，如果__________相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．問題1．下列二次根式：、、、中與為同類二次根式的個數是（）（A）1個．（B）2個．（C）3個．（D）4個．二、二次根式的加減運算二次根式相加減，先把各個二次根式化成_____________，再把_____________合并．問題2．計算：．要點探究探究1．二次根式的混合運算例1．計算：（1）；（2）．解析：靈活運用所學過的乘法公式，對于二次根式相乘，應牢記不僅系數相乘，被開方數也要相乘，根指數保持不變．答案：（1）．（2）．智慧背囊：幾個二次根式的和相乘，類似于多項式的乘法，能用乘法公式的盡量用乘法公式，然后把各項都化簡，能合并的一定要合并．活學活用：計算：（1）；（2）；（3）．探究2．有關二次根式的方程問題例2．已知，求的值．解析：化簡方程中出現的二次根式，合并同類二次根式．答案：，，，．智慧背囊：對于，采用兩邊同時平方的方法即可得到的值．活學活用：已知，求的值．探究3．有關二次根式的整數部分與小數部分問題例3．若的整數部分為，小數部分為，求的值．解析：通過分析的范圍可以確定其整數部分，從而求出，而就是它的小數部分．答案：，∵，∴，∴，，∴．智慧背囊：用估值法估計一個用二次根式表示的數在兩個整數之間，從而確定其整數部分，用原數減去整數部分就可得到小數部分．活學活用：已知的整數部分為，小數部分為，求的值．探究4．利用方程或方程組解決二次根式問題例４．已知與是同類二次根式，求的值．解析：由同類二次根式的概念可知被開方數相等，列方程后求解．答案：依題意得，得，解得．智慧背囊：根據同類二次根式的概念，由被開方數相等列方程（或方程組），求方程（或方程組）的解．活學活用：已知最簡根式與是同類二次根式，求的值．隨堂嘗試A基礎達標1．選擇題（1）下列根式中，與是同類二次根式的是（）（A）．（B）．（C）．（D）．（2）下列計算正確的是（）（A）．（B）．（C）．（D）．（3）最簡二次根式與是同類二次根式，則的值是（）（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．（4）已知，分別為的整數部分和小數部分，則的值是（）（A）．（B）．（C）．（D）．2．填空題（1）_______________．（2）如果最簡二次根式與可以合并成一項，其結果為_____________．（3）的小數部分為，整數部分為，則_______________．（4）若，則代數式的值是_______________．3．計算：（1）．（2）．（3）．4．計算：（1）．（2）．（3）．（4）．B能力升級5．解方程組6．若，分別表示的整數部分與小數部分，求的值．7．是否存在實數，使最簡二次根式和的同類二次根式？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．C感受中考8．下面與是同類二次根式（）（A）．（B）．（C）．（D）．9．估算的值在（）（A）7和8之間．（B）6和7之間．（C）3和4之間．（D）2和3之間．10．如圖，由24個邊長都為1的小正三角形組成的網格中，點P是正六邊形的一個頂點，以點P為直角頂點作直角三角形（即頂點均在格點上的三角形），請你寫出所有可能的直角三角形的斜邊長_______________．課后實踐（第10題）百萬富翁的避暑山莊有一名百萬富翁打算在某湖泊地區建造一座避暑山莊，他選中了三個方方整整、酷似正方形的湖泊，其面積分別為18畝、20畝、26畝，連同四個三角形和三個正方形統統買下．現在請你回答，他這塊領地一共有多少畝？初一看，這道題目別開生面，似乎不難，易推得四個三角形的面積相等．于是，只需求出中央這塊土地的面積，問題便迎刃而解．由海倫公式，其中．將，，分別代替，，，便可計算出三角形的面積為9畝．而號稱趣味數學三位大師之一的英國人亨利·杜德耐（HenryDudeney）卻想出了一個精妙絕倫辦法來解決本題，他是這樣計算的：作一個鄰邊之長分別為4和5的矩形ABCD，然后分別截取AE1，BF，則DE，DF，EF，通過矩形與三個三角形的差易求得△DEF的面積為9畝．所以這名百萬富翁的領地一共是（畝）．不多不少，正好是100畝，何其巧哉！杜德耐的解法令人印象深刻，究其思路，不是作簡單的輔助線或輔助角，而是作完整的“輔助圖形”，無疑，這種想法是新穎而具有創造性的．不言而喻，這道題目是經過精心設計的，連答數也湊得這么好，也許100是個“吉祥數字”，真是左右逢源．參考答案基礎準備問題1．B．問題2．．要點探究活學活用1．（1）；（2）1；（3）．活學活用2．．活學活用3．，，．活學活用4．．隨堂嘗試A基礎達標1．（1）C；（2）C；（3）D；（4）C．2．（1）；（2）；（3）；（4）．3．（1）；（2）；（3）．4．（1）；（2）；（3）；（4）．B能力升級5．6．．7．．C感受中考8．C．9．D．10．，，，4．21.3二次根式的加減◆基礎鞏固一、選擇題1、（2007年上海市）在下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．2、下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A、B、C、D、3、（2007年臨沂）計算的結果是（）A． B． C． D．4、（2007年浙江紹興）下列計算正確的是()A．B．C．D．二、填空題5、計算：（1）（2007年十堰）＝_________________。（2）（2007年瀘州）=___________________;（3）（2007年長沙）．6、化簡：=.7、已知，則=.三、綜合題8、計算（1）3-9+3（2）（+）+（-）（3）（2007年青島）（4）（5）9、計算：（1）（2007年韶關市）（2）（2007年荊州市）（3）(2007年德陽)．10.(2006·廣安市)化簡求值:,其中x=.◆遷移應用一、選擇題1、（2007年南京市）下列各數中，與的積為有理數的是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2、（2006·濟南市）已知，則代數式的值為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3、（2007年濟南市）計算的結果為（）A．1 B． C． D．4、（2007年瀘州）給出下列計算或化簡：（1），（2），（3），（4）.其中正確的個數有()A．1個B．2個c．3個D．4個二、填空題5、(2007年黃岡市)計算：=.6、已知，，則_________。7、x，y分別為8－的整數部分和小數部分，則2xy－y2＝____________．三、綜合題8、如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示）9．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．10、如圖所示，在四邊形ABCD中，，若AB=2，CD=1，求四邊形ABCD的面積。◆反思提高1、下列計算：①；②；③；④；⑤.其中正確的是（）（A）①和③（B）②和③（C）③和④（D）③和⑤2．先化簡，再求值:（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．3、已知x＋y=－8，xy=8，求的值.◆中考能力題1、（2007年內江）已知△ABC的三邊滿足，則△ABC為（）A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形2、（2007年內江）若均為整數，當時，代數式的值為0，則的算術平方根為．參考答案◆基礎鞏固一、選擇題1、C；點撥：判斷是否為同類二次根式，要先將根式化簡為最簡二次根式，再判斷被開方式相同得就是同類二次根式，否則就不是；A選項已經是最簡二次根式，由于被開方數不同，所以不是；B選項化簡得：＝，也不是；C選項化簡得：＝，所以與是同類二次根式。2、分析：最簡二次根式中不含分母，沒有能繼續開方的因式。答案：C3、D；點撥：4、A．點撥：A選項根據二次根式的乘法法則·＝是正確的；B選項不是同類二次根式，不能化簡；C選項因為，所以錯誤；D選項不是同類二次根式不能合并.二、填空題5、（1）3－2；點撥：。（2）－3；點撥：（3）；點撥：3－2＝。6、；點撥：＝7、2；點撥：＝xy(x+y)=.三、綜合題8、解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15（2）（+）+（-）=++-=4+2+2-=6+（3）由于，所以原式＝＝1.（4）（5）點撥：本題考察二次根式的化簡.二次根式的化簡主要是運用二次根式的一些性質來化簡的，如：（1）；（2）；（3）（a≥0、b≥0）；（4）（a≥0、b>0），化簡后，是同類二次根式的要合并成一項。9、解：（1）原式＝2＋3－2＋1＝4；（2）原式＝1－2＋2＝1；（3）原式＝1＋1/4－1/4＝1點撥：注意負指數冪和0指數冪的意義：10、解:化簡:原式====當x=時,原式=◆遷移應用一、選擇題1、D；點撥：與A、B、C三個選項相乘都含有，只有與D選項的相乘＝6為有理數，所以選D。2、Ａ點撥：＝；所以選A。3、A；點撥：。4、B；（1）是錯的，正確的是；（2）是對的；（3）是對的；（4）是錯的，被開方式不是同類項不能合并。所以正確的個數有2個，選B。二、填空題5、1，點撥：應用平方差公式，＝5－4＝1。6、；點撥：。7、5；點撥：∵3＜＜4，∴4＜8－＜5．[4，5]．由于8－介于4與5之間，則其整數部分x＝4,小數部分y＝4－,[x＝4，y＝4－]xy－y2=5．三、綜合題8、解：設x后△PBQ的面積為35平方厘米．則有