第一章直角三角形的邊角關系1銳角三角函數第1課時正切

對邊

鄰邊

tan

A

tan

A

注意：（1）tan

A是在直角三角形中定義的，∠A是一

個銳角（注意數形結合，構造直角三角形）.（2）tan

A是一個比值，所以無單位.（3）tan

A的大小只與∠A的大小有關，而與直角三角

形的邊長長短無關.（4）兩銳角相等，則正切值相等；兩銳角的正切值相

等，則這兩個銳角相等.（5）兩個互余的角，正切值的乘積等于1，即tan

A·tan（90°－A）＝1.2.

判斷梯子的傾斜程度用正切來描述梯子的傾斜程度，正切值越

，梯子

越

?.大

陡

鉛直高度

水平寬度

注意：（1）坡面與水平面的夾角叫坡角.（2）坡度等于坡角（記作α）的正切值，即i＝tan

α.

題型一

根據邊長求正切值

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12

cm，AB＝20

cm.（1）求tan

A和tan

B的值；（2）過點C作CD⊥AB于點D，求tan∠ACD的值.[分析]

（1）先用勾股定理求出邊AC的長，再直接根據

正切的定義求tan

A和tan

B的值；（2）利用同角的余角相等，可得∠ACD＝∠B，由等

角的正切值相等即可求出tan∠ACD的值.

[方法總結]解決此類問題的關鍵是找準對應邊，準確表

示所求角的正切.當所需邊未知時，通常需要結合已知

條件利用勾股定理求解.當兩個角相等時，它們的正切

值也相等，所以有時我們可以轉換角來求正切值.跟蹤訓練1.

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC∶AB＝

3∶5，則tan

A的值為（C

）（第1題）C2.

如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，D

是CB延長線上的一點，且BD＝BA，則tan∠DAC的

值為

?.（第2題）

題型二

根據正切值求邊長及相關量

圖1

圖2

圖3

跟蹤訓練

（第3題）9

4.

如圖，在?ABCD中，DB＝DA，點F是AB的中

點，連接DF并延長，交CB的延長線于點E，連接AE.

（1）求證：四邊形AEBD是菱形；（第4題）（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四

邊形，∴AD∥CE.

∴∠DAF＝∠EBF.

∵點F是AB的中點，∴AF＝BF.

（第4題）又∵∠AFD＝∠BFE，

∴△AFD≌△BFE.

∴AD＝BE.

∵AD∥EB，∴四邊形AEBD是平行四邊形.又∵BD＝AD，∴四邊形AEBD是菱形.

（第4題）

（第4題）題型三

解決與坡度有關的問題

如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬AD

＝5

m，斜坡AB的坡度i＝1∶3（指坡面的鉛直高度AE

與水平寬度BE的比），斜坡DC的坡度i＝1∶1.5，已知

該攔水壩的高為6

m.（1）求斜坡AB的長；

（2）求攔水壩的橫斷面梯形ABCD的周長.解：（2）如答案圖，過點D作DF⊥BC于點F，可得

四邊形AEFD是矩形，故EF＝AD.

（答案圖）

跟蹤訓練

（第5題）6

6.

如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為

18

cm，深為30

cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜

坡，設臺階的起點為A，斜坡的起始點為C，現設計斜

坡BC的坡度i＝2∶5，求AC的長度.解：如圖，過點B作BD⊥AC，交CA的延長線于點D.

（第6題）根據題意，得AD＝30×2＝