5．2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則5．2.3簡(jiǎn)潔復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，求簡(jiǎn)潔函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2．能求簡(jiǎn)潔的復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)．學(xué)法解讀1．理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．理解求導(dǎo)法則的證明過程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則解決有關(guān)問題．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．了解復(fù)合函數(shù)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)5．理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并能求簡(jiǎn)潔的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)6．能運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則解決綜合問題．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)學(xué)問點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則符號(hào)表達(dá)文字?jǐn)⑹鯷f(x)±g(x)]′＝_f_′(x)±g′(x)__兩個(gè)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差)[f(x)g(x)]′＝_f_′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上其次個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘上其次個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘分母上的函數(shù)減去分子上的函數(shù)乘分母上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再除以分母上函數(shù)的平方練一練：(多選題)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(ACD)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq\f(1－x,ex)B．(x2cosx)′＝－2xsinxC．(3x)′＝3xln3D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)＋\f(3,x3)))′＝－eq\f(4,x3)－eq\f(9,x4)[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq\f(x′ex－(ex)′x,(ex)2)＝eq\f(1－x,ex)，∴A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，(3x)′＝3xln3，∴C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)＋\f(3,x3)))′＝－4x－3－9x－4＝－eq\f(4,x3)－eq\f(9,x4)，∴D正確．故選ACD.學(xué)問點(diǎn)2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，假如通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．(2)求導(dǎo)法則：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))，＝，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于_y對(duì)u__的導(dǎo)數(shù)與_u對(duì)x__的導(dǎo)數(shù)的乘積．想一想：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題，關(guān)鍵在于分清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的，選好中間變量．求解時(shí)要留意什么？提示：(1)內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù)．(2)求每層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)留意分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，這是求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)．練一練：引入中間變量，并指出下列函數(shù)是由怎樣的函數(shù)復(fù)合而成的．(1)y＝(3x＋1)10；(2)y＝esinx；(3)y＝ln(2x－1)．[解析](1)引入中間變量u＝3x＋1，則函數(shù)是由y＝u10與u＝3x＋1復(fù)合而成的．(2)引入中間變量u＝sinx，則函數(shù)是y＝eu與u＝sinx復(fù)合而成的．(3)引入中間變量u＝2x－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)))，則函數(shù)是由y＝lnu與u＝2x－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)))復(fù)合而成的．題型探究題型一利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典例1(1)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝(A)A．1－eq\f(1,x2) B．1－eq\f(1,x)C．1＋eq\f(1,x2) D．1＋eq\f(1,x)(2)函數(shù)y＝x2sinx的導(dǎo)數(shù)為(D)A．y′＝2x＋cosx B．y′＝x2cosxC．y′＝2xcosx D．y′＝2xsinx＋x2cosx(3)函數(shù)y＝eq\f(cosx,x)的導(dǎo)數(shù)是(C)A．y′＝－eq\f(sinx,x2) B．y′＝－sinxC．y′＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2) D．y′＝－eq\f(xcosx＋cosx,x2)[解析](1)f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2).(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′·sinx＋x2·(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(x(cosx)′－cosx·x′,x2)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).[規(guī)律方法]應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的思路方法及留意事項(xiàng)(1)熟記導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，尤其是積、商的求導(dǎo)法則．(2)應(yīng)用和、差、積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)時(shí)，在可能的狀況下，應(yīng)盡量少用甚至不用積或商的求導(dǎo)法則，應(yīng)在求導(dǎo)之前，先利用代數(shù)、三角恒等變形等學(xué)問對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再求導(dǎo)，這樣可以削減運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，避開出錯(cuò)．(3)對(duì)于三個(gè)以上函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)，依次轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)”函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)計(jì)算．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(1)已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值為(D)A.eq\f(π,2) B．1C．－1 D．0(2)(2024·福建南安僑光中學(xué)高三月考)已知f(x)＝e2023＋x·lnx，則f′(1)＝(A)A．1 B．e2023＋1C．e2023－1 D．e2023(3)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①y＝x3－x2－x＋3；②y＝x3ex.[解析](1)因?yàn)閒′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，故選D.(2)∵f(x)＝e2023＋x·lnx，∴f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝ln1＋1＝1.(3)①y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1.②y′＝3x2ex＋x3ex.題型二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(－2x＋1)2；(2)y＝ex－1；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))；(5)y＝eq\f(1,\r(1－2x)).[解析](1)設(shè)y＝u2，u＝－2x＋1，則＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.(2)設(shè)y＝eu，u＝x－1，則＝eu·1＝ex－1.(3)設(shè)y＝log2u，u＝2x＋1，則＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,(2x＋1)ln2).(4)設(shè)y＝2sinu，u＝3x－eq\f(π,6)，則＝2cosu×3＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))).(5)設(shè)y＝，u＝1－2x，則·(1－2x)′＝×(－2)＝.[規(guī)律方法]求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(1,\r(1－2x2))；(2)y＝esinx；(3)y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).[解析](1)y＝，設(shè)，u＝1－2x2，則＝·(－4x)＝.(2)設(shè)u＝sinx，y＝eu，y′＝eu，u′＝cosx，∴y′＝esinx·cosx.(3)由題意得y＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))),2)，設(shè)t＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))，u＝4x＋eq\f(2π,3)，則t＝cosu，則＝－4sinu＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))).故y′x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))).題型三導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的應(yīng)用典例3(1)曲線y＝xlnx上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離是(B)A.eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C．1 D．2(2)設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的隨意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是(D)A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,6)π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π))[解析](1)設(shè)曲線y＝xlnx在點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線x－y－2＝0平行．∵y′＝lnx＋1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．∴切點(diǎn)(1,0)到直線x－y－2＝0的距離為d＝eq\f(|1－0－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，即曲線y＝xlnx上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離是eq\f(\r(2),2).(2)由y′＝3x2－eq\r(3)，易知y′≥－eq\r(3)，即tanα≥－eq\r(3).∴0≤α<eq\f(π,2)或eq\f(2,3)π≤α<π.[規(guī)律方法]導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)．高考中常常涉及導(dǎo)數(shù)計(jì)算問題，一般以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表為工具，與其他學(xué)問聯(lián)系在一起考查，既可以以選擇題、填空題的形式單獨(dú)考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，也常以解答題的某一問的形式，結(jié)合其他學(xué)問進(jìn)行考查．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?日常生活中的飲用水通常都是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知1t水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100)．那么凈化到純凈度為90%時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)改變率是(D)A．－40元/t B．－10元/tC．10元/t D．40元/t[解析]凈化費(fèi)用的瞬時(shí)改變率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閏(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100)，所以c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4000,100－x)))′＝eq\f(4000,(100－x)2).又因?yàn)閏′(90)＝eq\f(4000,(100－90)2)＝40，所以凈化到純凈度為90%時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)改變率是40元/t.題型四復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典例4(1)某港口在一天24小時(shí)內(nèi)潮水的高度近似滿意關(guān)系式s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數(shù)在t＝18時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并說明它的實(shí)際意義．(2)求曲線y＝eq\f(1,\r(x2－3x))在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))處的切線方程．[解析](1)函數(shù)y＝s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))是由函數(shù)f(z)＝3·sinz和函數(shù)z＝φ(t)＝eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6)復(fù)合而成的，其中z是中間變量．由導(dǎo)數(shù)公式表可得f′(z)＝3cosz，φ′(t)＝eq\f(π,12).再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得y′t＝s′(t)＝f′(z)φ′(t)＝3cosz·eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6))).將t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq\f(π,4)coseq\f(7π,3)＝eq\f(π,8)(m/h)．它表示當(dāng)t＝18時(shí)，潮水的高度上升速度為eq\f(π,8)m/h.∴曲線y＝eq\f(1,\r(x2－3x))在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))處的切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝4＝·(2×4－3)＝－eq\f(5,16).∴曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))處的切線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,16)(x－4)，即5x＋16y－28＝0.[規(guī)律方法]本例(2)不要將函數(shù)y＝eq\f(1,\r(x2－3x))看作是由y＝eq\f(1,u)，u＝eq\r(v)，v＝x2－3x三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的，這樣求導(dǎo)就麻煩了．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(1)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿意f′(3)＝9，則f(3x2)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值為_54__.(2)求證：雙曲線C1：x2－y2＝5與橢圓C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交點(diǎn)處的切線相互垂直．[解析](1)∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)，∴f(3x2)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值為6×1×f′(3)＝54.(2)證明：聯(lián)立兩曲線的方程，求得它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)為(3,2)．C1在第一象限的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝eq\r(x2－5)，于是有y′＝[(x2－5)eq\f(1,2)]′＝eq\f((x2－5)′,2\r(x2－5))＝eq\f(x,\r(x2－5))，∴k1＝y(tǒng)′|x＝3＝eq\f(3,2).C2在第一象限的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝eq\r(8－\f(4,9)x2).∴y′＝eq\f(－\f(8,9)x,2\r(8－\f(4,9)x2))＝－eq\f(2x,3\r(18－x2)).∴k2＝y(tǒng)′|x＝3＝－eq\f(2,3).∵k1·k2＝－1，∴兩切線相互垂直．易錯(cuò)警示對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)不完全而致誤在對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量及分析函數(shù)的復(fù)合層次是關(guān)鍵．一般從最外層起先，由外及里，一層層地求導(dǎo)，最終要把中間變量變成自變量的函數(shù)．典例5函數(shù)y＝xe1－2x的導(dǎo)數(shù)為y′＝_(1－2x)e1－2x__.[錯(cuò)解]y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.[正解]y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.[點(diǎn)評(píng)]錯(cuò)解中對(duì)e1－2x求導(dǎo)數(shù)，沒有根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則