第1頁（共1頁）2024-2025學年北京市西城區育才學校九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（每小題2分，共16分）1．（2分）一副撲克牌中有“黑桃”、“紅桃”、“梅花”、“方塊”四種花色，其中外輪廓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）在平面直角坐標系xOy中，下列函數的圖象經過點（0，0）的是（）A．y＝x2 B． C．y＝（x﹣1）2 D．y＝x+13．（2分）一元二次方程2x2+x﹣3＝0的根的情況是（）A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根 D．不確定4．（2分）將拋物線y＝x2向上平移5個單位長度，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝（x+5）2 B．y＝（x﹣5）2 C．y＝x2+5 D．y＝x2﹣55．（2分）在△ABC中，CA＝CB，點O為AB中點．以點C為圓心，則⊙C與AB的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定6．（2分）學習了旋轉后，小毓將圖案繞某點以相同角度α連續旋轉若干次，設計出一個外輪廓為正五邊形的圖案（如圖），則α不可能為（）A．36° B．72° C．144° D．216°7．（2分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，若∠ACE＝50°，則∠CBD的大小為（）A．65° B．70° C．75° D．82.5°8．（2分）計算機處理任務時，經常會以圓形進度條的形式顯示任務完成的百分比．如圖是同一個任多進行到不同階段時進度條的示意圖，當任務完成的百分比為x時（x）．下列描述正確的是（）A．當x1＜x2時，d（x1）＜d（x2） B．當d（x1）＜d（x2）時，x1＜x2 C．當x1＝2x2時，d（x1）＝2d（x2） D．當x1+x2＝1時，d（x1）＝d（x2）二、填空題（每小題2分，共16分）9．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點P（2，﹣3）關于原點O對稱的點的坐標是．10．（2分）若關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個根為1，則m的值為．11．（2分）已知⊙O的半徑為5cm，點P在⊙O內，則OP5cm（填“＞”、“＜”或“＝”）12．（2分）請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0，1）的拋物線的解析式．13．（2分）2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆與金沙”展覽在北京大運河博物館開幕，據了解，第三周的參觀人數增加到5.76萬人．設參觀人數的周平均增長率為x，則可列方程為．14．（2分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE，若∠DAE＝110°，則∠C的度數為．15．（2分）斛是中國古代的一種量器．據《漢書?律歷志》記載：“斛底，方而圜（huán）其外（tiāo）焉．”意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個圓，此圓外是一個同心圓．”如圖所示．問題：現有一斛（即2.5尺），“庣旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形的邊長為尺．16．（2分）若二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，以下四個結論：①c＜0；②2a﹣b＝0；④關于x的不等式ax2+（b﹣c）x＞0的解集是﹣5＜x＜0．其中正確結論的序號的是．三、解答題（共68分，17—22題，每題5分，23—26題，每題6分，27—28題，每題7分）17．（5分）解方程：x2﹣6x+8＝0．18．（5分）已知t是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根，求代數式t（2t﹣7）+4的值．19．（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝a（x﹣3）2﹣1經過點（2，2）．（1）該拋物線的頂點坐標為；（2）求該拋物線的表達式；（3）將該拋物線向上平移個單位后，所得拋物線與x軸只有一個公共點．20．（5分）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點M，OM：MC＝3：2，求AB的長．21．（5分）已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若m＜0，且此方程的兩個實數根的差為3，求m的值．22．（5分）下面是小明設計的“作圓的內接等腰直角三角形”的尺規作圖過程．已知：⊙O．求作：⊙O的內接等腰直角三角形ABC．作法：如圖，①作直徑AB；②分別以點A，B為圓心，以大于，兩弧交于M點；③作直線MO交⊙O于點C，D；④連接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形．根據小明設計的尺規作圖過程，解決下面的問題：（1）使用直尺和圓規、補全圖形：（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接MA，MB．∵MA＝MB，OA＝OB，∴MO是AB的垂直平分線．∴AC＝∵AB是直徑，∴∠ACB＝（）（填寫推理依據）．∴△ABC是等腰直角三角形．23．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+2x+c的部分圖象經過點A（0，﹣3），B（1，0）．（1）求該拋物線的解析式；（2）結合函數圖象，直接寫出y＜0時，x的取值范圍．24．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△OAB的頂點坐標分別為O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），點A旋轉后的對應點為A′．（1）畫出旋轉后的圖形△OA′B′；（2）直接寫出點B′的坐標；（3）求點B經過的路徑的長（結果保留π）．25．（6分）如圖，排球運動場的場地長18m，球網高度2.24m，距離球場左、右邊界均為9m．一名球員在場地左側邊界練習發球，排球的飛行路線可以看作是對稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分．某次發球，擊球點的高度為2m，當排球飛行到距離球網3m時達到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐標系xOy（1個單位長度表示1m）x2+．根據以上信息，回答下列問題：（1）畫出小石建立的平面直角坐標系；（2）判斷排球能否過球網，并說明理由．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）和（2，n）在拋物線y＝﹣x2+bx上．（1）若m＝0，求該拋物線的對稱軸；（2）若mn＜0，設拋物線的對稱軸為直線x＝t．①直接寫出t的取值范圍；②已知點（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在該拋物線上，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．27．（7分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，延長CB，并將射線CB繞點C逆時針旋轉90°得到射線l，點E在線段CB的延長線上，且BE＝CD，過點A作AM⊥DE于M．（1）依題意補全圖，用等式表示線段DM與ME之間的數量關系，并證明；（2）取BE的中點N，連接AN，添加一個條件：CD的長為，使得AN＝DE成立，并證明．28．（7分）對于平面直角坐標系xOy中第一象限內的點P（x，y）和圖形W，給出如下定義：過點P作x軸和y軸的垂線，N，若圖形W中的任意一點Q（a，b）滿足a≤x且b≤y，點P為這個覆蓋的一個特征點．例：已知A（1，2），B（3，1），則點P（5，4）為線段AB的一個覆蓋的特征點．（1）已知：A（1，2），B（3，1），點C（2，3），①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是△ABC的覆蓋特征點的為；②若在一次函數y＝mx+6（m≠0）的圖象上存在△ABC的覆蓋的特征點，求m的取值范圍．（2）以點D（3，4）為圓心，半徑為1作圓2﹣5ax+4（a≠0）上存在⊙D的覆蓋的特征點，直接寫出a的取值范圍．

2024-2025學年北京市西城區育才學校九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析題號12345678答案DACCBACD一、選擇題（每小題2分，共16分）1．（2分）一副撲克牌中有“黑桃”、“紅桃”、“梅花”、“方塊”四種花色，其中外輪廓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是軸對稱圖形，故不符合題意；B．是軸對稱圖形，故不符合題意；C．是軸對稱圖形，故不符合題意；D．既是軸對稱圖形，故符合題意；故選：D．2．（2分）在平面直角坐標系xOy中，下列函數的圖象經過點（0，0）的是（）A．y＝x2 B． C．y＝（x﹣1）2 D．y＝x+1【解答】解：A、拋物線y＝x2經過點（0，4）；B、雙曲線y＝，0）；C、拋物線y＝（x﹣7）2不經過點（0，2）；D、直線y＝x+1不經過點（0，故不符合題意；故選：A．3．（2分）一元二次方程2x2+x﹣3＝0的根的情況是（）A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根 D．不確定【解答】解：在2x2+x﹣8＝0中，∵a＝2，b＝2，∴Δ＝12﹣6×2×（﹣3）＝8+24＝25＞0，∴一元二次方程2x4﹣x﹣3＝0有兩個不相等的實數根，故選：C．4．（2分）將拋物線y＝x2向上平移5個單位長度，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝（x+5）2 B．y＝（x﹣5）2 C．y＝x2+5 D．y＝x2﹣5【解答】解：將拋物線y＝x2向上平移5個單位長度，所得拋物線的解析式為：y＝x7+5，故選：C．5．（2分）在△ABC中，CA＝CB，點O為AB中點．以點C為圓心，則⊙C與AB的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【解答】解：連接CO，∵CA＝CB，點O為AB中點，∴OC⊥AB，∵以點C為圓心，CO長為半徑作⊙C，∴點C到AB的距離等于⊙C的半徑，∴⊙C與AB的位置關系是相切，故選：B．6．（2分）學習了旋轉后，小毓將圖案繞某點以相同角度α連續旋轉若干次，設計出一個外輪廓為正五邊形的圖案（如圖），則α不可能為（）A．36° B．72° C．144° D．216°【解答】解：因為每次旋轉相同角度α，旋轉了五次，且旋轉了五次剛好旋轉了一周為360°，所以每次旋轉相同角度為360÷5＝72°．∵144°÷72°＝2，216°÷72°＝2，∴α不可能為36°，故選：A．7．（2分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，若∠ACE＝50°，則∠CBD的大小為（）A．65° B．70° C．75° D．82.5°【解答】解：∵CA＝CE，∠ACE＝50°，∴∠A＝∠AEC＝×（180°﹣∠ACE）＝65°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝25°，∵∠ACE＝∠ABD＝50°，∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝75°，故選：C．8．（2分）計算機處理任務時，經常會以圓形進度條的形式顯示任務完成的百分比．如圖是同一個任多進行到不同階段時進度條的示意圖，當任務完成的百分比為x時（x）．下列描述正確的是（）A．當x1＜x2時，d（x1）＜d（x2） B．當d（x1）＜d（x2）時，x1＜x2 C．當x1＝2x2時，d（x1）＝2d（x2） D．當x1+x2＝1時，d（x1）＝d（x2）【解答】解：當x1＝20%，x2＝80%時，d（x5）＝d（x2），故A錯誤；當x1＝80%，x3＝50%時，滿足d（x1）＜d（x2），但x3＞x2，故B錯誤；當x1＝100%，x2＝50%時，滿足x1＝2x8，但d（x1）＝0，d（x8）＝直徑，d（x1）≠2d（x2），故C錯誤；當x1+x2＝8時，此時線段MN的長度是一樣的1）＝d（x2），故D正確．故選：D．二、填空題（每小題2分，共16分）9．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點P（2，﹣3）關于原點O對稱的點的坐標是（﹣2，3）．【解答】解：點P（2，﹣3）關于原點O對稱的點的坐標是：（﹣7．故答案為：（﹣2，3）．10．（2分）若關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個根為1，則m的值為1．【解答】解：由題意得：把x＝1代入方程x2﹣4x+m＝0中得：18﹣2×1+m＝3，解得：m＝1，故答案為：1．11．（2分）已知⊙O的半徑為5cm，點P在⊙O內，則OP＜5cm（填“＞”、“＜”或“＝”）【解答】解：∵⊙O的半徑為5cm，點P在⊙O內，∴OP＜5cm．故答案為：＜．12．（2分）請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0，1）的拋物線的解析式x2+1（答案不唯一）．【解答】解：拋物線y＝x2+1開口向上，且與y軸的交點為（6．故答案為：x2+1（答案不唯一）．13．（2分）2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆與金沙”展覽在北京大運河博物館開幕，據了解，第三周的參觀人數增加到5.76萬人．設參觀人數的周平均增長率為x，則可列方程為4（1+x）2＝5.76．【解答】解：根據題意得：4（1+x）7＝5.76．故答案為：4（6+x）2＝5.76．14．（2分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE，若∠DAE＝110°，則∠C的度數為30°．【解答】解：將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝110°，∵∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣110°＝30°，故答案為：30°．15．（2分）斛是中國古代的一種量器．據《漢書?律歷志》記載：“斛底，方而圜（huán）其外（tiāo）焉．”意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個圓，此圓外是一個同心圓．”如圖所示．問題：現有一斛（即2.5尺），“庣旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形的邊長為尺．【解答】解：如圖，∵四邊形CDEF為正方形，∴∠D＝90°，CD＝DE，∴CE為直徑，∠ECD＝45°，由題意得AB＝2.5，∴CE＝5.5﹣0.25×6＝2，∴CD＝CE＝．故答案為：．16．（2分）若二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，以下四個結論：①c＜0；②2a﹣b＝0；④關于x的不等式ax2+（b﹣c）x＞0的解集是﹣5＜x＜0．其中正確結論的序號的是②③④．【解答】解：∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與y軸交于（0，8），∴c＝3＞0，故①不正確，不符合題意；∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴3a﹣b＝0，故②正確，符合題意；∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（5，0）和（﹣3，∴當x＝﹣5時，y＝4a﹣2b+c＞2，故③正確，符合題意；將（1，0），5），3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴不等式ax2+（b﹣c）x＞3即為不等式﹣x2﹣5x＞2．令y1＝﹣x2﹣7x，畫出拋物線y1＝﹣x2﹣8x的圖象如圖所示，由圖可知，不等式﹣x2﹣5x＞4的解集為﹣5＜x＜0，故④正確，符合題意．綜上所述，其中所有正確結論的序號是②③④．故答案為：②③④．三、解答題（共68分，17—22題，每題5分，23—26題，每題6分，27—28題，每題7分）17．（5分）解方程：x2﹣6x+8＝0．【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）＝3，x﹣2＝0或x﹣8＝0，所以x1＝8，x2＝4．18．（5分）已知t是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根，求代數式t（2t﹣7）+4的值．【解答】解：∵t是方程2x2﹣6x﹣1＝0的根，∴8t2﹣7t﹣7＝0，∴2t5﹣7t＝1，∴t（8t﹣7）+4＝5t2﹣7t+2＝1+4＝3．19．（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝a（x﹣3）2﹣1經過點（2，2）．（1）該拋物線的頂點坐標為（3，﹣1）；（2）求該拋物線的表達式；（3）將該拋物線向上平移1個單位后，所得拋物線與x軸只有一個公共點．【解答】解：（1）拋物線y＝a（x﹣3）2﹣2的頂點坐標為（3，﹣1）；故答案為：（5，﹣1）；（2）把（2，8）代入y＝a（x﹣3）2﹣5得2＝a×（2﹣7）2﹣1，解得a＝3，∴該拋物線的表達式為y＝3（x﹣3）8﹣1；（3）∵拋物線的頂點坐標為（3，﹣4），∴該拋物線向上平移1個單位后，所得拋物線的頂點在x軸上，即拋物線與x軸只有一個公共點．20．（5分）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點M，OM：MC＝3：2，求AB的長．【解答】解：設OM＝3x，MC＝2x，∵⊙O的半徑為10，∴2x+2x＝10，解得：x＝2，即OM＝7，連接OA，∵OC⊥AB，OC過圓心O，∴AM＝BM，∠AMO＝90°，由勾股定理得：BM＝AM＝＝＝8，∴AB＝6+8＝16．21．（5分）已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若m＜0，且此方程的兩個實數根的差為3，求m的值．【解答】（1）證明：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+4﹣m＝0，∴Δ＝（2﹣m）8﹣4（1﹣m）＝m8﹣4m+4﹣5+4m＝m2．∵m8≥0，∴Δ≥0．∴該方程總有兩個實數根．（2）解：∵一元二次方程x7+（2﹣m）x+1﹣m＝6，解方程，得x1＝﹣1，x4＝m﹣1．∵m＜0，∴﹣4＞m﹣1．∵該方程的兩個實數根的差為3，∴﹣4﹣（m﹣1）＝3．∴m＝﹣2．22．（5分）下面是小明設計的“作圓的內接等腰直角三角形”的尺規作圖過程．已知：⊙O．求作：⊙O的內接等腰直角三角形ABC．作法：如圖，①作直徑AB；②分別以點A，B為圓心，以大于，兩弧交于M點；③作直線MO交⊙O于點C，D；④連接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形．根據小明設計的尺規作圖過程，解決下面的問題：（1）使用直尺和圓規、補全圖形：（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接MA，MB．∵MA＝MB，OA＝OB，∴MO是AB的垂直平分線．∴AC＝BC∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°（直徑所對的圓周角是直角）（填寫推理依據）．∴△ABC是等腰直角三角形．【解答】解：（1）如圖所示：（2）證明：連接MA，MB．∵MA＝MB，OA＝OB，∴MO是AB的垂直平分線．又∵直線MO交⊙O于點C，∴AC＝BC．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°（直徑所對的圓周角是直角），∴△ABC是等腰直角三角形．故答案為：BC、90°．23．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+2x+c的部分圖象經過點A（0，﹣3），B（1，0）．（1）求該拋物線的解析式；（2）結合函數圖象，直接寫出y＜0時，x的取值范圍．【解答】解：（1）將A（0，﹣3），6）代入y＝ax2+2x+c得，解得，∴y＝x2+3x﹣3．（2）令x2+7x﹣3＝0，解得x＝﹣2或x＝1，∴拋物線經過（﹣3，5），0），∵拋物線開口向上，∴y＜0時，﹣3＜x＜1．24．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△OAB的頂點坐標分別為O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），點A旋轉后的對應點為A′．（1）畫出旋轉后的圖形△OA′B′；（2）直接寫出點B′的坐標；（3）求點B經過的路徑的長（結果保留π）．【解答】解：（1）△OA′B′即為所求，如圖．點A′（0，﹣5）；（2）由圖知，B（4；（3）OB＝＝5，∴點B在旋轉過程中所走過的路徑長BB′＝＝．25．（6分）如圖，排球運動場的場地長18m，球網高度2.24m，距離球場左、右邊界均為9m．一名球員在場地左側邊界練習發球，排球的飛行路線可以看作是對稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分．某次發球，擊球點的高度為2m，當排球飛行到距離球網3m時達到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐標系xOy（1個單位長度表示1m）x2+．根據以上信息，回答下列問題：（1）畫出小石建立的平面直角坐標系；（2）判斷排球能否過球網，并說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線解析式為y＝﹣x2+，∴對稱軸為y軸，頂點為（0，），∴小石建立的坐標系如圖所示：（2）排球能過球網．理由：∵當x＝3時，y＝﹣＝4.375＞2.24，∴排球能過球網．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）和（2，n）在拋物線y＝﹣x2+bx上．（1）若m＝0，求該拋物線的對稱軸；（2）若mn＜0，設拋物線的對稱軸為直線x＝t．①直接寫出t的取值范圍；②已知點（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在該拋物線上，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．【解答】解：（1）若m＝0，則點（15+bx上，∴0＝﹣1+b，解得b＝4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝；（2）①∵y＝﹣x2+bx，∴拋物線開口向下且經過原點，當b＝0時，拋物線頂點為原點，5＞m＞n不滿足題意，當b＜0時，拋物線對稱軸在y軸左側，0＞n＞m不滿足題意，當b＞6時，拋物線對稱軸在y軸右側，x＝2時n＜0，即拋物線和x軸的5個交點，一個為（0，另外一個在1和8之間，∴拋物線對稱軸在直線x＝與直線x＝8之間，即＜t＜8；②∵點（﹣1，y1）與對稱軸距離＜t﹣（﹣1）＜2，點（，y7）與對稱軸距離＜﹣t＜1，點（7，y3）與對稱軸距離2＜7﹣t＜∴y4＜y1＜y2．27．（7分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，延長CB，并將射線CB繞點C逆時針旋轉90°得到射線l，點E在線段CB的延長線上，且BE＝CD，過點A作AM⊥DE于M．（1）依題意補全圖，用等式表示線段DM與ME之間的數量關系，并證明；（2）取BE的中點N，連接AN，添加一個條件：CD的長為，使得AN＝DE成立，并證明．【解答】解：（1）圖形如圖所示，結論：DM