題1.1：已知質點沿X軸作直線運動，其運動方程為x=2m+（6m.s-2）/一（2m-s-3）方。求（1）

質點在運動開始后4.0s內位移的大小；（2）質點在該時間內所通過的路程。

題1.1解：（1）質點在49s內位移的大小

A.r=x4-x0=-32m

（2）由9=（12m.s-2?_（6ms-3）產=0

dz

得知質點的換向時刻為

%=2s0=0不合題意）

則：Aq=x2-xQ=8.0m

△x2=x4-x2=-40m

所以，質點在4.0s時間間隔內的路程為

s=U+1AY2I=48m

題1.2：一質點沿x軸方向作直線運動，其速度與時間的關系如圖所示。設，=（）時，工=0。

試根據已知的圖--，，畫出4T圖以及XT圖。

題1.2解：將曲線分為A。、BC、二個過程，

它們對應的加速度值分別為

="二'=20m-s-2（勻加速直線運動）

?BC=0（勻速直線）

acD=K*=T0m?s-2i勻減速直線運動）

】D一%

由此，可計算在0?2和4~6s時間間隔內各時刻的位置分別為

Z/S00.511.5244.555.56

x/m0-7.5-10-7.504048.75558.760

用描數據點的作圖方法，由表中數據可作0~2s和4~6s時間內的X-/圖。在2~4s時

間內，質點是作v=20m?「的勻速直線運動，其x—/圖是斜率攵=20的一段直線。

題1.3：如圖所示，湖中有一小船。岸上有人用繩跨過定滑輪拉船靠岸。設滑輪距水面高度

為力，滑輪到原船位置的繩長為/。，試求：當人以勻速r拉繩，船運動的速度M為多少？

題1.3解1：取如圖所示的直角坐標系，船的運動方程為

題L3解2：取圖所示的極坐標位,孫則

,drdrde,dr60

v=—=—e+r--=—e+r——e.-,

dtdtrdrd/rdi

號是船的徑向速度，「，品是船的橫向速度，而

上是收繩的速率。由于船速v與徑向速度之間夾角

dt

位。，所以

r?-i-i/2

,V..h1

V=---------1=-vI-----------I

cosO|_(/0-vr)'_

由此可知，收繩的速率只是船速沿繩方向的分量。

題1.4：一升降機以加速度1.22m.s-2上升，當上升速度為2.44m.s-2時，有一螺絲自升降機

的天花板上松脫，天花板與升降機的底面相距2.74m。計算：(1)螺絲從天花板落到底面所

需要的時間；(2)螺絲相對升降機外固定柱子的下降距離。

題1.4解1：(1)以地面為參考系，取如圖所示的坐標系，升降機與螺絲的運動方程分別為

1

,12

為=A+v0/--^/-

當螺絲落至底面時，有,=乃，即

12f12

vQt+—fit=h+vot--gt

=0.705s

⑵螺絲相對升降機外固定柱子下降的距離為

d=h-y2=-vot+；gJ=0716in

題1.4解2：(1)以升降機為參考系，此時，螺絲相對它的加速度大小，=g+〃，螺絲落至底

面時，有

O=/?_/(g+a尸

2/7

=0.705s

+a

⑵由于升降機在，時間內上升的高度為

,，?2

h=vot+—at^

則d=〃-/i'=0,716m

題1.5：一質點P沿半徑R=3.00m的圓周作勻速率運動，運動一周所需時間為20.0s,設f=0

時，質點位于O點。按圖中所示坐標系，求（I）質點P在任意時刻的位矢；（2）5s時

的速度和加速度。

題1.5解：如圖所示，在。攵夕坐標系中,

的參數方程為

，n.2%,八2乃

x=Ksiny=~^cos-z

坐標變換后，在Oxy坐標系中有

,n?27r,n27c

x=x=Rs\n—t,y=y+v0=-Rcos—t

則質點尸的位矢方程為

r=Rsin—ti+\-Rcos—t+R\j

T{T)

=(3m)sin[(0.brs-1i+(3m)[l-cos(0.\ns')i]j

5s時的速度和加速度分別為

dr2乃2兀..冗.2兀.\.

v=—=R——cos——ti+R——sin——tj=[0.3乃ms

dtTTTT、"

a=^-=-Rsin半"+《半)cos臣==(-0.0加21n.s7萬

題1.6：一質點自原點開始沿拋物線y=/>2運動，它在Or釉上的分速度為一恒量，其值為

V,=4.0ms_,,求質點位干x=2.0m處的速度和加速度。

題1.6解：因次=4.0m-sT為一常數，故出=0。當1=0時，%=0,由八=蟲積分可得

dr

x=vxl（1）

又由質點的拋物線方程，有

y=6x2=*x/2Q）

由），方向的運動方程可得該方向的速度和加速度分量分別為

%=7^+^=18.Om-sT

設網與x軸的夾角為a,則

tgc?

V0y2

a=12341'

(2)加速度的分量式為

=60m-s-2,a==-40m?s"

xdtydr

則加速度的大小為

a=Ja：+a；=72.1m-s-2

設。與K釉的夾角為小則

a2

t酸

ax3

尸=-334'(或32619')

題1.9：一質點具有恒定加速度a=（6ms-2）i+（4ms-2）j,在r=0時，其速度為零，位置矢

量/*0=（1001"。求：（1）在任意時刻的速度和位置矢量；（2）質點在平面上的軌跡方程,

并畫出軌跡的示意圖。

題1.9解：由加速度定義式，根據初始條件小=0時vo=O,積分可得

［；*=［：ad/=|^［（6ms-2）i+（4ms-2）j］d/

v=(6ms-2)z?+(4m-s-2)ij

又由，哼及初始條件「。時，—）i,積分可得

J。dr=J：=J：[(6m-s-2)/1+(4m-s-2)tj)d/

r=[10m+(3m-s-2)r]i+[(2m-s-2)V\j

由上述結果可得質點運動方程的分量式，即

x=10m+(3ms-2)/2

y=(2ms-2)/2

消去參數/,可得運動的軌跡方程

3y=2.v-20m

這是一個直線方程，直線斜率A=蟲=tana=2a=33°41\軌跡如圖所示。

d.v3

題1.10：飛機以lOOmfT的速度沿水平直線飛行，在離地面高為100m時，駕駛員要把物品

投到前方某一地面目標處。問：（1）此時目標在飛機下方前多遠？（2）投放物品時，駕駛

員看目標的視線和水平線成何角度？（3）物品投出2.00s后，它的法向加速度和切向加速

度各為多少？

題Lio解：（1）取如圖所示的坐標，物品卜.落時在水平和豎直方向的運動方程分別為

X=1*），=518廣2

飛機水平飛行速度y=100m.sT,飛機離地面的

高度），=100m,由上述兩式可得目標在飛機正

下方前的距離

=452m

（2）視線和水平線的夾角為

g=arctg』=125

X

（3）在任意時刻物品的速度與水平軸的夾角為

嗔G

a=arctg—=arctg一

匕v

取自然坐標，物品在拋出2s時，重力加速度的切向分量與法向分量分別為

a,=gsina=gsin=1.88ms-

-2

an=gcosa=gc。9.62ms

題1.11：一足球運動員在正對球門前25.0m處以20.0m.「的初速率罰任意球，己知球門高

為3.44m。若要在垂直于球門的豎直平面內將足球直接踢進球門，問他應在與地面成什么角

度的范圍內踢出足球？（足球可視為質點）

題1.11解：取圖示坐標系Qxy,由運劭方程

x=vtcos6^,y=v/sin夕-g娟

消去/得軌跡方程

）'=MgO-券（1+tg七卜2

以x=25.0m,v=20.0msT及3.442y20代入后，可解得

71.11°>0x>69.92°

27.92°>02>18.89°

如何理解上述角度得范圍？

在初速度?定的條件下，球擊中球門底線或球門上緣都將對應有兩個不同的投射傾角

（如圖所示）。如果以。>71.11。或。<【8.89。踢出足球，都將因射程不足而不能直接射入球門；

由于球門高度的限制，0角也并非能取71.11。與18.89。之間的任何值。當傾角取值為27.92。<

0<69.92。時，踢出的足球將越過門緣而離去，這時也球不能射入球門。因此可取的角度范

圍只能是解中的結果。

題1.12：設從某一點O以同樣的速率，沿著同一豎直面內各個不同方向同時拋出幾個物體。

試證：在任意時刻，這幾個物體總是散落在某個圓周上。

題1.12證：取物體拋出點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系。物體運動的參數方程為

A=v0rcos^,y=v（/sinO--gt'y

消去式中參數凡得任意時刻的軌跡方程為

/+（>'+?/）=M2―~7

這是一個以（0「；8產）為圓心、皿為半徑的圓方程（如圖所-

示），它代表著所有物體在任意時刻，的位置。

題1.13：一質點在半徑為R的圓周上以恒定的速率運動，質點由位置A運動到位置8,OA

和07?所對的圓心角為△<?。

（1）試證位置A和B之間的平均加速度為萬=^（l-cosA^v2/（&W）；

（2）當△。分別等于90。、30。、10。和1。時，平均加速度各為多少？并對結果加以討論。

題1.13解：（1）由圖可看到Au=刈-匕，故

|Av|=’v；+近一2V嶺cos=vj2（l-cosA8）

而

MR\0

A/=——=----

vv

所以。=!^=J2（1—COSA6）

R\0

⑵將△9=90、30。,10。,1。分別代入上式，得

v2v2v2V2

4?0.9003—,Z7?0.9886—-,??0.9987—,?1.000—

R2R3RR

上述結果表明：當△，-?（）時，勻速率圓周運動的平均加速

度趨于?極限值，該值即為法向加速度匚。

R

題1.14：一質點沿半徑為R的圓周按規律s=iV-g〃/2運動，％、”都是常量。（D求，時

刻的總加速度；（2），為何值時總加速度在數值上等于8？（3）當加速度達到。時，質點已

沿圓周運行了多少圈？

題1.14解：（1）質點作圓周運動的速率為

山

v=——=%一b

dr

其加速度的切向分量和法向分量分別為

（1-5,1戶=（%一/爐

17=也凡=

RR

故加速度的大小為

0=曲心近HEm

R

其方向與切線之間的夾角為

0=arctg—=arctg-(…丫

Rb

（2）要使同=兒由?!"網，2心-時=。可得

R

%

b

⑶從/=0開始到f=W6時，質點經過的路程為

s=0一”=圣

因此質點運行的圈數為

2忒4加R

題1.15：碟盤是?張表面覆蓋??層信息記錄物質的塑性圜片。若碟盤可讀部分的內外半徑分

別為2.50cm和5.80cm。在回放時，碟盤被以恒定的線速度由內向外沿螺旋掃描線（阿基米

德螺線）進行掃描。（1）若開始時讀寫碟盤的角速度為50.0rad.sT,則讀完時的角速度為多

少？（2）若螺旋線的間距為1.60沖]，求掃描線的總長度和回放時間。

題1.15分析：阿基米德螺線是一等速的螺旋線，在極坐標下，它的參數方程可表示為

”7+,冶，式中「為極徑，力為初始極徑，四極角，Q為常量。它的圖線是等間距的，當

間距為d時.，常量。=d/2隊因此，掃描線的總長度可通過積分$=卜山9得到。

解：（1）由于線速度恒定，則由v=5,可得外「已々，故碟盤讀完時的角速度為

-1

co2=@力Ir2=21.6rads

（2）在可讀范圍內，螺旋線轉過的極角〃=2不卜-，：）/4,故掃描線的總長度為

5=I>28=[旦夕=6-不）=5.38X1）m

JJ。「2一d

碟盤回放的時間為

/=5/v^=4.10xl0's?1.15h

本題在求掃描線的總長度對，也可采用平均周長的計算方法，即

5=2加*=2〃XX=5.38x"m

22d

題1.16：地面上垂直豎立一高20.0m的旗桿，已知正午時分太陽在旗桿的正上方，求在下午

2時止，桿頂在地面上的影子的速度的大小。在何時刻桿影將伸展至長20.0m?

題L16解:設太陽光線對地轉動的角速度為。,從正午時分開始計時，則桿的影長為s=

下午2時整，桿頂在地面上影子的速度大小為

drcos2cot

當桿長等于影長時，即$=力，則

coh46y

即為下午3時整。

題1.17：一半徑為0.50m的飛輪在啟動時的短時間內，其角速度與時間的平方成正比。在

f=2.0s時測得輪緣一點速度值為4.0m.sT。求：（1）該輪在r=0.5$的角速度，輪緣一點

的切向加速度和總加速度：（2）該點在2.0s內所轉過的侑度。

題1.17解：因4必=酎，由題意得比例系數

k=M=-^―=2rad-s-3

t2Rt2

所以co-co（t）=（2rads'）t2

則年0.5s時的角速度、角加速度和切向加速度分別為

<y=（2rads-3）/*2=0.5rads"

a=（4rads"）/，=2.0rad-s-2

a,=cr/?=1.0m-s-2

總加速度

a=a1+an=aRex+co~Ren

a=+（3"）~=1.01ms-2

在2.0s內該點轉過的角度

s_32_33

0-0n=j^<ycir=jj（2rads）rdz=-radst=5.33rad

0013/

題1.18：一質點在半徑為0.10m的圓周上運動,其角位置為8=2rad+（4rad.s"）〃。（1）求

在f=2.0s時質點的法向加速度和切向加速度。（2）當切向加速度的大小恰等于總加速度大

小的一半時，夕值為多少？（3）[為多少時，法向加速度和切向加速度的值相等？

題1.18解：⑴由于0=2rad+（4rad-s7）「，則角速度/二包二標亂心一）/,在/=2s時，

dr

法向加速度和切向加速度的數值分別為

=「3'=2.30xIO?ms-2

Id@4八八-2

4-=^—=4.80ms

（it

（2）當4=3=1/a：+時，有3a；=a：,即

乙乙

3%（24rad?s-3）/]2=r2[（12rad-s_3）/2]4

t--s=0.29s

2V3

此時刻的角位置為

0=2rad+（4rad-s-3）/3=3.15rad

(3)要使*=q，則有

r[(l2rads_3)/2]2=324rad-s_3)/

/=0.55s

題1.19：一無風的下雨天，一列火車以匕=20.0m.sT的速度勻速前進，在車內的旅客看見

玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角卜.降，求雨滴下落的速度匕。(設卜.降的雨滴作勻速運動)

題1.19分析：這是一個相對運動的問題。設雨滴為研究對象，地面為靜止參考系S,火車

為動參考系S1力為S，相對S的速度，也為雨滴相對S的速度，利用相對運動速度的關系

即可解。

解：以地面為參考系，火車相對地面運動的速度

為M，雨滴相對地面豎直下落的速度為V2,旅客

看到雨滴下落的速度W為相對速度，它們之間的

關系為%=吟+匕，于是可得

%=—^—=5.36ins-1

?唔75'

題1.20：設有一架飛機從4處向東飛到〃處，然后又向西飛回到八處，飛機相對空氣的速

率為/,而空氣相對地面的速率為〃，A、3間的距離為/,飛機相對空氣的速率/保持不

變。(1)假定空氣是靜止的(即“=0),試證來回飛機飛行時間為，0=2〃/：

(2)假定空氣的速度向東，試證來回飛行時間為4=r0(l-勺廣；

(3)假定空氣的速度向北，試證來回飛行時間為，2=小1-工廠”2。

V.

題1.20證：由相對速度的矢量關系y=/+〃，有

(I)空氣是靜止的，即〃=0,則往返時，飛機相對地面的&=0

飛行速度v就等于相對空氣的速度v'，故飛行往返所需時

間為，

//2/

‘。=[+仆=7+7=7僅)

(2)按題意，當飛機向東時，風速與匕機相對與空氣的速度同向；而￡機由東返回時，兩者

剛好反向。這時，飛機在往返飛行時，相對于地面的速度值分別為％=入〃和%A=K-〃。

因此，飛行往返所需時間為

(3)當空氣速度向北時，飛機相對地面的飛行速度的大小由

了=/+〃可得為-=47。7,則飛機往返所需時間為

題1.21：如圖所示，一汽車在雨中沿宜線行使，其速率為匕，下落雨滴的速度方向偏于豎

直方向之前角0,速率為△，若車后有一長方形物體，問車速匕為多大時，此物體正好不會

被雨水淋濕？

題1.21分析：這也是一個相對運動的問題。可視雨點為研究對象，地面為靜參考系S,汽

車為動參考系S\如圖所