第=page11頁，共=sectionpages11頁安徽省“縣中聯盟”2025屆高三第一學期12月數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.命題“?x∈R，x2?4x?5<0”的否定是(

)A.?x∈R，x2?4x?5≥0 B.?x?R，x2?4x?5≥0

C.?x?R，x22.已知集合{A=x|x2?2x?8<0}，B={y|y=?x2A.(?2,1] B.(?2,1) C.(?4,1] D.(?4,1)3.已知平面α，直線l，m，且l?α，m?α，則“m/?/l”是“m/?/α”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知角α(α≠kπ2,k∈Z)的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點P(tanα,4)A.92 B.98 C.92或12 5.已知向量a=(3,5)，且向量a與b的夾角為A.1 B.2 C.2 D.6.已知兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別是Sn，TA.34 B.914 C.7117.如圖，在扇形OAB中，半徑|OA|=|OB|=2，弧長為5π6，點P是弧AB上的動點，點M，N分別是半徑OA，OB上的動點，則△PMN周長的最小值是(

)

A.6+3 B.4 C.8.已知定義域為(0,+∞)的函數?(x)滿足：?x，y>0，?(xy)=?(x)+?(y)?2，且當x>1時，?(x)>2，若a=ln109，b=110，A.?(a)<?(b)<?(c) B.?(b)<?(a)<?(c)

C.?(c)<?(a)<?(b) D.?(a)<?(c)<?(b)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某超市隨機抽取了當天100名顧客的消費金額作為樣本，并分組如下：[0,50)，[50,100)，[100,150)，?，[250,300](單位：元)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是(

)

A.若該超市當天總共有600名顧客，則消費金額在[100,150)(單位：元)內的顧客約有180人

B.若每組數據以區間中點值為代表，則樣本中消費金額的平均數是145元

C.若用樣本估計總體，則該超市當天消費金額的中位數是100.8元

D.現從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人做進一步調查，則抽到的2人的消費金額都不少于50元的概率是210.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則A.ω+φ=4π3

B.f(1?x)=f(x?23)

C.函數f(x)的圖象與直線y=111.某興趣小組制作了一個直三棱柱ABC?A1B1C1容器(容器壁厚度忽略不計)，其中AB=3，BC=5A.若四棱錐A1?BCC1B1的體積為1033，則AA1=43

B.若三棱柱ABC?A1B1C1的外接球的表面積為208π3，則三棱柱ABC?A1B1C1的側面積為30

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知z=42+3i，則|z?31313.已知隨機變量X～N(14,σ2)，且正數a，b滿足P(X≤a14.已知實軸長為4的雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的漸近線為x±3y=0，F1，F2分別為C的上、下焦點，過點F2的直線四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖1，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，將△BCD沿著BD翻折到△PBD的位置，得到三棱錐P?ABD，且PD⊥平面ABP，如圖2所示．(1)求證：平面APD⊥平面ABD;(2)求直線AB與平面BPD所成角的正弦值．16.(本小題15分)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m=(a?b,sinC)，n(1)求A的大小;(2)D是邊BC上一點且AD平分∠BAC，若AD=43，△ABC的面積是2317.(本小題15分)已知函數f(x)與g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且f(x)+g(x)=e(1)求函數f(x)與g(x)的解析式;(2)若對于?t∈[?π2,0]，不等式f(kcos18.(本小題17分)已知數列{an}滿足an+2=6(1)證明：數列{an+1(2)求數列{an(3)若數列{2an+3n+1anan+119.(本小題17分)法國著名數學家拉格朗日給出一個結論：若函數f(x)在閉區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，在開區間(a,b)上都有導數，則在區間(a,b)上存在實數t，使得f(b)?f(a)=f′(t)(b?a)，這就是拉格朗日中值定理，其中t稱為f(x)在區間[a,b]上的“拉格朗日中值”.已知函數f(x)=x3?3x2(1)利用拉格朗日中值定理求函數f(x)在[1,3]上的“拉格朗日中值”;(2)利用拉格朗日中值定理證明：函數g(x)上任意兩點連線的斜率不小于2e?1;(3)針對函數?(x)，請證明拉格朗日中值定理成立．

參考答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.C

6.B

7.D

8.B

9.BD

10.ABD

11.ABD

12.1

13.9

14.153或15.(1)證明：因為PD⊥平面ABP，AB?平面ABP，所以AB⊥PD，

又AB⊥AD，AD∩PD=D，AD，PD?平面APD，所以AB⊥平面APD，

因為AB?平面ABD，所以平面ABD⊥平面APD．

(2)解：以點A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，過點A且垂直于平面ABD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由(1)知z軸在平面APD內．

因為PD⊥平面ABP，AP?平面ABP，所以PD⊥AP，

又PD=1，AD=3，所以AP=2，所以P(0,233,63)，

又A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,3,0)，

所以AB=(1,0,0)，BP=(?1,233,63)，BD=(?1,3,0)．

設平面BPD的法向量是m=(x,y,z)，

則m?BP=0m?BD=0，即?x+16.解：(1)因為m/?/n，

所以(b+c)sinC=(a?b)(sinA+sinB)，

由正弦定理，得(b+c)c=(a?b)(a+b)，

所以b2+c2?a2=?bc，

由余弦定理，得cosA=b2+c2?a22bc=?bc2bc=?12，

因為A∈(0,π)，所以A=2π3．

(2)因為△ABC的面積是23，

所以12bcsin∠BAC=23，

即3417.解：(1)由題意可知，f(x)+g(x)=ex，?①，

f(?x)+g(?x)=?f(x)+g(x)=e?x，?②，

?①??②，得2f(x)=ex?e?x，

所以f(x)=ex?e?x2，

?①+?②，得2g(x)=ex+e?x，

所以g(x)=ex+e?x2．

(2)若?t∈[?π2,0]，f(kcost)+f(et?sint)>0恒成立，

則f(kcost)>?f(et?sint)恒成立，

因為函數f(x)在R上是奇函數，

所以?f(et?sint)=f(?et+sint)，

即f(kcost)>f(?et+sint)對?t∈[?π2,0]恒成立．

因為f′(x)=ex+e?x2>0，所以函數f(x)在R上是增函數，

所以kcost>?et+sint對?t∈[?π2,0]恒成立，18.解：(1)證明：因為an+2=6an+1?9an，

所以an+2?3an+1=3(an+1?3an)，

因為a1=3，a2=18，所以a2?3a1=9，

所以an+2?3an+1an+1?3an=3，

所以數列{an+1?3an}是以9為首項，3為公比的等比數列．

(2)解：由(1)，得an+1?3an=9×3n?1=3n+1，

所以an+13n+1?an3n=1，又a13=1，

所以數列{an3n}是以1為首項，1為公差的等差數列，

所以an3n=n，即an=n×3n．

(3)證明：2an+3n+1anan+1=2n×3n+3n+119.(1)解：f(3)=6，f(1)=0，f′(x)=3x2?6x+2，

由拉格朗日中值定理，得在區間(1,3)上存在實數t，使得f(3)?f(1)=2f′(t)，

即2(3t2?6t+2)=6，解得t=1+233或t=1?233．

因為t∈(1,3)，所以t=1+233，

所以函數f(x)在[1,3]上的“拉格朗日中值”為1+233．

(2)證明：由g(x)=x3?3x2+2x+ex?e2?x，

得g′(x)=3x2?6x+2+ex+e2?x．

在g(x)的圖象上任取兩點A(a,g(a))，B(b,g(b))，a≠b，

根據拉格朗日中值定理，得存在t∈(a,b)，使得g′(t)=g(b)?g(a)b?a．

因為g′(t)=3t2?6t+2+et+e2?t

≥3(t?1)2?1+2et×e2?t

=3(t?1)2?1+2e≥2e?1，

當且僅當t=1時兩個等號同時成立，

所以g′(t)