第6章彎曲應力第6章彎曲應力§6.2純彎曲時的正應力§6.3彎曲正應力強度計算§6.4彎曲切應力§6.6提高彎曲強度的措施§6.1截面圖形的幾何性質§6.5彎曲切應力強度計算§6.1截面圖形的幾何性質返回總目錄zyOdAyz——圖形對于

z軸的靜矩——圖形對于y

軸的靜矩1.靜矩常用單位：mm3，cm3，m3也稱圖形對某軸的一次矩返回

一、靜矩與形心——即均質薄板的重心2.形心zyOdAyzAzCCyC若圖形對某軸的靜矩為0，則該軸過形心；若某軸過形心，則圖形對該軸的靜矩為0。返回例6-1

矩形截面試求陰影部分面積對z軸、y軸的靜矩。解：1.計算靜矩Sz陰影部分圖形的面積，陰影部分面積對z軸的靜矩形心坐標2.計算靜矩Sy因為y軸通過陰影部分圖形的形心C1，故Sy?=?0返回3.組合圖形的形心返回

已知：圖形尺寸如圖所示。

求：圖形的形心5027030300解：1．將圖形分解2.建立坐標系，確定形心位置ⅠⅡyz由于圖形對稱，故例6-2C2C1返回——圖形對z

軸的慣性矩——圖形對y軸的慣性矩zyOdAyzA二、慣性矩也稱圖形對某軸的二次矩常用單位：mm4，cm4，m4返回bhCyz已知：矩形截面b×h求：

Iz，IyydydA解：取平行于z軸的微元例6-3同理可得微元面積返回已知：圓截面直徑d求：Iz，IydCyz解：例6-4dA

截面對點C的極慣性矩CyzDd對空心圓截面返回例6-5求：No：20a工字鋼的Iz解：查型鋼表Iz=得2370cm4返回圖形對z

軸的慣性半徑圖形對y軸的慣性半徑zyOdAyz三、慣性半徑返回三、慣性半徑返回矩形的慣性半徑bhCyz三、慣性半徑返回空心圓截面的慣性半徑CyzDd圓形截面的慣性半徑dCyz圖形對yz軸的慣性積zyOdAyzA

四、慣性積常用單位：mm4，cm4，m4Iyz=(yizidA-yizidA)圖形有對稱軸時=0zyCdAdAyyz-z返回五、平行移軸定理dAyzAzcyczyOabCyczc兩對平行軸，yC、zC軸過形心同理可得：返回

已知：圖形尺寸如圖所示。求：圖形對zC

軸的慣性矩5027030300例6-6解：由例題Ⅰ-1解得

Izc=Izc(Ⅰ)+Izc(Ⅱ)yzyC1C2ⅡⅠCzC返回zyOz1y1

六、轉軸公式Iz1,Iy1,Iy1z1，隨

變化

當Iz1y1=0時,Iz1,Iy1有極值,一為最大,一為最小，這對軸稱為主慣性軸(簡稱主軸)返回IZ1,Iy1,Iz1y1，隨

變化當Iz1y1=0時,Iz1,Iy1有極值,一為最大,一為最小——這對軸稱為主慣性軸(簡稱主軸)形心主軸——過形心的主軸主慣性矩——圖形對主軸的慣性矩形心主慣性矩——圖形對形心主軸的慣性矩zyOz1y1

返回有對稱軸截面的慣性主軸zyCdAdAyyz-zIzy=(yizidA-yizidA)=0故：當圖形有對稱軸時，對稱軸和與之垂直的任意軸可組成多組主軸。

因：返回§6.2純彎曲時的正應力返回總目錄一、純彎曲梁的橫截面上同時有彎矩和剪力，稱為橫力彎曲。橫截面上只有正應力而無切應力。

梁橫截面上一般有兩個內力分量:剪力和彎矩。若只有彎矩，稱為純彎曲。橫截面上有正應力也有切應力。CD段為純彎曲AC、DB段為橫力彎曲PP返回從變形、物理及靜力平衡三方面分析。1.變形幾何關系◆

變形后，橫向線仍為直線，旋轉了一個角度，仍與縱向線正交；◆

縱向線彎成弧線，近凹邊縮短，近凸邊伸長。MM二、純彎曲時橫截面上的正應力提出假設：◆

梁的橫截面在變形后仍保持為平面，并和彎曲后的梁軸線垂直。◆

梁內各縱向“纖維”受到單向拉伸或壓縮，彼此間互不擠壓、互不牽拉。MM——彎曲變形的平面假設——單向受力假設中性軸

◆梁中間部位必然有一層既不伸長也不縮短的縱向“纖維”——中性層得出推論：◆縱向纖維可視為簡單拉壓。中性層中性層與橫截面的交線——中性軸變形前的長度:變形后的長度:應變即：純彎曲時橫截面上各點的縱向應變沿截面高度呈線性分布。距中性層y處縱向纖維的應變返回2.物理關系

因縱向纖維可視為簡單拉壓，當應力小于比例極限時，由胡克定律有:即:

純彎曲時橫截面上任一點的正應力與它到中性軸的距離y成正比，正應力沿截面高度呈線性分布。返回yzxOMzyσdA橫截面上的內力:3.靜力關系式中返回yzxOMzyσdA方程1：中性軸z

過形心式中返回yzxOMzyσdA方程2：因y

軸為對稱軸，故成立。式中返回yzxOMzyσdA方程3：式中——計算梁彎曲變形的基本公式——純彎曲梁橫截面正應力公式返回純彎曲時正應力公式返回說明：◆

M為彎矩；◆

y為點到中性軸的距離；◆

中性軸過橫截面形心；◆

Iz為橫截面對中性軸的慣性矩。(3)公式是從純彎曲梁推得，可推廣至橫力彎曲。純彎曲時正應力公式

公式的適用范圍(1)梁有縱向對稱面，且載荷作用在對稱面內;(2)材料服從胡克定律;返回橫力彎曲時，橫截面上有切應力平面假設不再成立縱向纖維無擠壓假設也不成立.但進一步分析表明：

將純彎曲時的正應力公式推廣至橫力彎曲，并不會引起很大誤差，一般能滿足工程問題所需的精度。返回例6.7已知：10號槽鋼制成的懸臂梁上作用有集中力F=1.2kN，集中力偶Me?=?2.2kN·m。試求：(1)?1-1截面上A、B兩點的正應力；(2)?2-2截面上C點的正應力。解：

1.繪制彎矩圖M1=1kN·m，M2=1.2kN·m2.中性軸位置和慣性矩Iz查表得：10號槽鋼t=5.3mm，b=48mm，y0=15.2mm，Iz=25.6×04mm4

3.計算1-1截面A、B點的正應力，解：

1.繪制彎矩圖M1=1kN·m，M2=1.2kN·m2.中性軸位置和慣性矩Iz查表得：10號槽鋼t=5.3mm，b=48mm，y0=15.2mm，Iz=25.6×04mm4

4.計算2-2截面C點的正應力，§6.3彎曲正應力強度計算返回總目錄

一、橫截面上的最大正應力令：則有：——抗彎截面系數1.中性軸為對稱軸的截面返回常見截面的Iz和Wz矩形截面圓形截面空心圓截面返回2.中性軸為非對稱軸的截面常用于抗拉壓能力不等的脆性材料。返回

二、彎曲強度條件1.中性軸為對稱軸的截面常用于抗拉壓能力相同的塑性材料2.中性軸為非對稱軸的截面常用于抗拉壓能力不等的脆性材料返回已知：

[s]=100MPa，P

=25.3kN。解：試：校核心軸強度。2.作彎矩圖支反力例6-81.作計算簡圖3.危險面

I截面

II截面

III截面返回4.強度校核

I截面返回4.強度校核

II截面返回4.強度校核III截面結論注意心軸滿足強度要求最大正應力并非發生在彎矩最大的截面，也非發生在尺寸最小的截面。返回已知:

a=150mm，

[s]=140MPa解：求:壓緊力P的許用值壓板可簡化為外伸梁1.作彎矩圖例6-9且B截面最薄弱2.確定危險截面B為危險截面3.計算B截面WZ返回看成組合體解：3.計算B截面WZ返回危險截面B：由強度條件：解：4.由強度條件計算許可載荷P返回已知:T形截面鑄鐵梁，[s拉]=30MPa，[s壓]=160MPa。

Iz=763cm4,且|y1|=52mm。試：校核梁的強度。解：2.作彎矩圖例6-102.5kN10.5kN3.確定危險面

B截面

C截面最大正彎矩為:最大負彎矩為:1.求支反力返回4.強度校核

B截面解：M返回4.強度校核C截面解：M結論梁滿足強度要求返回§6.4彎曲切應力返回總目錄

彎曲切應力的概念

當梁發生橫力彎曲時，橫截面上存在剪力，截面上與剪力對應的分布內力在各點的強弱程度稱為切應力，用

表示。切應力作用線位于橫截面內。返回一、矩形截面梁的切應力公式推導*儒拉夫斯基假設1）截面上任意一點的切應力

t與剪力FS的方向平行。2）切應力沿寬度均勻分布，即t的大小只與距離中性軸的距離有關。返回一、矩形截面梁的切應力公式推導*取梁中dx微段分析微段兩側截面切應力與剪力平行兩側截面彎矩不同，正應力也不相同。返回一、矩形截面梁的切應力公式推導*

為了研究橫截面上距離中性層y處的切應力，在該處用一個平行于中性層的縱截面，將微段的下半部分截出。返回一、矩形截面梁的切應力公式推導*研究x方向的平衡距中性軸為y處的橫線以外部分橫截面積A1對中性軸的靜矩。同理可得返回一、矩形截面梁的切應力公式推導*研究x方向的平衡由由于返回二、

矩形截面梁的切應力公式橫截面上的剪力整個截面對中性軸的慣性矩梁橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對中性軸的靜矩所求切應力點的位置的梁截面的寬度。上述公式對組合矩形截面梁亦可使用。返回二、矩形截面梁的切應力公式這樣，公式可以改寫為在截面上下邊緣，y=±h/2在中性層，y=0切應力分布規律如圖返回如圖所示，倒T形截面，若求圖示A點的切應力，則在應用公式時b

和Sz*應該如何計算？1.b

指的是A點截面寬度例6-11解：2.A點橫線以外面積對中性軸的靜矩可用

A點橫線以下面積計算：也可用

A點橫線以上面積計算：b=20

mm返回1.截面上各點

∥FS切應力分布假設:2.沿寬度,

均勻分布返回三、常見截面梁的切應力矩形截面返回三、常見截面梁的切應力圓形截面返回三、常見截面梁的切應力圓環形截面

最大切應力位于中性軸，大小為:橫截面中性軸z一側面積（上部或下部對z軸的靜矩）腹板寬度三、常見截面梁的切應力梯形截面返回由型鋼表查得腹板承擔了絕大部分剪力。腹板切應力近似公式:式中b,h為腹板寬和高腹板切應力近似為均勻分布;返回三、常見截面梁的切應力工字形截面§6.5彎曲切應力強度計算返回總目錄一、彎曲切應力的強度條件≤[τ]下列幾種情況的梁，需進行切應力強度校核：梁的跨度較短，或者有較大載荷作用在支座附近時。由鋼板和型鋼所組成的組合截面梁，如果腹板厚度和截面高度相比很小。由幾部分經鉚接或膠合而成的組合梁一般需對鉚釘或膠合面進行切應力強度校核。二、需進行切應力強度計算的情況

一般梁的高度遠小于跨度，彎曲切應力遠小于彎曲正應力，彎曲正應力是控制梁強度的主要因素，一般不必進行切應力校核。返回例6.12已知：圖示的工字鋼截面簡支梁，l?=?2?m，a?=?0.2，梁的載荷q?=?10?kN/m，F?=?200?kN，許用正應力[σ]=?100MPa，許用切應力[τ]=160?Mpa。?試：選擇工字鋼型號。

返回解：

(1)確定最大內力(2)根據正應力強度條件選擇工字鋼查型鋼表，22a號工字鋼Wz=309?cm3

(3)校核切應力強度查型鋼表得腹板厚度d?=?7.5?mm。最大切應力重新選擇25b號工字鋼d?=?10?mm故滿足強度條件返回例6-13已知：圖示由兩根20a號工字鋼鉚接而成的懸臂梁，承受集中力作用，載荷F?=?40kN，鉚釘直徑d=20mm，鉚釘的許用切應力[τ]=90MPa，不計兩工字鋼接觸面上的摩擦力。試：求鉚釘間所必需的間距。返回解：(1)計算鉚接面上的切應力。查型鋼表得20a號工字鋼：A=3.55×103mm2

，I′z=2.37×107?mm4，高度h?=?200?mm，翼緣寬度b?=?100?mm鉚接面上的切應力返回(2)計算鉚釘間距設鉚釘間距為t，則在此范圍內的切向內力系的合力

由兩個鉚釘來承擔鉚釘的剪切強度條件故鉚接間距不能大于471mm返回§6.6提高彎曲強度的措施