Page232024-2025學年高三數學上學期期末考試卷文科試題一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1記全集，設集合則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題只要在數軸上畫出相應的區間，再求交集即可.【詳解】對于集合A：，∴即是或；對于集合B：，即是或者；在數軸上作圖如下：故選：A.2.已知為虛數單位，且復數，則復數的虛部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化簡求得，由此求得的虛部.【詳解】，，所以的虛部是.故選：D3.已知函數，若，，，則，，的大小關系正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數的定義域，推斷函數為偶函數，再對函數求導推斷出函數在上單調遞增，然后作差比較的大小，可得，從而可比較出，，的大小【詳解】由題可知：的定義域為，且，則為偶函數，，當時，，在上單調遞增.又由所以，，故.故選：B【點睛】關鍵點點睛：此題考查利用函數的單調性比較大小，考查導數的應用，考查對數運算性質的應用，考查了基本不等式的應用，解題的關鍵是推斷函數的奇偶性，再利用導數推斷函數的單調性，然后利用單調性比較大小，屬于中檔題4.為慶祝中國共產黨成立100周年，安康市某學校開展“唱紅色歌曲，誦紅色經典”歌詠競賽活動，甲、乙兩位選手經驗了7場初賽后進入決賽，他們的7場初賽成果如莖葉圖所示．下列結論正確的是（）A.甲成果的極差比乙成果的極差大B.甲成果的眾數比乙成果的中位數大C.甲成果的方差比乙成果的方差大D.甲成果的平均數比乙成果的平均數小【答案】D【解析】【分析】對于A，分別求出極差推斷，對于B，求出甲的眾數和乙成果的中位數推斷，對于C，依據數據的離散程度推斷，對于D，分別求出平均數推斷即可.【詳解】甲成果的極差為，乙成果的極差為，故A錯誤；甲成果的眾數為85分，乙成果的中位數為87分，故B錯誤；由莖葉圖的數據的分布規律，可判定甲成果的數據更集中，乙成果的數據更分散，所以甲成果的方差比乙成果的方差小，故C錯誤；甲成果的平均數為分，乙成果的平均數為分，故D正確．故選：D5.拉面是許多食客喜好的食物．師傅在制作拉面的時候，將面團先拉到肯定長度，然后對折（對折后面條根數變為原來的2倍），再拉到上次面條的長度．每次對折后，師傅都要去掉捏在一只手里的面團．假如拉面師傅將面團拉成細絲面條，每次對折后去掉捏在手里的面團都是．第一次拉的長度是，共拉了7次，則最終每根長的細絲面條的質量（假定全部細絲面條粗線勻稱，質量相等）是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據已知求得拉面的總質量和拉面的根數可得選項．【詳解】這團面共拉7次，其中對折了6次，最終全部細絲拉面的總質量是，拉了7次后，共有根長度為的細絲面條，每根這樣的面條質量為．故選：B．6.若實數滿意約束條件，則的最大值為（）A.0 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】畫出不等式組表示平面區域，將轉化為斜截式，即，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，把最優解的坐標代入目標函數得結論.【詳解】畫出約束條件表示的可行域，如圖所示，將轉化為斜截式，即，平移直線，由圖可知當直經過點A時，直線在y軸上的截距最大，由，可得，所以的最大值為.故選：C.【點睛】方法點睛：本題主要考查線性規劃求目標函數的最值，求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最終通過的頂點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值，屬于基礎題.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是圓與位于軸上方的兩個交點，且，則雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】連接,由雙曲線的定義可得:,,由,可得,在中,可得,在中,可得,由，可得,即有,可得,化為,得,解得,負值舍去,故選C.點睛:本題考查雙曲線的定義與離心率,屬于中檔題目.解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題,其關鍵是確立一個關于的方程或者不等式,再依據的等量關系消掉得到的關系式即可,建立方程或者不等式,要充分利用橢圓或雙曲線的幾何性質,點的坐標的范圍等.8.設首項為1的等比數列的前n項和為，且．則（）A.200 B.190 C.180 D.170【答案】B【解析】【分析】由求得公比,寫出通項公式,再利用等比數列的性質結合對數運算求解.【詳解】由題意，由得：，解得．∴．∵，∴．故選：B．9.在三棱錐中，，，.若三棱錐的體積為1，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件可知和為以為斜邊的直角三角形，則的中點為外接球的球心.過做平面，垂足為，由三棱錐的體積可求出高，依據三角形全等可證明在的角平分線上，即，由線面垂直的定理可知，從而可計算，勾股可知的長，從而計算外接球的半徑和表面積.【詳解】解：因為，所以和為以為斜邊的直角三角形，則的中點到各個頂點的距離都相等，則為外接球的球心.即為直徑.過做平面，垂足為，連結，，則，解得：.，，，，則分別為在平面內的射影，所以有，又，為公共邊，所以，則，所以在的角平分線上，，，，，所以有平面，平面，則有，因為，，所以，則，則故外接球的表面積為.故選：D.【點睛】思路點睛：求三棱錐的外接球的球心位置，若三棱錐全部頂點都在某一邊為斜邊的三角形上，則斜邊的中點為球心，計算斜邊的長度即可求出半徑.10.我國古代有著輝煌的數學探討成果，其中《算經十書》是指漢?唐一千多年間的十部聞名的數學著作，這些數學著作曾經是隋唐時代國子監算學科的教科書.十部書的名稱是：《周髀算經》?《九章算術》?《海島算經》?《張丘建算經》?《夏侯陽算經》?《五經算術》?《緝古算經》?《綴術》?《五曹算經》?《孫子算經》.《算經十書》標記著中國古代數學的高峰.《算經十書》這10部專著，有著非常豐富多彩的內容，是了解我國古代數學的重要文獻.這10部專著中據說有6部成書于魏晉南北朝時期，其中《張丘建算經》?《夏侯陽算經》就成書于魏晉南北朝時期.某中學擬從《算經十書》專著中的魏晉南北朝時期的6部算經中任選2部作為“數學文化”進行推廣學習，則所選2部專著中至少有一部是《張丘建算經》?《夏侯陽算經》的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將《張丘建算經》?《夏侯陽算經》分別記為a，b，其余的4部算經依次記為c，d，e，f，利用列舉法求得基本領件的總數和所求事務所包含的基本領件的個數，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【詳解】將《張丘建算經》?《夏侯陽算經》分別記為a，b，其余的4部算經依次記為c，d，e，f，從上述6部算經中任選2部算經，全部的基本領件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15種狀況，其中，事務“《張丘建算經》?《夏侯陽算經》至少有1部被選中”所包含的基本領件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共9種狀況，由古典摡型的概率計算公式，可得所求事務的概率為.故選：B.11.函數的大致圖像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由定義域推斷函數的奇偶性，從而可推斷AB選項，當當x>0且x→0時，推斷函數值的符號，從而可選出正確答案.【詳解】解析：定義域為，函數為非奇非偶函數，解除A，B，當x>0且x→0時，f(x)<0，解除C，故選:D.12.執行如圖所示的程序框圖，若輸入的為區間內隨意一個數，則輸出的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依據題意可得函數，分段探討其值域即可求解.【詳解】由題意知，，當時，，，因為，當且僅當，即時取等號．所以，當時，是增函數，．因此，的值域是．故選：D．二、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知函數若函數恰有5個不同的零點，則實數a的取值范圍是___________.【答案】.【解析】【分析】運用導數探討函數當x>1時，函數圖像大致狀況，結合函數零點的定義，運用換元法、數形結合思想進行求解即可.【詳解】當x>1時，)，，，所以在(1，e)上單調遞增，在(e，+∞)上單調遞減，，且當x→+∞時，所以x軸為曲線的水平漸近線；當時，，所以在上單調遞減，在(0，1)上單調遞增，且.由此作圖，圖像如圖，設，則由得，若函數恰有5個不同的零點，則關于x的方程恰有5個不同的實根，則結合函數的圖像及直線得恰有2個不等的實根，有2個不等的實根，有3個不等的實根，函數恒過，當直線過時，斜率∴.故答案為：【點睛】方法點睛：解決函數零點問題常常用到的方程就是數形結合，用導數探討函數的性質.14.設，向量，若且，則的值是________．【答案】3【解析】【分析】由和，利用平面對量的數量積和模的坐標運算，分別求得m，n即可.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，即，所以．故答案為：3．15.過雙曲線的下焦點作軸的垂線，交雙曲線于兩點，若以為直徑的圓恰好過其上焦點,則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【詳解】過雙曲線的下焦點作軸的垂線，交雙曲線于，兩點，則，以為直徑的圓恰好過其上焦點，可得：，∴，可得，解得，舍去，故答案為.16.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且，點為其外接圓的圓心.已知，則當角取到最大值時的內切圓半徑為________.【答案】【解析】【分析】取的中點D，則可得，由余弦定理和基本不等式可得答案.【詳解】設中點為，則，所以，∴，∴，由得角為銳角，故，當且僅當，時最小，又遞減，故此時最大.此時，恰有，即為直角三角形，∴.故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要留意其必需滿意的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必需為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必需把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必需驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最簡單發生錯誤的地方.三、解答題（本大題共6小題，每小題12分，共60分．）17.中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若邊上的中線，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據，利用正弦定理轉化為，再利用兩角和的正弦公式求解；（2）中，由余弦定理得到，然后分別在和中，利用余弦定理結合，兩式相加得到，聯立求得c，再利用三角形面積公式求解.【小問1詳解】解；因為，所以，所以，即，因為，所以，所以；【小問2詳解】在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，兩式相加得②，由①②得，所以.18.某市志愿者的身影活躍在各個角落，他們或主動抗疫，或抗災救險……為社會發展做出了突出貢獻．現隨機抽取了男女志愿者共200名，他們年齡（單位：歲）都在區間上，并繪制了女志愿者年齡分布直方圖．如圖，在這200名志愿者中，年齡在上的女志愿者是15名，年齡在上的女志愿者人數是男志愿人數的．（1）用分層抽樣的方法從年齡在區間，上的女志愿者中抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，抽取的3人中，有人年齡在區間上，求的分布列和數學期望；（2）完成下面列聯表，并推斷是否有95%的把握認為志愿者的年齡分布與性別有關．年齡小于40歲年齡不小于40歲合計男女合計附：參考公式和檢驗臨界值表：，．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）分布列見解析；期望為；（2）填表見解析；有95%的把握認為志愿者的年齡分布與性別有關．【解析】【分析】（1）依據直方圖及已知數據求得女性在各年齡段的人數，可得兩年齡段抽取的人數分別為4和3，隨機變量，分別計算出概率得概率分布列，由期望公式計算出期望．（2）結合直方圖計算出列聯表中各數據，然后計算出后可得結論．【詳解】（1）由條件，抽取的女志愿者人數為，其中年齡在上的有人，年齡在上的有人，用分層抽樣的方法從年齡在這兩個區間中抽取7人，有4人年齡在區間上，3人在區間上，所以．，，，．∴的分布列為0123∴．（2）由（1）知，抽取的女志愿者中，年齡在上的有人，所以抽取的男志愿者中，年齡在上的有人，列聯表數據如下表：年齡小于40歲年齡不小于40歲合計男4060100女5545100合計95105200∴，所以，有95%的把握認為志愿者的年齡分布與性別有關．【點睛】關鍵點點睛：本題考查頻率分布直方圖，超幾何分布，隨機變量的分布列與數學期望，檢驗．考查考生數據分析和數學運算等數學核心素養．解題關鍵是駕馭數據分析方法，由頻率分布直方圖計算出各年齡段女性數據，然后得出男性數據，完成求解．獨立性檢驗步驟：（1）數據分析得出列聯表，（2）依據列聯表計算，（3）與臨界值比較得出結論．19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=BC=CD=BD=2，AB=AD=，AC與BD交于點O，點M在線段PA上，且PM=3MA.（1）證明：平面；（2）求三棱錐P-MCD的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】(1)由已知條件求出的長，從而可得，進而可知，結合線面平行的判定定理，從而可證明平面.(2)在中結合余弦定理求出，從而可知CD⊥AD，依據線面垂直的性質和判定可得CD⊥平面PAD，從而求出三棱錐P-MCD的高，進而可求出三棱錐的體積.【詳解】解：（1）由已知可得△ABC≌△ADC，∴AC⊥BD且O為BD的中點，由BC=CD=BD=2，AB=AD=，得OA=，OC=，∴.∴OM∥PC，又OM平面PBC，PC平面PBC，∴OM∥平面PBC.（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.在△ABD中，AB=AD=，BD=2，由余弦定理得，又∠CDB=60°，∴∠CDA=90°，即CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.∴=.【點睛】關鍵點睛:本題考查了線面平行的判定，考查了線面垂直的性質，考查了三棱錐體積的求解.本題的關鍵是求體積時，證明線面垂直從而找出三棱錐的高.20.如圖，已知橢圓（）的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點，為頂點的三角形的周長為，一雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，且它的實軸長等于虛軸長，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，其中、在軸的同一側．（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；（2）設直線、的斜率分別為、，證明；（3）是否存在題設中的點，使得．若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在點的坐標為．【解析】【分析】（1）依據離心率，及三角形周長，即可求得a，c的值，利用，即可求得b的值，進而可得橢圓方程；依據實軸長等于虛軸長，可設雙曲線方程為（），依據題意，可求得m的值，即可得雙曲線方程.（2）設，，，則，，即可得的表達式，又在雙曲線上，可得，代入表達式，即可得證.（3）設方程為，聯立直線與橢圓方程，利用弦長公式，可得的表達式，同理可得的表達式，設夾角為，依據條件，可求得的值，利用數量積公式，代入數據，即可求得P點坐標.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，由題意知；，∵，∴，．又∵，∴．故橢圓的標準方程為．由題意設等軸雙曲線的標準方程為（），∵等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，∴，∴雙曲線的標準方程為．（2）設，，，則，．∵點在雙曲線上，所以．∴，即．（3）設方程為，的方程為，設，，則，，，所以，同理，，設夾角為，即由題意得，所以，因為所以，又，所以，所以，則，即存在點的坐標為．【點睛】本題考查橢圓、雙曲線標準方程的求法、弦長公式的應用、數量積公式的應用等學問，一般將直線方程與橢圓聯立，利用韋達定理求出、，代入弦長公式，進行求解，考查分析理解，化簡求值的實力，屬中檔題.21.已知函數．（1）試探討函數的零點個數；（2）若當時，關于x的方程有且只有一個實數解，求實數a的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，詳細見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由已知有，當明顯有一個零點，當時由的符號探討單調性，進而依據極值與0的關系，結合零點存在性定理，即可知的零點個數；（2）由題設，若，若，再由導數探討在上的單調性，依據，探討、，構造中間函數探討單調性，結合零點存在性定理確定實數解的個數，進而求參數a的范圍.【詳解】（1）依據題意，得，有：①若，則，此時函數在R上單調遞增，又，故函數只有一個零點；②若，令，則，∴有，此時在上單調遞增，有，此時在上單調遞減，∴，（ⅰ）當，即時，則，此時只有一個零點；（ⅱ）當時，即時，則，又時，﹔時，，由零點存在定理可得：此時函數在R上有兩個零點．綜上，當或時，函數只有一個零點；當時，函數有兩個零點．（2）設，，設，，由得，，，∴，在上單調遞增，即單調遞增，，①當，即時，時，，在單調遞增，又，此時關于x的方程有且只有一個實數解，②當，即時，由（1）知，∴，則，又，故，當時，單調遞減，又，∴在內，關于x的方程有一個實數解1，當時，單調遞增，且，令，若，故在單調遞增，則，∴時，在單調遞增，故，即，又，由零點存在定理可知，，，∴在，關于x的方程有兩個實數解，綜上，當時關于x的方程有且只有一個實數解，則．【點睛】關鍵點點睛：（1）探討參數，利用導數探討單調