PAGEPAGE5綜合提升A級基礎鞏固1.雙曲線x2-y2m=1的離心率大于2的充分必要條件是(A.m>12B.mC.m>1D.m>2解析:由題意,知a=1,b=m,則c=1+m因為e=ca=1+m>2,所以m答案:C2.若雙曲線x2-my2=1的實軸長是虛軸長的2倍,則m等于()A.14B.C.2D.4解析:雙曲線x2-my2=1的實軸長為2,虛軸長為21m.由題意,可得2=41m,解得m答案:D3.若雙曲線的實軸和虛軸等長,且過點(5,3),則雙曲線方程為 ()A.x225-y225=1B.C.y216-x216=1D.解析:由題意,知所求雙曲線是等軸雙曲線,設其方程為x2-y2=λ(λ≠0),將點(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,所以雙曲線方程為x2-y2=16,即x216-y答案:D4.若0<k<a2,則雙曲線x2a2-k-y2bA.相同的虛軸B.相同的實軸C.相同的漸近線D.相同的焦點解析:對于雙曲線x2a2-k-y2b2+k=1有c2=a2-k+b2+k=a2+b2,對于雙曲線x2a2-y答案:D5.(全國卷Ⅲ)設雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為y=2解析:由雙曲線C的方程可得其漸近線的方程為y=±bax,由題意可得ba=2,所以離心率e=ca=1+6.焦點為(0,6),且與雙曲線x22-y2=1有相同的漸近線的雙曲線方程是y212解析:由待求雙曲線與x22-y2=1有相同的漸近線,且焦點在y軸上,可設所求雙曲線方程為x22-y2=λ(λ<0),即x22λ-y2λ=1(λ<0).所以-λ-2λ=36,所以7.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|解:因為點P在雙曲線的右支上,所以由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a.因為|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=23a.依據(jù)點P在雙曲線的右支上,可得|PF2|=23a≥c-a,所以53a≥c,即e≤53,所以雙曲線的離心率B級拓展提高8.若雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為A.2B.2C.322解析:由題意,得e=ca=2.又因為c2=a2+b2,所以a2=b2.因為a>0,b>0,所以a=b,所以雙曲線C的漸近線方程為x±y=0,點(4,0)到漸近線的距離為42=2答案:D9.若雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=52x,且與橢圓xA.x28-y210=1B.C.x25-y24=1D.解析:雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax.由題意,知橢圓的焦點為(3,0),(-3,0),即雙曲線C的焦點為(3,0),(-3,0),據(jù)此可得ba=5答案:B10.已知雙曲線C:x23-y2=1,O為坐標原點,F為雙曲線C的右焦點,過F的直線與雙曲線C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則|MN|=(A.32B.3C.23解析:由已知,得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,所以點F的坐標為(2,0),雙曲線C的漸近線方程為y=±33x.如圖,設兩條漸近線的夾角為2α,則有tanα=33,所以α=30°,所以∠MON=2α=60°.又因為△OMN為直角三角形,雙曲線具有對稱性,不妨設MN在Rt△ONF中,|OF|=2,則|ON|=3.在Rt△OMN中,|MN|=|ON|·tan2α=3×tan60°=3.答案:B11.(全國卷Ⅰ)已知F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點,A為雙曲線C的右頂點,B為雙曲線C上的點,且BF垂直于x軸.若解析:因為F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(c,0),B為雙曲線C上的點,且BF垂直于x軸,所以Bc,由AB的斜率為3,可得b2a把b2=c2-a2代入上式化簡可得c2=3ac-2a2,結(jié)合e=ca,可得e2-3e+2=0,且e解得e=2.12.中心在原點,對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩條漸近線與圓(x-5)2+y2=16相切.(1)求雙曲線的離心率;(2)若P(3,-4)是漸近線上一點,F1,F2是雙曲線的左、右焦點,且PF1⊥PF2,求雙曲線的方程.解:(1)設經(jīng)過第一、三象限的雙曲線的漸近線的方程為y=kx,則5kk2+1=4,且k>0,解得若雙曲線的焦點在x軸上,則ba=43,e=若雙曲線的焦點在y軸上,則ab=43,e=故所求雙曲線的離心率為e=53或e=5(2)由題意,設F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).由PF1⊥PF2,得F1P·F所以(3+c)(3-c)+16=0,解得c=5.由(1),知ba=43,又因為a2+b2=c所以a=3,b=4,所以雙曲線的方程為x29-y13.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>1,b>0)的焦距為2c,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線l的距離與點(-1,0)到直線l的距離之和s≥解:由題意,知直線l的方程為xa+yb=1,即bx+ay-ab因為a>1,所以點(1,0)到直線l的距離d1=b(點(-1,0)到直線l的距離d2=b(所以s=d1+d2=2aba2由s≥45c,得2abc≥即5ac2-a2≥2c2,于是有5e即4e4-25e2+25≤0,解得54≤e2≤5因為e>1,所以離心率e的取值范圍是52≤e≤5C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新14.多選題若F1,F2分別是雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P是雙曲線上異于雙曲線頂點的一點,且向量PF1·PFA.雙曲線C的漸近線方程為y=±xB.以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1C.F1到雙曲線的一條漸近線的距離為1D.△PF1F2的面積為1解析:A項,由題意,得雙曲線C的漸近線方程為y=±x,正確.B項,由題意,得F1(-2,0),F2(2,0),則以F1F2為直徑的圓的方程是x2+y2=2,錯誤.C項,F1(-2,0)到漸近線y=±x的距離為1,正確.D項,由題意,得F1(-2,0),F2(2,0),設P(x0,y0),依據(jù)點P在雙曲線上,及PF1·P解得x0=±62,y0=±22,所以△PF答案:ACD15.多選題若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線上的點M(-1,3)關于另一條漸近線的對稱點恰為雙曲線的右焦點F,P是雙曲線上的動點,則|A.4B.43C.2D.23解析:由雙曲線方程得漸近線方程為y=±ba因為點M(-1,3)在漸近線上,所以漸近線方程為y=±3x.設坐標原點為O,則|OM|=|OF|,所以c=1+3=2.當P,M,F三點共線且P在雙曲線的右支上時,|PM|+|PF|最小,所以(|PM|+|PF|)min=|MF|=(2+1)2又因為P為雙曲線上的動點,所以|PM|+|PF|無最大值.因為A,B,D選項中的值均不小于23,C選項中的值小于23,所以A,B,D選項中的值均有可能取得.答