午練8空間角的計算1.若平面α的法向量為μ,直線l的方向向量為v,直線l與平面α的夾角為θ,則下列關系式成立的是()A.cosθ= B.cosθ=C.sinθ= D.sinθ=2.假如PA,PB,PC是從點P動身的三條射線,每兩條射線的夾角均為60°,那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是()A. B. C. D.3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=2,BC=CC1=4,D是棱AB的中點,則平面ABB1A1與平面B1CD所成角的正弦值為()A. B. C. D.4.(多選題)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點,則()A.<>=120°B.BD1⊥ACC.BD1⊥EB1D.∠BB1E=45°5.(多選題)將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,則()A.AC⊥BDB.△ACD是等邊三角形C.AB與平面BCD所成的角為60°D.AB與CD所成的角為90°6.(2024南通月考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,=4=4,則異面直線BE與B1F所成角的余弦值為.

7.二面角α-l-β的棱上有兩個點A,B,線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內,并且垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,則平面α與平面β的夾角為.

8.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長都為2,求平面AA1B與平面A1BC1夾角的余弦值.9.如圖,△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°.求:(1)直線AD與直線BC所成角的大小;(2)直線AD與平面BCD所成角的大小;(3)平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.午練8空間角的計算1.D由題意得sinθ=|cos<μ,v>|=,故選D.2.C如圖所示,把PA,PB,PC放在正方體中,PA,PB,PC的夾角為60°.建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方體棱長為1,則P(1,0,0),C(0,0,1),A(1,1,1),B(0,1,0).∴=(-1,0,1),=(0,1,1),=(-1,1,0).設平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,則y=1,z=-1,∴n=(1,1,-1),∴cos<,n>===.設直線PC與平面PAB所成角為θ,∴sinθ=|cos<,n>|=,∴cosθ==.3.B如圖,以C為坐標原點建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),C(0,0,0),B(0,4,0),D(1,2,0),B1(0,4,4).設平面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z),∵=(2,-4,0),=(0,0,4),則令x=2,則y=1,z=0,∴n=(2,1,0).同理可得,平面B1CD的一個法向量為m=(2,-1,1),故cos<n,m>===.設平面ABB1A1與平面B1CD的所成角為θ∈,則cosθ=,故平面ABB1A1與平面B1CD所成角的正弦值sinθ==.故選B.4.ABC建立如圖所示的空間直角坐標系,設該正方體的棱長為2,則A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),B1(2,2,2),所以=(0,2,-2),=(-2,-2,0),所以cos<,>===-.因為0°≤<,>≤180°,所以<,>=120°,故選項A正確.因為=(-2,-2,2),=(-2,2,0),所以·=4-4=0?⊥?BD1⊥AC,故選項B正確.因為=(-2,-2,2),=(1,1,2),所以·=-2-2+4=0?⊥?BD1⊥EB1,故選項C正確.因為=(0,0,-2),=(-1,-1,-2),所以cos<,>===,所以∠BB1E=45°不正確,故選項D不正確.故選ABC.5.AB如圖,取BD的中點O,連接OC,OA.因為AB=AD,BC=DC,所以OC⊥BD,OA⊥BD.因為OC∩OA=O,OC,OA?平面OAC,所以BD⊥平面AOC.因為AC?平面AOC,所以BD⊥AC,A正確.不妨設正方形的邊長為a,則CD=AD=a,則AO=CO=a.因為二面角A-BD-C為直二面角,OC⊥BD,OA⊥BD,所以∠AOC即為二面角A-BD-C的平面角,且∠AOC=90°.由勾股定理得AC==a,故CD=AD=AC,△ACD是等邊三角形,B正確.由A,B選項可知AO⊥OC,AO⊥BD,OC∩BD=O,OC,BD?平面BCD,所以AO⊥平面BCD,故AB與平面BCD所成的角為∠ABO,且∠ABO=45°,故AB與平面BCD所成的角為45°,C錯誤.如圖,以O為坐標原點,OA,OD,OC所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,又AB=a,則Aa,0,0,B0,-a,0,C0,0,a,D,則=0,-a,0-a,0,0=-a,-a,0,=0,a,0-0,0,a=0,a,-a,則·=·=-a2≠0,故AB與CD所成的角不為90°,D錯誤.故選AB.6.如圖,以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設AB=5,則B(5,5,0),B1(5,5,5).因為=4,=4,所以E(0,5,4),F(1,0,5),所以=(-5,0,4),=(-4,-5,0),所以cos<,>===,故異面直線BE與B1F所成角的余弦值為.故答案為.7.60°設平面α與平面β的夾角為θ,因為AC⊥AB,BD⊥AB,所以·=0,·=0.由題意得=++,所以==+++2·+2·+2·=+++2·=36+16+64+2×6×8×cos(180°-θ)=,所以cos(180°-θ)=-,即cosθ=,所以θ=60°,即平面α與平面β的夾角為60°.故答案為60°.8.解因為正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長均為2,取BC的中點O,則AO⊥BC,所以AO⊥平面BB1C1C.取B1C1的中點H,所以AO,BO,OH兩兩垂直,故以O為原點,建立下圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,),B(1,0,0),A1(0,2,),C1(-1,2,0),所以=(1,0,-),=(0,2,0),=(-2,2,0),=(-1,2,).設平面AA1B的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),則令z1=1,得n1=(,0,1).同理可得平面A1BC1的一個法向量為n2=(,,-1),所以cos<n1,n2>===.設平面AA1B與平面A1BC1夾角為θ,易知θ為銳角,則cosθ=|cos<n1,n2>|=,即平面AA1B與平面A1BC1夾角的余弦值為.9.解設AB=1,如圖,作AO⊥BC于點O,連接DO,以O為原點,OD,OC,OA所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則O(0,0,0),D,0,0,B0,,0,C0,,0,A0,0,.(1)因為=,0,-,=(0,1,0),·=,0,-·(0,1,0)=0,所以AD與BC所成的角等于90°.(2)=,0,-,明顯n1=(0,0,1)為平面BCD的一個法向量,設AD與平面B