第1頁（共1頁）2024-2025學年上學期山東高二數學期末典型卷1一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022春?高坪區校級期中）數列，…的一個通項公式為（）A． B． C． D．2．（5分）（2023秋?東光縣月考）已知數列{an}是等比數列，若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，則a2024＝（）A．22023﹣1 B．22023 C．22024﹣1 D．220243．（5分）（2019秋?三明期中）已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．y＝±2x4．（5分）（2024?江西模擬）已知橢圓的上頂點、右頂點、左焦點恰好是等腰三角形的三個頂點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．（5分）（2023秋?赤峰期中）設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B（4，0），若|AF|＝|BF|，則|AB|＝（）A． B． C． D．6．（5分）（2022春?南通期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數的一種古老的方法．這種方法是依次寫出2和2以上的自然數，留下頭一個2不動，剔除掉所有2的倍數；接著，在剩余的數中2后面的一個數3不動，剔除掉所有3的倍數；接下來，再在剩余的數中對3后面的一個數5作同樣處理；……，依次進行同樣的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素數．在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到30的全部素數過程中剔除的所有數的和為（）A．333 B．335 C．337 D．3417．（5分）（2023秋?定邊縣校級期中）已知數列{an}滿足，若an＞an+1，則實數k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． D．8．（5分）（2023秋?杭州期末）已知雙曲線左，右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0），若雙曲線左支上存在點P使得，則離心率的取值范圍為（）A．[6，+∞） B．（1，6] C．[2，+∞） D．[4，+∞）二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2023秋?鹽田區校級期末）已知Sn為等差數列{an}的前n項和，若S2023＜0，S2024＞0，則（）A．使an＞0的n的最小值為2024 B．|a1012|＜|a1013| C．當Sn取最小值時，n＝1012 D．為單調遞減的數列（多選）10．（5分）（2023秋?牡丹江校級期中）已知曲線C：1（m∈R），則下列結論正確的是（）A．若m＜0，則C表示雙曲線 B．C可能表示一個圓 C．若C是橢圓，則其長軸長為 D．若m＝1，則C中過焦點的最短弦長為（多選）11．（5分）（2023秋?福州期中）已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓上，若方程mx﹣y+5m＝0所表示的直線恒過定點M，點N在以點M為圓心，C的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（）A．橢圓C的離心率為 B．△PF1F2的面積可能為2 C．|PF1|?|PF2|的最大值為4 D．|PN|﹣|PF2|的最小值為（多選）12．（5分）（2023春?景德鎮期末）“內卷”是一個網絡流行詞，一般用于形容某個領域中發生了過度的競爭，導致人們進入了互相傾軋、內耗的狀態，從而導致個體“收益努力比”下降的現象．數學中的螺旋線可以形象的展示“內卷”這個詞，螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）；它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分E，F，G，H作第二個正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q作第3個正方形，以此方法一直循環下去，就可得到陰影部分圖案，設正方形ABCD邊長為a1，后續各正方形邊長依次為a2，a3，an；如圖（2）陰影部分，設直角三角形AEH面積為b1，后續各直角三角形面積依次為b2，b3，bn，下列說法正確的是（）A．數列與數列{an}均是公比為的等比數列 B．從正方形ABCD開始，連續4個正方形的面積之和為 C．b5和a4滿足等式 D．設數列{bn}的前n項和為Sn，則三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2022秋?三門峽月考）定義：如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的和構成一個等比數列，則稱該數列為“和等比”數列．已知“和等比數列{an}的前三項分別為a1＝a2＝1，a3＝3，則數列{an}的前11項和S11＝．14．（5分）（2021?涼山州模擬）雙曲線1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，則它的離心率為．15．（5分）（2023秋?嶗山區校級月考）若橢圓2kx2+ky2＝1的一個焦點為（0，﹣4），則k的值為．16．（5分）（2020秋?婁星區校級期中）設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S8＝6S3，an+1＝2an+1，若恒成立，則λ的最小值為．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2024春?銅仁市期中）已知數列{an}的前n項和為Sn，a2＝27，，bn＝log3an．（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；（2）記數列的前n項和為Tn，若對任意n∈N*都成立，求實數m的取值范圍．18．（12分）（2023秋?萊西市期末）已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為e，左、右焦點分別為F1，F2，且直線y＝ex是雙曲線y2＝1的一條漸近線．直線x＝x0與橢圓E交于C，D兩點，且△CDF1的周長最大值為8．橢圓E的左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩動點，直線PQ與x軸相交于點M（m，0），記直線AP的斜率為k1，直線QB的斜率為k2．（1）求．（2）若m＝1，設△AQP和△BPQ的面積分別為S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．19．（12分）（2021秋?牟定縣校級期末）已知F1是拋物線C1：y2＝4x的焦點，F2是拋物線C2：y2＝﹣2px（p＞0）的焦點，點M（﹣1，y0）在C2上，且|MF1||．（1）求C2的方程；（2）若O是坐標原點，直線MF1與C1交于A，B兩點，求△OAB的面積．20．（12分）（2023秋?高州市期末）治理垃圾是M市改善環境的重要舉措．去年M市產生的垃圾量為100萬噸，通過擴大宣傳、環保處理等一系列措施，預計從今年開始，連續6年，每年的垃圾排放量比上一年減少10萬噸，從第7年開始，每年的垃圾排放量為上一年的80%．（1）寫出M市從今年開始的年垃圾排放量與治理年數n（n∈N*）的表達式；（2）設Fn為從今年開始n年內的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，則認為現有的治理措施是有效的；否則，認為無效，試判斷現有的治理措施是否有效，并說明理由．21．（12分）（2023秋?龍巖期末）已知函數f（x）滿足f（x）+f（1﹣x）＝2，數列{an}滿足：．（1）求數列{an}的通項公式；（2）數列{bn}滿足，其前n項和為Sn，若對任意n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍．22．（12分）（2022秋?駐馬店期末）已知圓，，動圓M與圓C1，C2均外切，記圓心M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）直線l過點C2，且與曲線C交于A，B兩點，滿足，求直線l的方程．

2024-2025學年上學期山東高二數學期末典型卷1參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022春?高坪區校級期中）數列，…的一個通項公式為（）A． B． C． D．【考點】由數列若干項歸納出通項公式．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】D【分析】根據題意，歸納數列前4項的變化規律，即可得答案．【解答】解：根據題意，數列，…，有a1，a2，a3，a4，依次類推：an．故選：D．【點評】本題考查數列的表示方法，涉及歸納推理的應用，屬于基礎題．2．（5分）（2023秋?東光縣月考）已知數列{an}是等比數列，若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，則a2024＝（）A．22023﹣1 B．22023 C．22024﹣1 D．22024【考點】等比數列的通項公式；等比數列的性質．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】B【分析】根據等比數列的性質，可求出首項和公比，代入求解即可．【解答】解：設{an}公比為q，顯然q≠1，由已知得，q2，故a5﹣a3＝16a1﹣4a1＝12，即a1＝1，可得a2024＝1×22023＝22023．故選：B．【點評】本題考查等比數列的通項公式，考查運算求解能力，屬于基礎題．3．（5分）（2019秋?三明期中）已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．y＝±2x【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】C【分析】利用雙曲線的離心率求出a，然后求解雙曲線的漸近線方程即可．【解答】解：雙曲線的離心率為，可得，解得a＝2，所以雙曲線的漸近線方程為：yx．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，是基本知識的考查．4．（5分）（2024?江西模擬）已知橢圓的上頂點、右頂點、左焦點恰好是等腰三角形的三個頂點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【考點】橢圓的幾何特征．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】B【分析】設橢圓E的上頂點、右頂點、左焦點分別為A，B，F，依題意可得|AB|＝|BF|，結合b2+c2＝a2即可求得橢圓的離心率．【解答】解：設橢圓E的上頂點、右頂點、左焦點分別為A，B，F，則A（0，b），B（a，0），F（﹣c，0），且b2+c2＝a2，所以，，|BF|＝a+c，依題意△ABF為等腰三角形，|AB|＝|BF|，所以，化簡得b2＝c2+2ac，又b2+c2＝a2，所以2c2+2ac﹣a2＝0，即2e2+2e﹣1＝0，解得，又0＜e＜1，所以，即橢圓的離心率為．故選：B．【點評】本題考查橢圓的離心率的求解，屬中檔題．5．（5分）（2023秋?赤峰期中）設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B（4，0），若|AF|＝|BF|，則|AB|＝（）A． B． C． D．【考點】拋物線的焦點與準線．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】A【分析】首先利用焦半徑公式確定點A的坐標，再利用兩點間距離公式求|AB|．【解答】解：由題意可知，F（1，0），B（4，0），由|AF|＝|BF|＝3，設點A（x0，y0），所以，得x0＝2，則，即或，所以．故選：A．【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，距離公式的應用，是基礎題．6．（5分）（2022春?南通期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數的一種古老的方法．這種方法是依次寫出2和2以上的自然數，留下頭一個2不動，剔除掉所有2的倍數；接著，在剩余的數中2后面的一個數3不動，剔除掉所有3的倍數；接下來，再在剩余的數中對3后面的一個數5作同樣處理；……，依次進行同樣的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素數．在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到30的全部素數過程中剔除的所有數的和為（）A．333 B．335 C．337 D．341【考點】數列的求和；歸納推理．【專題】整體思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解．【答案】B【分析】方法一：由“埃拉托塞尼篩法”，找出所有被剔除的數，再求和即可；方法二：先求出2到30的全部整數和，再求出2到30的全部素數和，作差即可．【解答】解：方法一：由“埃拉托塞尼篩法”可知，先從2開始，剔除2的倍數有4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30；再從3開始，剔除3的倍數有9，15，21，27；再從5開始，剔除5的倍數有25，從7和7之后的數開始，已在前面剔除所有7和7之后的數的倍數，所以在此過程中剔除的所有數為4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，30，這些數的和為4+6+8+9+10+12+14+15+16+18+20+21+22+24+25+26+27+28+30＝335．方法二：2到30的全部整數和S1464，2到30的全部素數和S2＝2+3+5+7+11+13+17+19+23+29＝129，所以剔除的所有數的和為464﹣129＝335．故選：B．【點評】本題考查數列的求和，理解“埃拉托塞尼篩法”，素數的概念是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．7．（5分）（2023秋?定邊縣校級期中）已知數列{an}滿足，若an＞an+1，則實數k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． D．【考點】數列遞推式．【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解．【答案】D【分析】根據an＞an+1建立不等式，不等式轉化為對一切n∈N*恒成立，求出即可．【解答】解：據題設知，k（n+1）2+2（n+1）﹣4＜kn2+2n﹣4對一切n∈N*恒成立，所以2kn+k+2＜0對一切n∈N*恒成立，即對一切n∈N*恒成立．又當n∈N*時，，所以，所以所求實數k的取值范圍是．故選：D．【點評】本題主要考查數列遞推關系式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．8．（5分）（2023秋?杭州期末）已知雙曲線左，右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0），若雙曲線左支上存在點P使得，則離心率的取值范圍為（）A．[6，+∞） B．（1，6] C．[2，+∞） D．[4，+∞）【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】A【分析】利用雙曲線的性質，列出不等式，即可求解離心率的范圍．【解答】解：雙曲線左，右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0），雙曲線左支上存在點P使得，可得a+c，解得e≥6．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，離心率的求法，是基礎題．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2023秋?鹽田區校級期末）已知Sn為等差數列{an}的前n項和，若S2023＜0，S2024＞0，則（）A．使an＞0的n的最小值為2024 B．|a1012|＜|a1013| C．當Sn取最小值時，n＝1012 D．為單調遞減的數列【考點】等差數列的前n項和．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】ABC【分析】根據題意，等差數列{an}中，設其公差為d，由等差數列前n項和公式可得a1012＜0和a1012+a1013＞0，由此可得B、C正確，進而由Sn和的表達式，分析可得A正確，D錯誤，綜合可得答案．【解答】解：根據題意，等差數列{an}中，設其公差為d，若S2023＜0，則有S20232023a1012＜0，變形可得a1012＜0，若S2024＞0，則S2024（a1012+a1013）×1012＞0，變形可a1012+a1013＞0，故a1012＜0，a1013＞0，且|a1013|＞|a1012|，B正確；故當Sn取最小值時，n＝1012，C正確；同時d＝a1013﹣a1012＞0，Sn＝na1dn2+（a1）n，d＞0，且S2023＜0，S2024＞0，結合二次函數的性質可得使an＞0的n的最小值為2024，A正確；同時，n+（a1），數列{}為等差數列，其公差為0，是遞增數列，D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查等差數列的性質，涉及等差數列的求和，屬于基礎題．（多選）10．（5分）（2023秋?牡丹江校級期中）已知曲線C：1（m∈R），則下列結論正確的是（）A．若m＜0，則C表示雙曲線 B．C可能表示一個圓 C．若C是橢圓，則其長軸長為 D．若m＝1，則C中過焦點的最短弦長為【考點】雙曲線的幾何特征；曲線與方程；橢圓的幾何特征．【專題】轉化思想；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】AD【分析】根據雙曲線的簡單幾何性質，圓的方程的特點，橢圓的簡單幾何性質，即可分別求解．【解答】解：對A選項，∵m2+2＞0，又m＜0，∴C表示雙曲線，∴A選項正確；對B選項，令m2+2＝m，∴，∴m無解，∴C不可能表示一個圓，∴B選項錯誤；對C選項，若C是橢圓，則m＞0，又，∴m2+2＞m＞0，∴橢圓的長軸長為，∴C選項錯誤；對D選項，若m＝1，則C可化為，∴C中過焦點的最短弦長為通徑長，∴D選項正確．故選：AD．【點評】本題考查橢圓與雙曲線的簡單幾何性質，圓的方程的特點，屬基礎題．（多選）11．（5分）（2023秋?福州期中）已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓上，若方程mx﹣y+5m＝0所表示的直線恒過定點M，點N在以點M為圓心，C的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（）A．橢圓C的離心率為 B．△PF1F2的面積可能為2 C．|PF1|?|PF2|的最大值為4 D．|PN|﹣|PF2|的最小值為【考點】橢圓的幾何特征．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】AC【分析】由橢圓方程求出離心率判斷A；求出△PF1F2的面積的最大值判斷B；由橢圓定義結合基本不等式判斷C；利用轉化思想求解|PN|﹣|PF2|的最小值判斷D．【解答】解：由橢圓C：，可得a＝2，b＝1，c，則e，故A正確；，則△PF1F2的面積不可能為2，故B錯誤；橢圓的左、右焦點分別為F1（，0），F2（，0），設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m+n＝2a＝4，∴mn，當且僅當m＝n＝2時取等號，因此|PF1|?|PF2|的最大值為4，故C正確；方程mx﹣y+5m＝0所表示的直線恒過定點M（﹣5，0），∴以點M為圓心，C的長軸長為直徑的圓的方程為：（x+5）2+y2＝4，|PN|﹣|PF2|＝|PN|﹣（2a﹣|PF1|）＝|PN|+|PF1|﹣4≥|MF1|﹣2﹣4＝56，當且僅當點P、N、M、F1共線時取等號，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查橢圓的標準方程及其性質、圓的方程、基本不等式的應用、三角形的面積計算公式、三角形三邊大小關系，考查了推理能力與計算能力，是中檔題．（多選）12．（5分）（2023春?景德鎮期末）“內卷”是一個網絡流行詞，一般用于形容某個領域中發生了過度的競爭，導致人們進入了互相傾軋、內耗的狀態，從而導致個體“收益努力比”下降的現象．數學中的螺旋線可以形象的展示“內卷”這個詞，螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）；它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分E，F，G，H作第二個正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q作第3個正方形，以此方法一直循環下去，就可得到陰影部分圖案，設正方形ABCD邊長為a1，后續各正方形邊長依次為a2，a3，an；如圖（2）陰影部分，設直角三角形AEH面積為b1，后續各直角三角形面積依次為b2，b3，bn，下列說法正確的是（）A．數列與數列{an}均是公比為的等比數列 B．從正方形ABCD開始，連續4個正方形的面積之和為 C．b5和a4滿足等式 D．設數列{bn}的前n項和為Sn，則【考點】數列的應用；歸納推理．【專題】方程思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；邏輯思維；運算求解．【答案】AC【分析】根據題意，{an}，{bn}都是等比數列，從而可求{an}，{bn}的通項公式，再對選項逐個判斷即可得到答案．【解答】解：對于A選項，由題意知，且an＞0，所以，又因為a1＝4，所以數列{an}是以4為首項，為公比的等比數列，可得，bn，所以，由，得數列與數列{an}均是公比為的等比數列，故A正確；對于B選項，由上，a1＝4，，，，所以，故B錯誤；對于C選項，，，所以，所以，故C正確；對于D選項，因為，且n∈N*，所以，因為n∈N*時，是單調遞增函數，所以，而，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查數列的應用，解題的關鍵是由題設遞推關系求出{an}，{bn}的通項公式，考查了學生推理能力、計算能力，屬中檔題．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2022秋?三門峽月考）定義：如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的和構成一個等比數列，則稱該數列為“和等比”數列．已知“和等比數列{an}的前三項分別為a1＝a2＝1，a3＝3，則數列{an}的前11項和S11＝1365．【考點】數列的求和；等比數列的前n項和．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】1365．【分析】根據給定條件，求出這個等比數列的公比、通項，再利用并項求和法計算作答．【解答】解：根據題意，a1+a2＝2，a2+a3＝4，因此等比數列{an+an+1}的首項是2，公比為2，有，所以．故答案為：1365．【點評】本題考查等比數列的求和，涉及等比數列的性質和應用，屬于基礎題．14．（5分）（2021?涼山州模擬）雙曲線1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，則它的離心率為．【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】．【分析】由題可知，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，然后求出a＝b，代入離心率，即可得解．【解答】解：雙曲線1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵兩條漸近線互相垂直，∴a＝b，∴離心率e．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程和離心率，考查學生的運算能力，屬于基礎題．15．（5分）（2023秋?嶗山區校級月考）若橢圓2kx2+ky2＝1的一個焦點為（0，﹣4），則k的值為．【考點】橢圓的幾何特征．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】．【分析】先把橢圓2kx2+ky2＝1的方程化為標準形式，焦點坐標得到c2＝16，利用橢圓的標準方程中a，b，c的關系即得雙曲線方程中的k的值．【解答】解：易知k≠0，方程2kx2+ky2＝1變形為，因為焦點在y軸上，所以，解得，故答案為：．【點評】本題考查了橢圓標準方程，屬于基礎題．16．（5分）（2020秋?婁星區校級期中）設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S8＝6S3，an+1＝2an+1，若恒成立，則λ的最小值為2．【考點】裂項相消法．【專題】轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；等差數列與等比數列；點列、遞歸數列與數學歸納法；邏輯思維；運算求解．【答案】2【分析】直接利用等差數列的定義，裂項相消法，函數的恒成立問題的應用求出結果．【解答】解：等差數列{an}的前n項和為Sn，且S8＝6S3，整理得：，解得a1＝da2n+1＝2an+1，所以a3＝2a1+1，整理得a1＝d＝1，故an＝n整理得，所以，所以2（1）＝2（1）＜2＜λ．所以λ的最小正值為2．故答案為：2．【點評】本題考查的知識要點：等差數列的定義，裂項相消法，函數的恒成立問題，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2024春?銅仁市期中）已知數列{an}的前n項和為Sn，a2＝27，，bn＝log3an．（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；（2）記數列的前n項和為Tn，若對任意n∈N*都成立，求實數m的取值范圍．【考點】數列的求和；數列遞推式．【專題】整體思想；綜合法；等差數列與等比數列；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解．【答案】（1）an＝32n﹣1，bn＝2n﹣1；（2）{m|m≤1}．【分析】（1）由已知遞推關系，結合等比數列的通項公式可求an，進而可求bn；（2）利用裂項求和求出Tn，進而可求出Tn的范圍，然后結合恒成立與最值關系的轉化即可求解．【解答】解：（1）數列{an}中，a2＝27，，當n≥2時，Sn﹣1，故n≥2時，兩式相減得，Sn﹣Sn﹣1an，即an+1＝9an，n≥2，因為S13，則a2＝9a1，故數列{an}是以3為首項，以9為公比的等比數列，所以an＝3×9n﹣1＝32n﹣1，bn＝log3an＝2n﹣1；（2）由（1）得，，故Tn＝111，若對任意n∈N*都成立，則，解得m≤1，故m的范圍為{m|m≤1}．【點評】本題主要考查了數列遞推關系及等比數列的通項公式的應用，還考查了裂項求和，不等式恒成立求解參數范圍，屬于中檔題．18．（12分）（2023秋?萊西市期末）已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為e，左、右焦點分別為F1，F2，且直線y＝ex是雙曲線y2＝1的一條漸近線．直線x＝x0與橢圓E交于C，D兩點，且△CDF1的周長最大值為8．橢圓E的左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩動點，直線PQ與x軸相交于點M（m，0），記直線AP的斜率為k1，直線QB的斜率為k2．（1）求．（2）若m＝1，設△AQP和△BPQ的面積分別為S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．【考點】直線與圓錐曲線的綜合．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）依題意可求曲線C的方程，設直線PQ的方程，聯立方程組后，用韋達定理結合斜率公式求解即可；（2）依題意表示|S1﹣S2|的關系式，結合函數的單調性可求解．【解答】解：（1）設CD與x軸的交點為H，由題意可知CH|≤|CF2|，則|CF1|+|CH|≤|CF1|+|CF2|＝2a，當CD過右焦點F2時，△CDF1的周長取最大值4a＝8，所以a＝2，雙曲線y2＝1的漸近線為y，又直線y＝ex是雙曲線y2＝1的一條漸近線，∴e，即，所以c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以橢圓C的標準方程，設P（x1，y1），Q（x2，y2），直線PQ的方程為x＝ty+m，聯立，消去x得（3t2+4）y2+6tmy+3m2﹣12＝0，則Δ＝（6tm）2﹣4（3t2+4）（3m2﹣12）＞0，即3t2+4＞m2，由書達定理得：y1+y2，y1?y2，∴，即﹣2tmy1y2＝（m2﹣4）（y1+y2），由題意k2≠0，所以．（2）若m＝1，則直線PQ的方程為x＝y+1，由韋達定理得：y1+y2，y1?y2，S1|AM||y1﹣y2|，S2|BM||y1﹣y2|，所以|S1﹣S2|||AM|﹣|BM||y1﹣y2|，∵t2≥0，則1，因為函數f（x）＝3x在[1，+∞）上單調遞增，故34，所以|S1﹣S2|3，當1，即t＝0時，等號成立，所以|S1﹣S2|的最大值為3．【點評】本題考查橢圓的方程和性質，考查聯立直線和圓錐曲線解決綜合問題，是難題．19．（12分）（2021秋?牟定縣校級期末）已知F1是拋物線C1：y2＝4x的焦點，F2是拋物線C2：y2＝﹣2px（p＞0）的焦點，點M（﹣1，y0）在C2上，且|MF1||．（1）求C2的方程；（2）若O是坐標原點，直線MF1與C1交于A，B兩點，求△OAB的面積．【考點】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點與準線．【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）y2＝﹣4x；（2）．【分析】（1）由題意，根據拋物線的定義進行求解即可；（2）根據一元二次方程根與系數的關系，結合點到直線的距離公式，三角形面積公式進行求解即可．【解答】解：（1）易知F1（1，0），．因為，，所以，解得p＝2，則C2的方程為y2＝﹣4x；（2）不妨令y0＞0，即M（﹣1，2），直線MF1的方程為y＝﹣x+1，不妨設A（x1，y1），B（x2，y2）．聯立，消去y并整理得x2﹣6x+1＝0，由韋達定理得x1+x2＝6，x1x2＝1，所以，又點O到直線MF1的距離，故△OAB的面積S．【點評】本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎題．20．（12分）（2023秋?高州市期末）治理垃圾是M市改善環境的重要舉措．去年M市產生的垃圾量為100萬噸，通過擴大宣傳、環保處理等一系列措施，預計從今年開始，連續6年，每年的垃圾排放量比上一年減少10萬噸，從第7年開始，每年的垃圾排放量為上一年的80%．（1）寫出M市從今年開始的年垃圾排放量與治理年數n（n∈N*）的表達式；（2）設Fn為從今年開始n年內的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，則認為現有的治理措施是有效的；否則，認為無效，試判斷現有的治理措施是否有效，并說明理由．【考點】數列的應用；根據實際問題選擇函數類型．【專題】轉化思想；轉化法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】（1）an；（2）現有的治理措施是有效的，理由詳見解析．【分析】（1）根據已知條件，結合等差數列、等比數列的性質，依次求出分段數列，即可求解；（2）根據已知條件，先求出Fn，再結合作差法，以及（1）的結論，即可求解．【解答】解：（1）設治理n年后，M市的年垃圾排放量構成數列{an}，當n≤6時，{an}是首項為a1＝100﹣10＝90，公差為﹣10的等差數列，所以an＝a1+（n﹣1）d＝90﹣10（n﹣1）＝100﹣10n，，當n≥7時，數列{an}是以a7為首項，公比為的等比數列，所以；所以治理n年后，M市的年垃圾排放量的表達式為an；（2）設Sn為數列{an}的前n項和，則，由于，由（1）知，1≤n≤6時，an＝100﹣10n，所以{an}為遞減數列，n≥7時，，所以{an}為遞減數列，且a7＜a6，所以{an}為遞減數列，于是an+1﹣a1＜0an+1﹣a2＜0，…，an+1﹣an＜0，因此Fn+1﹣Fn＜0，所以數列{Fn}為遞減數列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，故認為現有的治理措施是有效的．【點評】本題主要考查數列的應用，考查轉化能力，屬于中檔題．21．（12分）（2023秋?龍巖期末）已知函數f（x）滿足f（x）+f（1﹣x）＝2，數列{an}滿足：．（1）求數列{an}的通項公式；（2）數列{bn}滿足，其前n項和為Sn，若對任意n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍．【考點】數列與不等式的綜合；數列的求和；數列遞推式；數列與函數的綜合．【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；不等式；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】（1）利用f（x）+f（1﹣x）＝2及倒序求和即可求解；（2）利用錯位相減求得Sn，對一切n∈N*恒成立，則對一切n∈N*恒成立，求出的最大值即可．【解答】解：（1）∵f（x）+f（1﹣x）＝2，，則，∴①+②可得：，∴．（2）∵，∴，，兩式相減得，，∴，又對一切n∈N*恒成立，∴對一切n∈N*恒成立，即有對一切n∈N*恒成立，當n＝1時，取得最大值，∴，故實數λ的取值范圍是．【點評】本題考查了數列與不等式的綜合，屬于中檔題．22．（12分）（2022秋?駐馬店期末）已知圓，，動圓M與圓C1，C2均外切，記圓心M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）直線l過點C2，且與曲線C交于A，B兩點，滿足，求直線l的方程．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據兩圓的位置關系結合雙曲線的定義分析求解；（2）不妨設，A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y1＝﹣3y2，結合韋達定理運算求解．【解答】解：（1）由題意可知：圓C1的圓心C1（﹣3，0），半徑r1＝3，圓C2的圓心C2（﹣3，0），半徑r2＝3，由條件可得|MC1|﹣3＝|MC2|﹣1，即|MC1|﹣|MC2|＝2＜|C1C2|，則根據雙曲線的定義可知，點M是以C1，C2為焦點，以2為實軸長的雙曲線的右支，則a＝1，c＝2，可得b2＝c2﹣a2＝8，所以曲線C的方程為．（2）由（1）可知：雙曲線的漸近線方程為，即，由于C2（3，0）且直線AB的斜率不等于0，不妨設，A（x1，y1），B（x2，y2），則，，由可得y1＝﹣3y2，聯立方程，消去x得（8m2﹣1）y2+48my+64＝0，則Δ＞0，由韋達定理可得，由，解得，代入可得，解得，即，因此直線，即．【點評】本題主要考查軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．

考點卡片1．根據實際問題選擇函數類型【知識點的認識】1．實際問題的函數刻畫在現實世界里，事物之間存在著廣泛的聯系，許多聯系可以用函數刻畫．用函數的觀點看實際問題，是學習函數的重要內容．2．用函數模型解決實際問題（1）數據擬合：通過一些數據尋求事物規律，往往是通過繪出這些數據在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數圖象，選定函數形式后，將一些數據代入這個函數的一般表達式，求出具體的函數表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數基本反映了事物規律，這種方法稱為數據擬合．（2）常用到的五種函數模型：①直線模型：一次函數模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數k＞0），通過圖象可以直觀地認識它，特例是正比例函數模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數模型：y（k＞0）型，增長特點是y隨x的增大而減小．③指數函數模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快（底數b＞1，a＞0），常形象地稱為指數爆炸．④對數函數模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大越來越慢（底數a＞1，m＞0）．⑤冪函數模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數模型的選擇與建立時，要注意函數圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結合，如取整等．3．函數建模（1）定義：用數學思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數學建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點撥】用函數模型解決實際問題的常見類型及解法：（1）解函數關系已知的應用題①確定函數關系式y＝f（x）中的參數，求出具體的函數解析式y＝f（x）；②討論x與y的對應關系，針對具體的函數去討論與題目有關的問題；③給出實際問題的解，即根據在函數關系的討論中所獲得的理論參數值給出答案．（2）解函數關系未知的應用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數模型，初步擬定函數類型；②抽象函數模型在理解問題的基礎上，把實際問題抽象為函數模型；③研究函數模型的性質根據函數模型，結合題目的要求，討論函數模型的有關性質，獲得函數模型的解；④得出問題的結論根據函數模型的解，結合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實現1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數額不超過5萬元，同時獎金數額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數據：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．yx2分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x?25%x，A中，函數y＝0.025x，易知滿足①，但當x＞200時，y＞5不滿足公司要求；B中，函數y＝1.003x，易知滿足①，但當x＞600時，y＞5不滿足公司要求；C中，函數y＝l+log7x，易知滿足①，當x＝1000時，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故滿足公司要求；D中，函數yx2，易知滿足①，當x＝400時，y＞5不滿足公司要求；故選C點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查方案的優化設計，解題的關鍵是一一驗證．典例2：某服裝生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關系式3﹣x（k為常數），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產服裝的設備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產1萬件服裝需再投入32萬元的生產費用，若將每件服裝的售價定為：“每件生產成本的150%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：（1）2015年的利潤y（萬元）關于促銷費t（萬元）的函數；（2）該企業2015年的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大？（注：利潤＝銷售收入﹣生產成本﹣促銷費，生產成本＝固定費用+生產費用）分析：（1）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數．（2）根據已知代入（2）的函數，分別進行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大．解答：解：（1）由題意：3﹣x，且當t＝0時，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）生產成本為32x+3，每件售價，…（2分）所以，y（3分）＝16x，（t≥50）；…（2分）（2）因為當且僅當，即t＝7時取等號，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促銷費投入7萬元時，企業的年利潤最大．…（1分）點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，看出基本不等式在求最值中的應用，考查學生分析問題和解決問題的能力，強調對知識的理解和熟練運用，考查轉化思想的應用．2．由數列若干項歸納出通項公式【知識點的認識】1．數列及其有關概念，（1）數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列．數列中的每一個數稱為這個數列的項，排在第一位的數稱為這個數列的第1項，又稱為首項．2．數列的表示：數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，..簡記作{an}，此處的n是序號．3．數列的分類：按項的個數分為兩類，有窮數列與無窮數列；按項的變化趨勢分類，可分為遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列；4．數列的通項公式：如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，則稱這個公式叫做這個數列的通項公式．幾個認識：（1）由數列的通項公式可以求同數列的項，這與已知函數的解析式，求某一自變量的函數值是一致的．（2）有些數列沒有通項公式，如的近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，…時，所構成的數列，1，1.4，1.41，1.414，…，此數列就沒有通項公式．5．數列的遞推公式：如果已知數列{an}的第一項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（前幾項）（n≥2，n∈N*）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．【解題方法點撥】﹣觀察規律：通過觀察數列前幾項的規律，推導出通項公式．﹣設未知數：假設通項公式an＝f（n），代入前幾項求解參數．﹣驗證公式：驗證推導出的通項公式是否適用于數列的每一項．【命題方向】常見題型包括通過數列的前幾項推導出通項公式，結合具體數列進行分析．數列﹣2，1，，，，…的一個通項公式為（）A．an＝（﹣1）n+1B．an＝（﹣1）nC．an＝（﹣1）nD．an＝（﹣1）n+1解：根據題意，數列﹣2，1，，，，…的前5項可以寫成（﹣1）1、（﹣1）2、（﹣1）3、（﹣1）4、（﹣1）5，則數列的一個通項公式可以為an＝（﹣1）n．故選：C．3．等差數列的前n項和【知識點的認識】等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn【解題方法點撥】eg1：設等差數列的前n項和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1d＝10+45＝55．故答案為：55點評：此題考查了等差數列的前n項和公式，解題的關鍵是根據題意求出首項a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．求數列{|an|}的前n項的和Tn．解：∵等差數列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項為負，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點評：本題考查等差數列的前n項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．其實方法都是一樣的，要么求出首項和公差，要么求出首項和第n項的值．【命題方向】等差數列比較常見，單獨考察等差數列的題也比較簡單，一般單獨考察是以小題出現，大題一般要考察的話會結合等比數列的相關知識考察，特別是錯位相減法的運用．4．等比數列的性質【知識點的認識】等比數列（又名幾何數列），是一種特殊數列．如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數列．等比數列和等差數列一樣，也有一些通項公式：①第n項的通項公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項，q為公比，我們發現這個通項公式其實就是指數函數上孤立的點．②求和公式，Sn，表示的是前面n項的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數，那么有am?an＝ap?aq．等比數列的性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數相同）是等比數列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數列．（4）單調性：或?{an}是遞增數列；或?{an}是遞減數列；q＝1?{an}是常數列；q＜0?{an}是擺動數列．【解題方法點撥】例：2，x，y，z，18成等比數列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數列，設其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運用了等比數列第n項的通項公式，這也是一個常用的方法，即知道某兩項的值然后求出公比，繼而可以以已知項為首項，求出其余的項．關鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數法．5．等比數列的通項公式【知識點的認識】1．等比數列的定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數列的定義看，等比數列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數．2．等比數列的通項公式設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1?qn﹣13．等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數列的常用性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數相同）是等比數列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數列．（4）單調性：或?{an}是遞增數列；或?{an}是遞減數列；q＝1?{an}是常數列；q＜0?{an}是擺動數列．6．等比數列的前n項和【知識點的認識】1．等比數列的前n項和公式等比數列{an}的公比為q（q≠0），其前n項和為Sn，當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn．2．等比數列前n項和的性質公比不為﹣1的等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數列，其公比為qn．7．數列的應用【知識點的認識】1、數列與函數的綜合2、等差數列與等比數列的綜合3、數列的實際應用數列與銀行利率、產品利潤、人口增長等實際問題的結合．8．數列的求和【知識點的認識】就是求出這個數列所有項的和，一般來說要求的數列為等差數列、等比數列、等差等比數列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數列前n項和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn②等比數列前n項和公式：③幾個常用數列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數列和等比數列．（3）裂項相消法：適用于求數列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數列，即（）．（4）倒序相加法：推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】典例1：已知等差數列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項相消法如：．解：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Snn2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn，∴Tn，即數列{bn}的前n項和Tn．點評：該題的第二問用的關鍵方法就是裂項求和法，這也是數列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【命題方向】數列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．9．裂項相消法【知識點的認識】就是求出這個數列所有項的和，一般來說要求的數列為等差數列、等比數列、等差等比數列等等：（1）裂項相消法：適用于求數列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數列，即（）．【解題方法點撥】裂項相消法是一種用于求解數列和的技巧，通過將數列項裂解成兩個或多個部分進行相消來簡化計算．【命題方向】常見題型包括利用裂項相消法計算等差或等比數列的前n項和，結合具體數列進行分析．求和：．解：因為，所以原式．故答案為：1．10．數列遞推式【知識點的認識】1、遞推公式定義：如果已知數列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．2、數列前n項和Sn與通項an的關系式：an．在數列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關系，是本講內容一個重點，要認真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統一為一個式子．（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉化為只含an或Sn的關系式，然后再求解．【解題方法點撥】數列的通項的求法：（1）公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知遞推關系求an，有時也可以用構造法（構造等差、等比數列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為k的等比數列后，再求an．②形如an的遞推數列都可以用倒數法求通項．（7）求通項公式，也可以由數列的前幾項進行歸納猜想，再利用數學歸納法進行證明．11．數列與函數的綜合【知識點的認識】數列的函數特性：等差數列和等比數列的通項公式及前n項和公式中共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現了方程的思想的應用．解答數列與函數的綜合問題要善于綜合運用函數方程思想、化歸轉化思想等數學思想以及特例分析法，一般遞推法，數列求和及求通項等方法來分析、解決問題．【解題方法點撥】1．在解決有關數列的具體應用問題時：（1）要讀懂題意，理解實際背景，領悟其數學實質，舍棄與解題無關的非本質性東西；（2）準確地歸納其中的數量關系，建立數學模型；（3）根據所建立的數學模型的知識系統，解出數學模型的結果；（4）最后再回到實際問題中去，從而得到答案．2．在求數列的相關和時，要注意以下幾個方面的問題：（1）直接用公式求和時，注意公式的應用范圍和公式的推導過程．（2）注意觀察數列的特點和規律，在分析數列通項的基礎上，或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和．（3）求一般數列的前n項和時，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數列的前n項和的求法，觸類旁通．3．在用觀察法歸納數列的通項公式（尤其是在處理客觀題目時）時，要注意適當地根據具體問題多計算相應的數列的前幾項，否則會因為所計算的數列的項數過少，而歸納出錯誤的通項公式，從而得到錯誤的結論．【命題方向】典例：已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），設數列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首項為4，公差為2的等差數列．（I）設a為常數，求證：{an}成等比數列；（II）設bn＝anf（an），數列{bn}前n項和是Sn，當時，求Sn．分析：（I）先利用條件求出f（an）的表達式，進而求出{an}的通項公式，再用定義來證{an}是等比數列即可；（II）先求出數列{bn}的通項公式，再對數列{bn}利用錯位相減法求和即可．解答：證明：（I）f（an）＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，即logaan＝2n+2，可得an＝a2n+2．∴為定值．∴{an}為等比數列．（5分）（II）解：bn＝anf（an）＝a2n+2logaa2n+2＝（2n+2）a2n+2．（7分）當時，．（8分）Sn＝2×23+3×24+4×25++（n+1）?2n+2①2Sn＝2×24+3×25+4×26++n?2n+2+（n+1）?2n+3②①﹣②得﹣Sn＝2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）?2n+3（12分）（n+1）?2n+3＝16+2n+3﹣24﹣n?2n+3﹣2n+3．∴Sn＝n?2n+3．（14分）點評：本題的第二問考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．12．數列與不等式的綜合【知識點的認識】證明與數列求和有關的不等式基本方法：（1）直接將數列求和后放縮；（2）先將通項放縮后求和；（3）先將通項放縮后求和再放縮；（4）嘗試用數學歸納法證明．常用的放縮方法有：，，，[]（n≥2），（）（n≥2），，2（）2（）．．【解題方法點撥】證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材．這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規律進行恰當地放縮；其放縮技巧主要有以下幾種：（1）添加或舍去一些項，如：|a|；n；（2）將分子或分母放大（或縮小）；（3）利用基本不等式；；（4）二項式放縮；（5）利用常用結論；（6）利用函數單調性．（7）常見模型：①等差模型；②等比模型；③錯位相減模型；④裂項相消模型；⑤二項式定理模型；⑥基本不等式模型．【命題方向】題型一：等比模型典例1：對于任意的n∈N*，數列{an}滿足n+1．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）求證：對于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，當n≥2時，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不適合上式．綜上得；（Ⅱ）證明：當n≥2時，．∴．∴當n≥2時，．題型二：裂項相消模型典例2：數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有an，Sn，成等差數列．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：．分析：（1）根據an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）進而可判斷出數列{an}是公差為1的等差數列，根據等差數列的通項公式求得答案．（2）由（1）知，因為，所以，從而得證．解答：（1）由已知：對于n∈N*，總有2Sn＝an①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an＝anan﹣1，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均為正數，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴數列{an}是公差為1的等差數列又n＝1時，2S1＝a1，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴（1）放縮的方向要一致．（2）放與縮要適度．（3）很多時候只對數列的一部分進行放縮法，保留一些項不變（多為前幾項或后幾項）．（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強，稍有不慎，則會出現放縮失當的現象．所以對放縮法，只需要了解，不宜深入．13．橢圓的幾何特征【知識點的認識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當且僅當a＝b時，c＝0，橢圓變為圓，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關系：a2＝b2+c2．14．拋物線的焦點與準線【知識點的認識】拋物線的簡單性質：15．直線與拋物線的綜合【知識點的認識】直線與拋物線的位置判斷：將直線方程與拋物線方程聯立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與拋物線相交?Δ＞0；直線與拋物線相切?Δ＝0；直線與拋物線相離?Δ＜0；【解題方法點撥】研究直線與拋物線的位置關系，一般是將直線與拋物線的方程聯立消元，轉化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項系數是否為0．若該方程為二次方程，則依據根的判別式或根與系數的關系求解，同時應注意“設而不求”和“整體代入”方法的應用．直線y＝kx+b與拋物線y2＝2px（p＞0）公共點的個數等價于方程組的解的個數．（1）若k≠0，則當Δ＞0時，直線和拋物線相交，有兩個公共點；當Δ＝0時，直線和拋物線相切，有一個公共點；當Δ＜0時，直線與拋物線相離，無公共點．（2）若k＝0，則直線y＝b與y2＝2px（p＞0）相交，有一個公共點；特別地，當直線的斜率不存在時，設x＝m，則當m＞0時，直線l與拋物線相交，有兩個公共點；當m＝0時，直線l與拋物線相切，有一個公共點；當m＜0時，直線與拋物線相離，無公共點．【命題方向】掌握拋物線的定義、標準方程、簡單性質等基礎知識，深化對基礎知識的理解，重視知識間的內在聯系，提高應用數學思想方法解決問題的意識和能力．對相對固定的題型，比如弦長問題、面積問題等，要以課本為例，理解通性通法，熟練步驟．對拋物線與直線的綜合研究，涉及到定點、定值等相關結論，往往是高考考試的熱點．16．雙曲線的幾何特征【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質標準方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質焦點F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e（e＞1）準線x＝±y＝±漸近線±0±017．曲線與方程【知識點的認識】在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數解建立了如下的關系：①曲線上點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關鍵是要找到各變量的等量關系．【解題方法點撥】例：：定義點M到曲線C上每一點的距離的最小值稱為點M到曲線C的距離．那么平面內到定圓A的距離與它到定點B的距離相等的點的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對定點B分類討論：①若點B在圓A內（不與圓心A重合），如圖所示：設點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓．②若點B在圓A外，如圖2所示：設點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的雙曲線的一支．③若定點B與圓心A重合，如圖3所示：設點P是圓A上的任意一點，取線段AP的中點M，則點M滿足條件，因此點M的軌跡是以點A為圓心，以為半徑的圓．④若點B在圓A上，則滿足條件的點是一個點B．綜上可知：可以看到滿足條件的點M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個點，而不可能是一條直線．故選A．這是一個非常好的題，一個題把幾個很重要的曲線都包含了，我認為這個題值得每一個學生去好好研究一下．這個題的關鍵是找等量關系，而這個等量關系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線到兩端點的距離相等這個特點，最后還需結合曲線的第二定義等來判斷，是個非常有價值的題．【命題方向】這個考點非常重要，但也比較難，我們在學習這個考點的時候，先要認真掌握各曲線的定義，特別是橢圓、拋物線、雙曲線的第二定義，然后學會去找等量關系，最后建系求解即可．18．直線與圓錐曲線的綜合【知識點的認識】直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點，比方說求封閉面積，求距離，求他們的關系等等，常用的方法就是聯立方程求出交點的橫坐標或者縱坐標的關系，通過這兩個關系的變形去求解．【解題方法點撥】例：已知圓錐曲線C上任意一點到兩定點F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距離之和為常數，曲線C的離心率．（1）求圓錐曲線C的方程；（2）設經過點F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個定點P，使的值是常數．解：（1）依題意，設曲線C的方程為（a＞b＞0），∴c＝1，∵，∴a＝2，∴，所求方程為．（2）當直線