上海市曹楊中學2024-2025學年高二上學期期中考試數學試

卷

學校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.已知z=2+i（其中i為虛數單位），貝1」工=—.

2.已知y（x）=x4，則/'⑴=---

3.函數y=tan2x的最小正周期為—.

4.已知向量7=（3,4），B=（m,2r且3/區，則加=一

5.已知復數4=l+i，z2=i（其中i為虛數單位），貝七/』=一.

6.若圓柱的軸截面面積為8,則它的側面積為一.

7.函數〃x）=e，在》=1處的切線方程為-

8.已知圓錐的母線長為4,底面直徑4女_4,則沿著側面從點A到點B的距離最小值是一

71」，則cos2a=

9.已知cos------a

25

10.已知P是邊長為2的正六邊形尸上或其內部的一點，則后.方的取值范圍為.

11.如圖，已知一個半徑為2的半圓面剪去了一個等腰三角形45C，將剩余部分繞著直徑

AB所在直線旋轉一周得到一個幾何體，則該幾何體的體積為一

試卷第11頁，共33頁

c

B

X42a

12.已知關于的不等式I_g+2）—+2a<0恰有兩個正整數解，則實數的取值范圍

ee

二、單選題

13.已知復數z=（2sina-l）+i。為虛數單位），則“立為純虛數”是“口毛”的（）?

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.設以〃是兩條不同的直線，公戶是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題為（）

、?右加〃/〃a，則冽〃〃

B.若機_La,〃_La，則冽〃〃

C.若加〃4加B,貝!）Q〃夕

D.若加_LQ,a_L￡,貝！）加||2

15.如圖，在直三棱柱Z5C-4Aq的棱所在的直線中，與直線5G為異面直線的條數為

（）

試卷第21頁，共33頁

A.1B.2C.3D.4

16.已知函數y=/(x)的導函數/■'(x)的圖像如圖所示，則下列結論中正確的是()

A.函數)=/(x)在區間(33)內有三個零點

B.函數xS-1是函數y=/(x)的一個極值點

C.曲線了=/(尤)在點(2人-2))處的切線斜率小于零

D.函數y=/(x)在區間(-1,1)上是嚴格減函數

三、解答題

17.已知向量3=(2,1)，b=[-\,m\

(1)若&與B的夾角為135°，求實數機的值；

⑵若),(1-彼)，求向量,在向量'上的投影向量坐標.

18.如圖，在正四棱柱48CD-42]G2中，AB=2,AA1=3-

試卷第31頁，共33頁

(1)求4?與底面ABCD所成角；

(2)求點/到平面吊助的距離.

19.已知V4BC的內角4尻。的對邊分別為a,Ac，已知a=3,b=2c-

⑴若』=與，求v的的面積;

(2)右2sin8-sinC=l'求sin/.

20.如圖，尸工,平面/8°，N8為圓O的直徑，E'尸分別為棱尸c，尸B的中點?

⑴證明：￡尸〃平面4BC；

(2)證明：平面j_平面尸/C；

⑶若尸/=/8=4'NC=2，求二面角E-/3-C的大小?

21.解答下列問題：

(1)求函數〃x)=0x>0)的極小值；

試卷第41頁，共33頁

(2)若feR,函數Mx)=xe*-x為R上嚴格增函數，求實數，的取值范圍;

xe(0,+co),且y=g(x)只有一個極大值點，求實數”的取

(3)已知g(x)=

值范圍.

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

題號13141516

答案BBCD

L2-zZ-z+2

【分析】根據已知條件，利用共朝復數的概念，即可求解.

【詳解】因z=2+i，所以［=2-「

故答案為：.

z9—1

2.4

【分析】求導代值即可.

3，

【詳解】/(X)=4X>,■./(1)=4.

故答案為：4.

3.-

2

【分析】利用告求出最小正周期.

國

【詳解】>=tan2x的最小正周期為工.

2

故答案為：-

2

4.|/1.5

【分析】根據向量平行的充要條件列方程即可求解.

【詳解】若向量°=(3,4),*=(九2),且7/區，則當且僅當4〃?=2x3n%=L

2

故答案為：--

2

答案第11頁，共22頁

5-亞

【分析】由復數乘法以及模的計算公式即可求解.

【詳解】匕匹|=1(1+i)i|=|-1+i|=A/(-1)2+1=V2.

故答案為：72-

6-8TT

【分析】設圓柱的底面半徑為r，母線為/,由于圓柱的軸截面面積計算即可.

【詳解】設圓柱的底面半徑為「，母線為/，

由于圓柱的軸截面面積為8,所以2〃=8，

所以它的側面積為2兀汰=?

故答案為：8兀

7,"y=ex

【分析】先求得導函數及切點坐標，由點斜式方程的求法即可得切線方程.

【詳解】/(尤)=e*，當x=1時切點為(1,e)，

且f,{x)=ex，則由導數幾何意義可知k=/<l)=e

由點斜式可得>=e(x-l)+e，即昨6工，

故答案為：y=ex-

【點睛】本題考查了導數的幾何意義，曲線上一點的切線方程求法，屬于基礎題.

8.4萬

【分析】將其側面展開，通過計算得到側面展開圖為半圓，根據圖形可得最短距離.

答案第21頁，共22頁

【詳解】考慮圓錐的側面展開圖,

由題意可知圓錐的母線長為4,底面直徑為4,則半徑

所以底面圓的周長為47r，

所以圓錐的側面展開圖是半徑為4,圓心角為竺=元的扇形，即半徑為4的半圓,

如圖所示:

在直角三角形尸45中，AP=BP=4,所以45=40，

所以沿著側面從點A到點8的距離最小值為4衣.

故答案為：4-72,

07,-0.28

25

【分析】利用誘導公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得結果.

【詳解】cos匡-<z]=sina=-3，因此，cos2a=l-2sin2a=-"

UJ525

故答案為：-L

25

10-[-2,6]

【分析】根據給定條件，建立平面直角坐標系，設出點P的坐標，利用數量積的坐標運算

求解.

答案第31頁，共22頁

【詳解】在正六邊形/3CDE尸中，以點A為原點，皿/￡所在直線分別為X軸、V軸，建

因為43=2,則/（0,0）,8（2,0），43,6）,0（2,26）,網0,26）,尸（一1,6）,

設P（x,y）,由題意可知，_lWx（3,04y<26，

所以萬=（x,y）,刀=（2,0），貝。萬.刀=2xe[-2,6]，

故答案為：卜2,6]

11.9

3

【分析】在三角形中作于點，求得圓錐的底面半徑和高，計算出球體和圓錐體積即可求得

結果.

【詳解】由題，VN8c為等腰直角三角形，作CO,45于點0，如圖，

則VABC繞著直徑所在直線旋轉一周得到的幾何體為兩個全等的圓錐/0和30,

答案第41頁，共22頁

由半徑為2可得圓錐底面圓半徑為co=2，圓錐的高為2，

則圓錐"。的體積為匕=1兀念237T=-,

33

43?

半圓面旋轉一周形成半徑為2的球體，其體積為匕=2兀斷3=絲，

33

因此剩余部分所形成的幾何體的體積為憶=匕-2叫.

故答案為：-71.

3

12.卜3

LeeJ

【分析】令f=〃x）=W，利用導數求出函數〃無）的單調區間，則不等式變為關于’的不

等式‘2_（。+2），+2。<0,再分a=2,a>2和a<2三種情況討論，結合函數/⑺=1的

單調性即可得出答案.

【詳解】令:〃x）=g則/，（6=竺立

ee

,

當x<0或x>2時，/（x）<0>當0<x<2時，/<x）>0，

所以函數〃x）在（-oo,0）和（2,+00）上遞減，在（0,2）上遞增，

4

/（0）=0,/（2）=-,

當xf-8時，/（Mf+s，當Xf+co時，〃x）-0，

答案第51頁，共22頁

不等式變為關于t的不等式/_S+2)/+2a<0，

若〃則不等式無解，

CI一乙

>22</<(7口門Y2

若時，則mtl，即2<上<4，

ex

此時x<°，與題意矛盾，

什〃<2q^,a<t<2口口X2

若時，則，即。<上<2，

ex

因為"為正整數，且當時，r<1,

eAe2

2

所以上<2恒成立，

ex

X2

則關于的不等式°<上恰有兩個正整數解，

ex

由函數==在(2，+°°)上遞減，在(°，2)上遞增，

1/(1)=1,/(3)=4>/(1),/(4)=^</(1),

eee

可得/(l)Wa</(3)，

即ae—-

_ee；

故答案為：口當］.

_eeJ

【點睛】本題考查了利用導數解決不等式問題，考查了分類討論思想和轉化思想，有一定

的難度.

答案第61頁，共22頁

13.B

【分析】由復數z=（2sinaT）+i為純虛數，求出］，判斷即可.

【詳解】復數2=（2而._1）+1為純虛數，則Zsincz-」。，

元57r

解得a=—+2左，kA,或a=——+2尤左N，

66

Z__jr冗Z

所以若為純虛數不一定得到a=工，但是由a=乙一定能得到為純虛數，

66

ZJT.

故“為純虛數”是“a=工”的必要非充分條件，

6

故選：B

14.B

【分析】在正方體中取直線和平面可排除ACD,由線面垂直的性質可得B正確.

【詳解】在正方體/BCD_瓦七”中，記底面NBC。為a，斯為加，EH為n,顯然A不正

確；記底面/BCD為a,EF為m,平面CD8G為尸，故排除C；記底面48co為a,BF

為”,平面N瓦石為「，可排除D；由線面垂直的性質可知B正確.

故選：B

15.C

【分析】根據異面直線的概念分析即可求出所有符合條件的棱，進而得到結果.

答案第71頁，共22頁

【詳解】與直線3G成異面直線的有44，/c,/4,共3條，

故選：c.

16.D

【分析】根據導函數的圖象，可判斷原函數的單調性，進而可逐一求解.

【詳解】/(x)在(_3，-2)單調遞增，在(一2,3)單調遞減，故/(x)在區間(-3,3)內至多有兩

個零點，A錯誤；

在x=-1的左右兩側/<x)<0，故x=-l不是極值點，故B錯誤；

根據廣⑴圖像可知/(-2)=0,故歹=/(x)在點(-2)(-2))處的切線斜率等于零，C錯誤；

/'(x)<0在3T，1J恒成立，故/(X)在區間(-1,1)上是嚴格減函數，故D正確.

故選：D

-31

17.(1)或2；

17

(2)(----,—).

'八1010

【分析】(1)根據數量積的定義和坐標運算即可求得加；

(2)根據21@_為求得加=7,再根據投影向量的定義即可求得.

［詳解］(1)因為萬=(2，1)3=(-1,機)，則)石=優_2,問=石，W=Jl+7〃2,

若￡與否的夾角為135。，則由方Z=問回cosl35。，

可得：二-2=6xJ1+*x(一耳(m<2)，解的："'二-3或用=；,

2

答案第81頁，共22頁

mi

則實數的取值為或(

(2)a-b=(3,l-m)'因為］則展①一均=2x3+l_，〃=0，

則機=7,可得：［(-1,7),限17-2=5,歸卜歷7=50,

ab17

則在方向上的投影向量為：甲而(一歷'而).

3

18.(1)arctan-

(2)￡H

11

【分析】(1)由線面角的定義可知/4加即為所求，在R〃42/中利用三角函數進行求解?

(2)在三棱錐4一/AD中，利用等體積法求點/到平面480的距離.

【詳解】(1)由題意得，4臺與底面N2C。所成角為4⑸，在"4A4中，

...AA,3...3

tanN4B4———，BA—arctan一,

1AB212

故4,與底面ABCD所成角為arctan^.

(2),??四棱柱ABCD-/畫CQi為正四棱柱，

:.AB=AD=2，

227

A.B=AXD=A/2+3=413'BD=7F+2=272'

答案第91頁，共22頁

設點/到平面A'BD的距離為d,則？S△*D?N4=；?S，加M，

即12?2?3=1?2亞力13-2",解得：，

22”11

所以點N到平面吊助的距離為￡11.

11

19.(1)9.

14

⑵4A/2+#)或4A/2—Vs

~99~

【分析】(1)利用余弦定理解得02的值，代入三角形面積公式即可的結果.

(2)由正弦定理得至IJsin8,sinC的關系，解出sinB,sinC的值，分類討論角B是否為銳角,

利用和差角公式計算出n的值.

【詳解】(1)cosA=b——=--

2bc2

?Y

*"7'

1

?*,SABC^—bcsmA=csin^4=—x=22/2.

“BC27214

(2)b=2c'由正弦定理可得sin8=2sinC

..2sin5-sinC=1..1.2

?,??sinC=§,sin

?：b=2c，B可能為銳角可能為鈍角，C為銳角，

答案第101頁,共22頁

cosC=^/1-sin2C=2走

3

當8為銳角，3於仆0=/

1V52A/224V2+V5

sinA=sin^sifir(C+^)]§in順升5)eosfinB+CB=—X---1----X—=-----

33339

當“為鈍角，cos5=-Vl-sm^=-^

C八"—

sin/=si坤sin-(C+5)]§in皆葉B)8sfinB+

33339

???sinZ=4亞+26或4H店

99

20.（1）證明見解析

（2）證明見解析

⑶3號

【分析】（1）利用中位線定理得到.//5C，利用線面平行的判定定理即可得證;

（2）由/B為圓0的直徑，得到8c_L/C,再利用線面垂直得到2C_LP4從而2C_L平面

尸/C,結合（1）中斯/A8C,所以所_L平面尸/C,得到面面垂直.

（3）構建空間直角坐標系，根據空間向量求解二面角大小.

【詳解】（1）因為￡,尸分別為棱尸°pg的中點，所以E尸//BC，

因為跖（Z平面4BC,BCu平面/3C，

所以EF〃平面48C;

（2）因為為圓O的直徑，所以8CL/C,

答案第111頁，共22頁

因為平面/8C,8Cu平面/8C,所以8C_LP4

又上4nze=4，尸4/Cu平面尸NC,所以BC_L平面尸/C,

由(1)知M/ABC,所以斯_L平面PNC,又￡Fu平面EE4,

所以平面瓦加，平面上4c

(3)

以A為坐標原點，如圖所示構建空間直角坐標系,

因為尸4=48=4'AC=2,

所以4(0,0,0),8(0,4,0),尸(o,o,",C(->/3,l,0)

℃中點石即為丁在12〕，

I2,2,)

設面及LB的法向量為)=(x/,z),

n.?AE=0—V3x+>+4z=0

則兀方=0'可得'

J二°

令x=4,則y=0,z=G,nx=(4,0,@,

答案第121頁，共22頁

又面48c的法向量可表示為元=(o,o,i)

（4,0,@.（0,0,1）_炳

〃，〃2=

COS1V19xl-19

__1工E—A.B—C,,_>,Js7

—^7面77T角的大小為arccos----,

19

2

21.⑴。

4

(2)(-00,--y]；

e~

23

(3)(-oo,—e]o{—e}-

【分析】(1)利用導數求解即可；

(2)由題意可知〃(x)=(x+l)eX-f20在R上恒成立，即+在R上恒成立，設

^(x)=(x+l)ex,xeR,利用導數求出函數R(x)的最小值即可；

(3)求導得g，3="Z勺誓二￡2,XeS0,Sco?，分加一eV0恒成立，及

"?-e、=0有兩實數根，分別求解即可?

【詳解】⑴因為〃x)4(x>0)，所以/，(司=弟1，

所以當xe(0,2)時，/'fx?yO,/(x)單調遞減；

當xe(2,+8)時，/ix??0,〃x)單調遞增，

答案第131頁，共22頁

—0行2

所以當r時，函數取得極小值為〃2)=:，

所以函數的極小值為

4

(2)因為函數〃口)=心一及為R上嚴格增函數，

所以〃'(％)=(x+l)e“T20在R上恒成立，

即ZW(x+l)ex在R上恒成立，

設夕(x)=(x+l)ex,xeR，

則(p'(x)=(x+2)ex，

當x￡(-oo,-2)時，9曾xjOO,9宵xj單調遞減;

當代(—2,+00)時，(p'M?0,9仙J單調遞增;

所以8(X)min=8(一2)=-1，

e

所以14--y'