初升高之一元一次方程

本節(jié)銜接概況

在初中階段，我們就已經(jīng)學習了一元一次方程的解法，知道一元一次方程都可

以化為奴=人的形式，當。。0時,方程有唯一解X=2.但是，當〃=0時，一元一次方

a

程的解又是怎樣的情形呢?這一點，初中數(shù)學未給出研究，遇到的問題也很少涉及.

在高中階段，我們經(jīng)常會遇到討論關(guān)于一元一次方程的解構(gòu)成的集合的問題,所以,

在這里我們有必要再研究一下一元一次方程的解的問題.

一元一次方程的解

一元一次方程可以化為以=匕的形式,其解的情況是：

（D當4*0時，方程有唯一解工=，；

（2）當a=0時，分為兩種情況：

①若。=0,8=0,方程有無數(shù)個解；

②若。=0,bwO,方程無解.

在求解含參一元一次方程的解的問題時,往往要依據(jù)上面的結(jié)論對參數(shù)展開

討論.

例題講解

例1.若關(guān)于x的方程〃7（3工-2）=4彳一3無解,求加的值.

分析：一元一次方程ax=b無解的條件是a=O,bwO.對一元一次方程進行變形，

把方程化為=b的形式后求解問題.

解:,:?w（3x-2）=4x-3

（3m-4）x=2m-3

??,該方程無解

,,產(chǎn)T=°,解之得:〃；

2/71—303

例2.若關(guān)于x的方程3（小+〃）-5工+3=7有無數(shù)個解，求m,n的值.

分析：一元一次方程ar=b有無數(shù)個解的條件是a=0,0=0.

解:,:3(mx+-5x+3=7

?，?(3m-5)x=4-3/i

???該方程有無數(shù)個解

5

m=—

叱O之得「3

4

n=-

3

例3.關(guān)于x的方程(〃/一1卜=疝一機一2,試求滿足下列條件時，實數(shù)加的取值范

圍:

(1)有唯一解；(2)有零解；(3)無解；(4)有無窮多個解.

解:*.*(in2—1卜—rn2—in—7.

/.(tn+1)(6—l)x=(m+-2)

(1)當加2_蜂0,即機。±1時，該方程有唯一解;

(2)由題意可知:

解之得:〃，=2;

(W+1X/H-2)=0

(3)由題意可知:

信;憶黑廨之得:…

(4)由題意可知:

篇憶黑廨之得:…?

例4.已知集合4={.犧2-3工+2=。},若A中最多有一個元素，試求。的取值范

圍.

提示：集合A是一個由方程ox?一3工+2=0的解構(gòu)成的集合,每一個解叫做一個元

素.由于集合A中最多有一個元素，所以方程以2—3x+2=0有一個解，也有可能無

解，這都是符合題意的.此外，如果該方程有兩個相等的實數(shù)根(為一元二次方程)，

這兩個相等的實數(shù)根在集合中只能算作一個元素，那么也是符合題意的.以上種種,

要注意分類討論.

方程o?—3x+2=0是一個含參方程，受。的影響，該方程可以是一元一次方

程，也可以是一元二次方程，要注意分類討論.

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解.當a=0時,—3x+2=0,解之得=此時A=，符合題意;

rrv,3

當。工0時，方程ax2-3x+2=0為一元二次方程：

①若△=（一3）2-8a=0,即a=2,則2/一3/+2=0,解之得：再=々=*，此時

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A={g，，符合題意；

②若△=（-3）2-8av0,即。＞?，此時方程ar2-3x+2=0無實數(shù)根，集合4為空集,

8

符合題意.

綜上所述,a的取值范圍是。=0或。N2.

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點評一個二次項系數(shù)含有參數(shù)的方程并不一定是一元二次方程,如本題中的方

程，它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程,在題目沒有明確說明的情況

下,要分為兩種情況進行討論.

例5.解關(guān)于x的方程如2-2（4+1）%+4=0.

解：當a=0時,-21+4=0,解之得:x=2;

當〃工0時,原方程可化為（這一2乂X-2）=〃（冗一2）（工一2）=0

2

x——=0或工一2=0

a

.2

..X）=—,x=o2.

a2

嘗試練習：

1.解關(guān)于x的方程（加一4卜一加-2