第03講等比數列及其前n項和目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：等比數列的基本運算 2題型二：等比數列的判定與證明 2題型三：等比數列項的性質應用 3題型四：等比數列前n項和的性質 3題型五：奇偶項求和問題的討論 3題型六：等差數列與等比數列的綜合應用 4題型七：等比數列的范圍與最值問題 5題型八：等比數列的實際應用 6題型九：公共項與插項問題 602重難創新練 803真題實戰練 11題型一：等比數列的基本運算1．（2024·山東濟南·三模）已知是等比數列，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·模擬預測）已知是各項均為正數的等比數列，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·江西·二模）已知等比數列的前項和為，，且，則（

）A．120 B．40 C．48 D．60題型二：等比數列的判定與證明4．（2024·江西·模擬預測）已知數列滿足，．令，證明：數列為等比數列；5．已知數列滿足，判斷數列是否是等比數列？若是，給出證明；否則，請說明理由；6．已知非零向量列滿足：，，（，）.證明：數列是等比數列.7．已知數列和滿足：，，，，其中．證明：數列是等比數列；題型三：等比數列項的性質應用8．已知數列是等比數列，且，則的值為.9．已知是正項等比數列，若則的最小值等于.10．已知數列是各項均為正數的等比數列，則的最小值為．11．（2024·河南新鄉·二模）已知等比數列的首項為，且，則.題型四：等比數列前n項和的性質12．（2024·上海閔行·三模）設是等比數列的前項和，若，，則.13．已知一個等比數列首項為1，項數是偶數，其奇數項之和為341，偶數項之和為682，則這個數列的項數為14．已知數列的前項和，若此數列為等比數列，則．題型五：奇偶項求和問題的討論15．（2024·河北張家口·三模）已知數列的前n項和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．16．數列滿足，，則數列的前項和為（）A． B． C． D．17．（2024·高三·河南南陽·期中）已知數列滿足，.(1)記，證明數列是等比數列，并求的通項公式；(2)求的前30項和．18．（2024·高三·河北張家口·期末）已知數列滿足，.(1)若，證明：數列為等比數列；(2)求數列的前2n項和．19．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足且．(1)求數列的通項公式．(2)求數列的前100項和．題型六：等差數列與等比數列的綜合應用20．（2024·山東青島·三模）已知等差數列的公差，首項，是與的等比中項，記為數列的前項和，則21．（2024·湖北黃岡·二模）已知等差數列的前項和為是等比數列，若，且，則的最小值為.22．已知函數的兩個零點分別為，，若，，三個數適當調整順序后可為等差數列，也可為等比數列，則（

）A．1 B． C． D．題型七：等比數列的范圍與最值問題23．（多選題）設等比數列的公比為，其前項和為前項積為并滿足條件，，下列結論正確的是（

）A． B．C．是數列中的最大值 D．數列無最大值24．（多選題）設公比為的等比數列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．是數列中的最大值 D．是數列中的最小值25．（多選題）（2024·高三·江西·期中）在等比數列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（

）A．為單調遞增數列 B．C．為的最大項 D．無最大項26．（多選題）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足，，則下列選項正確的是（

）A．為遞減數列 B．C．是數列中的最小項 D．當時，的最小值為4045題型八：等比數列的實際應用27．（2024·陜西西安·模擬預測）某人從銀行貸款100萬，貸款月利率為年還清，約定采用等額本息按月還款(即每個月還相同數額的款，240個月還清貸款的利息與本金)，則每月大約需還款（

）(參考數據：A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元28．（2024·河南洛陽·模擬預測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質地的紙張進行創作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創作出或簡練、或復雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發展，現代折紙技術已發展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經裁剪的正方形紙張所創作出來的，是我們中華民族的傳統文化，歷史悠久，內涵博大精深，世代傳承．在一次數學實踐課上某同學將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A． B． C． D．29．（2024·廣東佛山·模擬預測）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據年限折舊法，設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（

）A．14 B．15 C．16 D．1730．（2024·高三·四川·期中）剪紙和折紙都是中華民族的傳統藝術，在折紙界流傳著“折不過8”的說法，為了驗證這一說法，有人進行了實驗，用一張邊長為的正方形紙，最多對折了13次.記第一次對折后的紙張厚度為，第2次對折后的紙張厚度為，以此類推，設紙張未折之前的厚度為毫米，則（

）A． B． C． D．題型九：公共項與插項問題31．（2024·吉林長春·模擬預測）設為數列的前n項和，且，數列的通項公式為，將數列與的公共項按它們在原來數列中的先后順序排成一個新數列數列的通項公式為．32．（2024·廣西·模擬預測）記數列的前n項和為，對任意正整數n，有．(1)求數列的通項公式；(2)對所有正整數m，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數列，求的前91項和．33．（2024·高三·天津·期末）已知公差為的等差數列和公比的等比數列中，，．(1)求數列和的通項公式；(2)求；(3)若在數列任意相鄰兩項之間插入一個實數，從而構成一個新的數列．若實數滿足，求數列的前項和．34．（2024·浙江嘉興·二模）已知是首項為2，公差為3的等差數列，數列滿足.(1)證明是等比數列，并求的通項公式；(2)若數列與中有公共項，即存在，使得成立.按照從小到大的順序將這些公共項排列，得到一個新的數列，記作，求.35．（2024·吉林通化·一模）記為公比不為1的等比數列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)設，若由與的公共項從小到大組成數列，求數列的前項和．1．（2024·北京海淀·二模）設是公比為的無窮等比數列，為其前項和．若，則“”是“數列存在最小項”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件2．（2024·天津和平·三模）已知數列滿足，，是數列的前項和，則（

）A． B． C． D．3．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）數列的前項和為，則（

）A． B． C． D．4．（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房出發向右爬，每次只能爬向右側相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房……以此類推，用表示蜜蜂爬到號蜂房的方法數，則（

）A．1 B． C．2 D．5．（2024·重慶·模擬預測）在半徑為1的圓中作內接正方形，作正方形的內切圓，再作圓的內接正方形，依此方法一直繼續下去．我們定義每作出一個正方形為一次操作，則至少經過（

）次操作才能使所有正方形的面積之和超過．A．9 B．10 C．11 D．126．（2024·河南·模擬預測）已知數列滿足，且，則（

）A． B． C． D．7．（2024·江西南昌·三模）已知數列的前項和為，且滿足，，則的值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．158．（2024·北京·三模）為公差不為零的等差數列，是其前項和，是等比數列，是其前項和，則下列說法正確的是（

）A．對任意，，如果，那么B．存在，，滿足，且C．對任意，，如果，那么D．存在，，滿足，且9．（多選題）（2024·黑龍江·模擬預測）分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的創立為解決傳統科學領域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照圖①的分形規律生長成一個圖②的樹形圖，設圖②中第n行白心圈的個數為，黑心圈的個數為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．數列為等比數列D．圖②中第2023行的黑心圈的個數是10．（多選題）（2024·江西南昌·三模）已知是單調遞減的等比數列，若，前3項和，則下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．11．（多選題）關于等差數列和等比數列，下列說法不正確的是（

）A．若數列為等比數列，且其前項的和，則B．若數列為等比數列，且，則C．若數列為等比數列，為前項和，則，，，…成等比數列D．若數列為等差數列，，則最小12．（2024·浙江金華·模擬預測）已知某種細菌培養過程中，每小時1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌.則1個正常細菌經過8小時的培養，可分裂成的細菌的個數為（用數字作答）.13．（2024·山東青島·模擬預測）已知數列的前項和為，且滿足，則.14．（2024·河北·模擬預測）下圖數陣的每一行最右邊數據從上到下形成以1為首項，以2為公比的等比數列，每行的第個數從上到下形成以為首項，以3為公比的等比數列，則該數陣第行所有數據的和.15．（2024·浙江紹興·三模）已知數列的前n項和為，且，，設．(1)求證：數列為等比數列；(2)求數列的前項和．16．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知數列滿足.(1)證明：數列是等比數列，并求出數列的通項公式；(2)設，數列的前項和為，若對于任意恒成立，求實數的取值范圍.17．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知數列的前n項積為，數列滿足，徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．3．（2023年北京高考數學真題）我國度量衡的發展有著悠久的歷史，戰國時期就已經出現了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環權”．已知9枚環權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列，該數列的前3項成等差數列，后7項成等比數列，且，則；數列所有項的和為．4．（2023年高考全國甲卷數學（文）真題）記為等比數列的前項和．若，則的公比為．5．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）已知為等比數列，，，則.6．（2022年新高考北京數學高考真題）已知數列各項均為正數，其前n項和滿足．給出下列四個結論：①的第2項小于3；

②為等比數列；③為遞減數列；

④中存在小于的項．其中所有正確結論的序號是．7．（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）已知等比數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和.8．（2022年高考全國甲卷數學（理）真題）記為數列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數列；(2)若成等比數列，求的最小值．9．（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．10．（2021年浙江省高考數學試題）已知數列的前n項和為，，且.（1）求數列的通項；（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.11．（2022年新高考浙江數學高考真題）已知等差數列的首項，公差．記的前n項和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實數，使成等比數列，求d的取值范圍．12．（2022年新高考全國II卷數學真題）已知為等差數列，是公比為2的等比數列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數．第03講等比數列及其前n項和目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：等比數列的基本運算 2題型二：等比數列的判定與證明 3題型三：等比數列項的性質應用 4題型四：等比數列前n項和的性質 5題型五：奇偶項求和問題的討論 6題型六：等差數列與等比數列的綜合應用 9題型七：等比數列的范圍與最值問題 10題型八：等比數列的實際應用 13題型九：公共項與插項問題 1402重難創新練 1803真題實戰練 29題型一：等比數列的基本運算1．（2024·山東濟南·三模）已知是等比數列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設等比數列的公比為，因為，所以，得到，所以，由，得到，所以，故選：C.2．（2024·湖北·模擬預測）已知是各項均為正數的等比數列，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由題設易知，公比，設，從而由得，，由得，，則，故選：D．3．（2024·江西·二模）已知等比數列的前項和為，，且，則（

）A．120 B．40 C．48 D．60【答案】B【解析】因為數列為等比數列，設數列的公比為，若，則，此時，由已知，即，解得，不成立，所以；因為，，則有：，解得，，所以.故選：B題型二：等比數列的判定與證明4．（2024·江西·模擬預測）已知數列滿足，．令，證明：數列為等比數列；【解析】，則，，故是以首項為3，公比為3的等比數列．5．已知數列滿足，判斷數列是否是等比數列？若是，給出證明；否則，請說明理由；【解析】數列成等比數列.根據得；，，，即數列成等比數列.6．已知非零向量列滿足：，，（，）.證明：數列是等比數列.【解析】證明：因為，（，），所以，（，），故，故，故是以為首項，為公比的等比數列.7．已知數列和滿足：，，，，其中．證明：數列是等比數列；【解析】由數列滿足，，可得，顯然，即又由，，可得，所以數列是以首項，公比等于的等比數列.題型三：等比數列項的性質應用8．已知數列是等比數列，且，則的值為.【答案】9【解析】由等比數列的性質知：，，，所以，又，所以.故答案為：99．已知是正項等比數列，若則的最小值等于.【答案】/【解析】由可得，所以，當且僅當時，即時，取等號，故的最小值為，故答案為：10．已知數列是各項均為正數的等比數列，則的最小值為．【答案】/【解析】由題意知數列是各項均為正數的等比數列，設公比為q，則（當且僅當時等號成立），，又（當且僅當時等號成立），故的最小值為．故答案為：11．（2024·河南新鄉·二模）已知等比數列的首項為，且，則.【答案】【解析】設等比數列的公比為，因為，根據等比數列的通項公式的計算得到：，所以.由等比數列的性質得到：.故答案為128.題型四：等比數列前n項和的性質12．（2024·上海閔行·三模）設是等比數列的前項和，若，，則.【答案】5【解析】由題意得，，因為，，，，成等比數列，故，即，解得，則，所以，，故.故答案為：13．已知一個等比數列首項為1，項數是偶數，其奇數項之和為341，偶數項之和為682，則這個數列的項數為【答案】10【解析】設等比數列項數為項，公比為，由題意可求出，結合等比數列的性質和前項和公式可知，進而可求出項數.設等比數列項數為項，公比為，則，，由，解得，因為是公比為的等比數列，則，即，解得，故答案為:10.14．已知數列的前項和，若此數列為等比數列，則．【答案】【解析】因為數列的前項和，所以，；又，因為數列為等比數列，則也滿足，即，解得.故答案為題型五：奇偶項求和問題的討論15．（2024·河北張家口·三模）已知數列的前n項和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數列，所以，，記的前n項和為，則.故選：A16．數列滿足，，則數列的前項和為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為且為奇數時，所以所有奇數項構成為首項，為公差的等差數列，又因為且為偶數時，，即所有偶數項構成為首項，為公比的等比數列，所以.故選：D.17．（2024·高三·河南南陽·期中）已知數列滿足，.(1)記，證明數列是等比數列，并求的通項公式；(2)求的前30項和．【解析】（1）由題意得，即，且，所以是以3為首項，3為公比的等比數列，故；（2）．18．（2024·高三·河北張家口·期末）已知數列滿足，.(1)若，證明：數列為等比數列；(2)求數列的前2n項和．【解析】（1）由題意，得，，故，所以，即，又，所以數列是以1為首項，為公比的等比數列．（2）由上知，故，所以．設，故．19．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足且．(1)求數列的通項公式．(2)求數列的前100項和．【解析】（1）由題意，得當時，，①．②將①代入②，得，所以是首項為1，公比為2的等比數列，所以．又因為，所以，所以．令，則，而，，所以是首項為2，公比為2的等比數列，所以，所以．所以．（2）．題型六：等差數列與等比數列的綜合應用20．（2024·山東青島·三模）已知等差數列的公差，首項，是與的等比中項，記為數列的前項和，則【答案】105【解析】等差數列中，，是與的等比中項，設公差為，所以，即，解得或（不合題意，舍去）；所以．故答案為：．21．（2024·湖北黃岡·二模）已知等差數列的前項和為是等比數列，若，且，則的最小值為.【答案】5【解析】設等差數列的公差為，因為，可知，且，則，即，所以；又因為是等比數列，且，則，顯然，可得，則，所以最小值為5.故答案為：5.22．已知函數的兩個零點分別為，，若，，三個數適當調整順序后可為等差數列，也可為等比數列，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】不妨設，由韋達定理可知，，，故，所以調整順序后，，或，，成等差數列，，，成等比數列，所以且，，，，，故，故選：D．題型七：等比數列的范圍與最值問題23．（多選題）設等比數列的公比為，其前項和為前項積為并滿足條件，，下列結論正確的是（

）A． B．C．是數列中的最大值 D．數列無最大值【答案】AB【解析】由可得，由可知，，當時，則，不成立，故，且，故，A正確；，故B正確；是數列中的最大值，C，D錯誤.故選：AB24．（多選題）設公比為的等比數列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．是數列中的最大值 D．是數列中的最小值【答案】AB【解析】當時，則，不合乎題意；當時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A正確；對任意的，，且有，可得，此時，數列為單調遞減數列，則，結合可得，結合數列的單調性可得，，故，，∴，故B正確；因為，數列為單調遞減數列，所以是數列中的最大值，故CD錯誤.故選：AB.25．（多選題）（2024·高三·江西·期中）在等比數列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（

）A．為單調遞增數列 B．C．為的最大項 D．無最大項【答案】BC【解析】由，因此.又因為則.當時，，則，，則，與題意矛盾.因此.則為單調遞減數列，故選項A錯誤.而，故，選項B正確.又因為為單調遞減數列，則，由可知，，，所以當時，，則.當時，，則.因此的最大項為，則選項C正確，選項D錯誤.故答案為：BC.26．（多選題）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足，，則下列選項正確的是（

）A．為遞減數列 B．C．是數列中的最小項 D．當時，的最小值為4045【答案】BC【解析】因為，所以，則各項為正數，所以，即為遞增數列，A錯誤；由A項及可得，則，故B正確；由上可知，故，即C正確；由，顯然的最小值不為4045，即D錯誤.故選：BC.題型八：等比數列的實際應用27．（2024·陜西西安·模擬預測）某人從銀行貸款100萬，貸款月利率為年還清，約定采用等額本息按月還款(即每個月還相同數額的款，240個月還清貸款的利息與本金)，則每月大約需還款（

）(參考數據：A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元【答案】B【解析】設每月需還款萬元，第一期還款后，還欠銀行萬元，第二期還款后，還欠銀行萬元，設第期還款后，還欠銀行萬元，則，且，所以是公比為1.005的等比數列，所以.令，解得，即每月大約需還款7165元.故選：B.28．（2024·河南洛陽·模擬預測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質地的紙張進行創作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創作出或簡練、或復雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發展，現代折紙技術已發展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經裁剪的正方形紙張所創作出來的，是我們中華民族的傳統文化，歷史悠久，內涵博大精深，世代傳承．在一次數學實踐課上某同學將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，對折后的等腰直角三角形的腰長成等比數列，且首項為，公比為，故對折6次后，得到腰長為的等腰直角三角形，所以斜邊長為.故選：A．29．（2024·廣東佛山·模擬預測）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據年限折舊法，設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【解析】根據題意可知，列不等式，即，又，可得.故選：B30．（2024·高三·四川·期中）剪紙和折紙都是中華民族的傳統藝術，在折紙界流傳著“折不過8”的說法，為了驗證這一說法，有人進行了實驗，用一張邊長為的正方形紙，最多對折了13次.記第一次對折后的紙張厚度為，第2次對折后的紙張厚度為，以此類推，設紙張未折之前的厚度為毫米，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意數列是等比數列，公比是2，且，∴，故選：C．題型九：公共項與插項問題31．（2024·吉林長春·模擬預測）設為數列的前n項和，且，數列的通項公式為，將數列與的公共項按它們在原來數列中的先后順序排成一個新數列數列的通項公式為．【答案】【解析】由，可得，解得，當時，，即，可得數列是首項和公比均為3的等比數列，所以，設是的第m項，則，因為，所以不是中的項，因為，所以是中的項，所以所以.故答案為：.32．（2024·廣西·模擬預測）記數列的前n項和為，對任意正整數n，有．(1)求數列的通項公式；(2)對所有正整數m，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數列，求的前91項和．【解析】（1）當時，．又時，得，也滿足上式，故．（2）由，所以，又，所以前91項中有87項來自，所以．33．（2024·高三·天津·期末）已知公差為的等差數列和公比的等比數列中，，．(1)求數列和的通項公式；(2)求；(3)若在數列任意相鄰兩項之間插入一個實數，從而構成一個新的數列．若實數滿足，求數列的前項和．【解析】（1）由已知，得，解得，；（2）記，所以，，作差得：，；（3）由（1）得，則，所以.34．（2024·浙江嘉興·二模）已知是首項為2，公差為3的等差數列，數列滿足.(1)證明是等比數列，并求的通項公式；(2)若數列與中有公共項，即存在，使得成立.按照從小到大的順序將這些公共項排列，得到一個新的數列，記作，求.【解析】（1）由題意可得：，而，變形可得：，故是首項為3，公比為3的等比數列.從而，即.（2）由題意可得：，，令，則，此時滿足條件，即時為公共項，所以.35．（2024·吉林通化·一模）記為公比不為1的等比數列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)設，若由與的公共項從小到大組成數列，求數列的前項和．【解析】（1）設等比數列的公比為，因為，即，即，所以，又，即，解得，所以.（2）由（1）可得，則數列為、、、、，偶數組成的數列，又，令，則為正偶數，所以，，，，，所以為以為首項，為公比的等比數列，所以.1．（2024·北京海淀·二模）設是公比為的無窮等比數列，為其前項和．若，則“”是“數列存在最小項”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【解析】當時，，因為，所以此時數列遞增，存在是最小項，當且，，當，時，可知數列遞增，存在是最小項，當，時，可知數列還是遞增，存在是最小項，綜上“”是“數列存在最小項”的充分條件；當，，不妨取：，，則，,當時，，即此時是最小項，即“”不是“數列存在最小項”的必要條件，綜上可知：“”是“數列存在最小項”的充分不必要條件，故選：A.2．（2024·天津和平·三模）已知數列滿足，，是數列的前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，由于，則，所以，所以數列是以2為公比，2為首項的等比數列，所以，所以，所以，故選：D3．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）數列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，時，，兩式相減得，，即，，因為，即，所以數列是以1為首項，以為公比的等比數列，則．故選：B．4．（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房出發向右爬，每次只能爬向右側相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房……以此類推，用表示蜜蜂爬到號蜂房的方法數，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】依題意，（），，當時，，又，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以.故選：A.5．（2024·重慶·模擬預測）在半徑為1的圓中作內接正方形，作正方形的內切圓，再作圓的內接正方形，依此方法一直繼續下去．我們定義每作出一個正方形為一次操作，則至少經過（

）次操作才能使所有正方形的面積之和超過．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】第一個正方形的邊長為，面積為，第二個正方形的邊長為，面積為，第三個正方形的邊長為，面積為，……以此類推，正方形的面積是首項為，公比為的等比數列，由，，所以，所以至少經過次操作才能使所有正方形的面積之和超過．故選：C6．（2024·河南·模擬預測）已知數列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，又，令，可得，解得，所以，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，整理得，故．故選：C．7．（2024·江西南昌·三模）已知數列的前項和為，且滿足，，則的值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．15【答案】B【解析】因為，且，則，化簡可得，若，則，且，則數列是以為首項，為公差的等差數列，則，所以，則，排除D；若，則，即，且，則數列是以為首項，為公比的等比數列，則，所以，則，排除A；再由計算，，即，解得或，取，，即，解得或，取，，即，解得或，取，，即，解得或，取，此時，排除C；故選：B8．（2024·北京·三模）為公差不為零的等差數列，是其前項和，是等比數列，是其前項和，則下列說法正確的是（

）A．對任意，，如果，那么B．存在，，滿足，且C．對任意，，如果，那么D．存在，，滿足，且【答案】C【解析】對于A：是首項為，公差為，則滿足，但不滿足，故A錯誤；對于B：若，則可得或或或，不妨取，由等差數列的前項和公式可得，所以，故B錯誤；對于C：若，則或或或，顯然公比，由等比數列前項和公式可得，故，所以必為偶數，可得，所以，故C正確；對于D：，則等比數列的公比為，則，故，故D錯誤.故選：C.9．（多選題）（2024·黑龍江·模擬預測）分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的創立為解決傳統科學領域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照圖①的分形規律生長成一個圖②的樹形圖，設圖②中第n行白心圈的個數為，黑心圈的個數為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．數列為等比數列D．圖②中第2023行的黑心圈的個數是【答案】ACD【解析】由題可得，，故A正確，B錯誤；，，，且有，，故有所以是以為首項，3為公比的等比數列，為常數列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數列，故C正確；由上可得故所以，故D正確.故選：ACD.10．（多選題）（2024·江西南昌·三模）已知是單調遞減的等比數列，若，前3項和，則下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由題意，設等比數列公比為，則，解得或，由因為數列為單調遞減的等比數列，所以，所以，.故選：AD.11．（多選題）關于等差數列和等比數列，下列說法不正確的是（

）A．若數列為等比數列，且其前項的和，則B．若數列為等比數列，且，則C．若數列為等比數列，為前項和，則，，，…成等比數列D．若數列為等差數列，，則最小【答案】CD【解析】對于A，由，得，數列為等比數列，則，解得，經驗證符合題意，A正確；對于B，等比數列中，由，得，則，B正確；對于C，等比數列的公比，為偶數時，，，，，…不成等比數列，C錯誤；對于D，設等差數列的公差為，由，得，整理得，當時，沒有最小值，D錯誤.故選：CD12．（2024·浙江金華·模擬預測）已知某種細菌培養過程中，每小時1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌.則1個正常細菌經過8小時的培養，可分裂成的細菌的個數為（用數字作答）.【答案】【解析】設經過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，.又，，所以，，則，所以，所以是首項和公差均為的等差數列，所以，所以，所以，即1個正常細菌經過8小時的培養，可分裂成個細菌.故答案為：.13．（2024·山東青島·模擬預測）已知數列的前項和為，且滿足，則.【答案】【解析】因為，所以，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，則，記的前項和為，則.故答案為：14．（2024·河北·模擬預測）下圖數陣的每一行最右邊數據從上到下形成以1為首項，以2為公比的等比數列，每行的第個數從上到下形成以為首項，以3為公比的等比數列，則該數陣第行所有數據的和.【答案】【解析】因為每行的第n個數從上到下形成以為首項，以3為公比的等比數列，所以,所以.故答案為：.15．（2024·浙江紹興·三模）已知數列的前n項和為，且，，設．(1)求證：數列為等比數列；(2)求數列的前項和．【解析】（1），即，即，則，即，即，又，故數列是以為首項、以為公比的等比數列.（2）由（1）易得，即，則，則，有，則，故.16．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知數列滿足.(1)證明：數列是等比數列，并求出數列的通項公式；(2)設，數列的前項和為，若對于任意恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）由題可知：，又，故是首項為2，公比為2的等比數列，，即.（2），，且當趨于時，趨近于1，所以由恒成立，可知，解得.17．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知數列的前n項積為，數列滿足，（，）．(1)求數列，的通項公式；(2)將數列，中的公共項從小到大排列構成新數列，求數列的通項公式．【解析】（1），，當時，，當時，，即，而，滿足上式，所以數列的通項公式為；若數列滿足，（，），則，從而數列的通項公式為；（2）令，解得，這表明，從而只能，所以，所以數列的通項公式為.18．（2024·河北衡水·三模）已知數列滿足：．(1)請寫出的值，給出一個你的猜想，并證明；(2)設，求數列的前項和．【解析】（1）因為，可得，，，因此猜想是以1為首項，為公比的等比數列；下面證明：因為，即，又因為，故是以1為首項，為公比的等比數列，所以數列的通項公式為．（2）由（1）知，當時，，累加得，所以，當時，滿足題意，所以對成立；故，可得其中，設，則，兩式相減得，即，綜上可得，數列的前項和．19．（2024·山西太原·三模）已知等比數列的前項和為，且也是等比數列.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.【解析】（1）設數列的公比為，由是等比數列得，或(舍去)，.（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，.1．（多選題）（2021年全國新高考II卷數學試題）設正整數，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.2．（2024年北京高考數學真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．【答案】2357.5/【解析】設升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.3．（2023年北京高考數學真題）我國度量衡的發展有著悠久的歷史，戰國時期就已經出現了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環權”．已知9枚環權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列，該數列的前3項成等差數列，后7項成等比數列，且，則；數列所有項的和為．【答案】48384【解析】方法一：設前3項的公差為，后