2024-2025學年湖北省武漢市高三上學期12月聯考數學檢測試題一、單選題1．設全集，集合，集合，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求集合，求出，再與集合求并集.【詳解】由不等式，解得或，∴，∴，∴.故選：D.2．中文“函數”一詞，最早是由清代數學家李善蘭翻譯而得，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，也即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項中是同一個函數的是（）A． B．C． D．和【答案】B【分析】先求函數的定義域，定義域不同則不是同一個函數，定義域相同再看對應關系是否相同，對應關系相同則是同一個函數，對應關系不同則不是同一個函數.【詳解】對于A，和定義域均為R，，故和定義域相同，對應關系不同，和不是同一個函數，故A錯誤；對于B，和定義域均為R，，故和定義域相同，對應關系相同，和是同一個函數，故B正確；對于C，定義域為定義域為，故和定義域不相同，和不是同一個函數，故C錯誤；對于D，定義域為定義域為,故和定義域不相同，和不是同一個函數，故D錯誤；故選：B.3．在復平面內，復數對應的向量分別是，則復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】寫出，利用復數的四則運算法則計算出，確定對應的點的坐標，得到答案.【詳解】由題意得，則，對應的點為，位于第三象限.故選：C4．已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】將分別進行平方，借助的值聯系起它們的關系，從而求解.【詳解】由題知，，則，，則.故選：A5．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據與的大小關系比較即可【詳解】依題意得，，，，所以，故，故選：B.6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據已知條件即可求得，代入即可求得.【詳解】由，則，化簡得，所以，由.故選：B7．已知雙曲線：的左?右焦點分別為，，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當取最小值10時，面積的最大值為（

）A．25 B． C． D．【答案】B【分析】先利用定義判斷，，三點共線時取最值計算得，再結合基本不等式求得的最大值，即得面積的最大值.【詳解】由題意得，故，如圖所示，則，當且僅當，，三點共線時取等號，∴的最小值為，∴，即，當且僅當時，等號成立，而到漸近線的距離，又，故，∴，即面積的最大值為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵在于利用雙曲線的定義將轉移到的最值，即可知三點共線時去最值得到關系，才能再借用基本不等式求的面積的最值.8．設函數，若，且的最小值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的大致圖象，令，結合圖象得到的范圍，再將所求轉化為關于的表達式，構造函數，利用導數即可得解.【詳解】因為，作出的大致圖象，如圖，

令，由圖象可得，因為，所以，即，則，令，則，令，解得，當，即時，，則，單調遞減，則，解得，符合；當，即時，當時，；當時，；故在單調遞減，在單調遞增，則，解得，不符合；綜上，.故選：B.【點睛】方法點睛：本題考查雙變量問題的函數與方程的應用，解決這種題的常見方法是利用換元法將變量轉化為只有1個變量，注意利用數形結合考慮變量的取值范圍.二、多選題9．下列選項中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】由不等式性質判斷A，取特殊值判斷BC，利用作差法判斷D.【詳解】由不等式的性質知，，則，故A正確；當時，，但，故B錯誤；當時，，但，故C錯誤；因為，，所以，，所以，即，故D正確.故選：AD10．函數fx=?sinx2，gx=3sin?(ωx+πA.ω=116B.ω=2C..ω=ABC11．在邊長為6的菱形中，，現將沿折起到的位置，使得二面角是銳角，則三棱錐的外接球的表面積可以是（

）A． B．48π C．50π D．【答案】ACD【分析】作出二面角的平面角，利用球的性質確定外接球球心位置，求出球的半徑，再由角的范圍得出半徑的范圍，即可求出外接球表面積的范圍.【詳解】如圖，由菱形邊長為6，，可知是邊長為6的正三角形，取的中點為，連接，則,所以是二面角的平面角，設，外接球球心為，取分別為靠近的三等分點，連接,則平面，平面，連接，因為，所以在中，，即，所以，由，可知，所以，故，所以.結合選項可知，ACD符合，B不符合.故選：ACD三、填空題12．若直線與直線平行，則實數.【答案】?2【分析】根據兩條直線平行的系數關系列方程組計算求參即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，所以，且且所以.故答案為：.13．已知等差數列（）中，，成等比數列，，則.【答案】25或13；【分析】設公差為，由已知條件求得后，利用等差數列的通項公式可得結論．【詳解】設公差為，因為，，成等比數列，所以，即，所以或，若，則，，則，，，，故答案為：13或25.14．已知拋物線，過B的直線交W于M，N兩點，若四邊形AMCN為等腰梯形，則它的面積為．【答案】【分析】解法一：由幾何性質可知：，設直線MN為，聯立方程結合韋達定理可得，即可得，進而可求面積；解法二：根據題意結合二級結論可知，分析可知點M的橫坐標為1，，即可得結果.【詳解】易知M，N的位置交替不影響結論，不妨令圖像如圖所示以方便研究，解法一：由等腰梯形的性質得：，相似比為，所以，設直線MN為，與拋物線方程聯立，得，所以，，解得，代入得，又因為，由勾股定理可確定，可得，所以AMCN為等腰梯形的面積為；解法二：（二級結論）由題可知，點A、B關于拋物線頂點對稱，且弦MN經過點B，則，（二級結論）又因為AMCN為等腰梯形，所以，則，故，即點M的橫坐標為1，又因為，所以，且，所以AMCN為等腰梯形的面積為；故答案為：.【點睛】方法點睛：在解決直線與圓錐曲線相交，所得弦端點的有關的比例問題時，一般需利用相應的知識，將該關系轉化為端點坐標滿足的數量關系，再將其用橫(縱)坐標的方程表示，從而得到參數滿足的數量關系，進而求解．四、解答題15．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，求的周長.【答案】(1)(2)6【分析】（1）由三角恒等變換得到，得到；（2）由正弦定理和，得到，由（1）知，，由余弦定理得到方程，求出，進而，得到三角形周長.【詳解】（1）由得，，即，故，因為，所以，即，因為B∈0,π，所以，故，因為，所以；（2），由正弦定理得，因為，所以，由（1）知，，由余弦定理得，解得，故，所以，所以的周長為.16．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由等邊三角形三線合一得到，在直角梯形中通過已知邊和角求得長，由勾股定理得到長，再由勾股定理逆定理得到，結合面面垂直，得到平面，然后得到，然后得證平面；（2）由（1）得到三條兩兩垂直的直線，以這三條線建立空間直角坐標系，寫出點坐標和向量坐標，從而求得平面的法向量的坐標，由軸⊥平面直接寫出平面法向量，由空間向量的關系求得面面角的余弦值.【詳解】（1）因為為等邊三角形，為的中點，所以．過作，垂足為，因為底面為直角梯形，，，，，所以，則，由得，所以因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面．因為平面，所以．又，平面，所以平面．（2）由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點，過且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17．若橢圓過拋物線的焦點，且與雙曲線有相同的焦點．(1)求橢圓的方程；(2)不過原點的直線與橢圓交于兩點，當的面積為時，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據拋物線和雙曲線的焦點，結合橢圓的幾何性質即可求解，（2）聯立直線于橢圓方程，根據弦長公式以及點到直線的距離公式，即可由面積求解.【詳解】（1）拋物線的焦點為雙曲線的焦點為依題意可得，，則，所以橢圓的方程為；（2）根據題意，設，聯立直線與橢圓方程，可得，消去并整理可得，，則，，由弦長公式可得，，又點到直線的距離為，依題意，令，當且僅當，即或，此時均滿足，的面積取得最大值為,此時直線l的方程為或即或18．已知函數．(1)求證：；(2)過點作直線與函數的圖象均相切，求實數的值；(3)已知，若存在，使得成立，求實數的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）等價變形所證不等式，再構造函數，利用導數求出最大值即得.（2）設出直線與函數圖象相切的切點，利用導數求出切線方程，再與聯立結合判別式求出值.（3）結合（1）的結論，按分類，借助導數討論得解.【詳解】（1）函數的定義域為，不等式，令，求導得，當時，，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，則，即，因此，所以.（2）依題意，，設直線與函數圖象相切的切點為，則切線的方程為：，又直線過點，于是，整理得，即，令，求導得，即在上單調增，又，因此，切線的方程為，由與函數的圖象相切，得，即，于是，解得，所以實數的值是.（3）①當時，，則，使，符合題意；②當時，，，則，又由（1）知，，因此，不合題意；③當時，令，當時，，則，當時，，則，則，令，求導得，由，得時；由，得時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此，即當時，不合題意，所以的最大值為.19．已知等差數列，若存在有窮等比數列，滿足，其中，則稱數列為數列的長度為的“等比伴隨數列”．(1)數列的通項公式為，寫出數列的一個長度為的“等比伴隨數列”；(2)等差數列的公差為，若存在長度為的“等比伴隨數列”，其中，求的最大值；(3)數列的通項公式為，數列為數列的長度為的“等比伴隨數列”，其中，求的最大值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)(3)【分析】（1）根據“等比伴隨數列”的定義選取等比數列驗證即可；（2）根據“等比伴隨數列”的定義列出不等式組，兩兩聯立然后求解出的取值范圍，則最大值可確定；（3）先分析的情況，當時，將問題轉化為“”，利用導數思想構造函數分別求解出對應最值，由此可確定出關于的不等式，再通過構造關于的函數，分析其單調性和取值正負，從而確定出的最大值.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以數列滿足要求，所以數列的一個長度為的“等比伴隨數列”為（答案不唯一）.（2）由題意可知，，所以，聯立，所以，即，聯立，所以，即，聯立，所以，即，由上可知，，當時，取的前項為，經驗證可知滿足條件，綜上所述，.（3）設數列的公比為，由題意可知，對，當時，恒成立，即對恒成立，即對恒成立，當時，解得，當時，解得，當時，則有，所以