專題24利用導數解決雙變量問題一、單選題1．設函數，函數，若對于，，使成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意只需，對函數求導，推斷單調性求出最小值，對函數探討對稱軸和區間的關系，得到函數最小值，利用即可得到實數的取值范圍.【詳解】若對于，，使成立，只需，因為，所以，當時，，所以在上是減函數，所以函數取得最小值．因為，當時，在上單調遞增，函數取得最小值，需，不成立；當時，在上單調遞減，函數取得最小值，需，解得，此時；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，函數取得最小值，需，解得或，此時無解；綜上，實數的取值范圍是，故選:A．【點睛】本題考查利用導數探討函數的最值，考查二次函數在區間的最值的求法，考查分類探討思想和轉化思想，屬于中檔題.2．已知函數，且有兩個極值點，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】的兩個極值點是的兩個根，依據韋達定理，確定的關系，用表示出，用表示出，求該函數的最小值即可.【詳解】解：的定義域，，令，則必有兩根，，所以，，，，當時，，遞減，所以的最小值為故選：A.【點睛】求二元函數的最小值通過二元之間的關系，轉化為求一元函數的最小值，同時考查運算求解實力和轉化化歸的思想方法，中檔題.3．已知函數，若，其中，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意轉化條件，通過導數推斷函數的單調性，以及畫出函數的圖象，數形結合可知，進而可得，最終通過設函數，利用導數求函數的最大值.【詳解】由題意，，，則，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又時，，時，，作函數的圖象如下：由圖可知，當時，有唯一解，故，且，∴，設，，則，令，解得，易得當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，故，即的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查利用導數求函數的最值，重點考查轉化與化歸的思想，變形計算實力，數形結合思想，屬于中檔題，本題可得關鍵是推斷.4．設函數，函數，若對于，，使成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據對于，，使成立，用導數法求得的最小值，用二次函數的性質求得的最小值，再解不等式即可.【詳解】因為，所以，，，，當時，，所以在上是增函數，所以函數取得最小值.因為，當時，取得最小值，因為對于，，使成立，所以，不成立；當時，取得最小值，因為對于，，使成立，所以，解得，此時；當時，取得最小值，因為對于，，使成立，所以，解得，此時；綜上：實數的取值范圍是.故選：A【點睛】本題主要考查雙變量問題以及導數與函數的最值，二次函數的性質，還考查了分類探討的思想和運算求解的實力，屬于中檔題.5．已知函數，，實數，滿意．若，，使得成立，則的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】首先化簡函數，和，，并推斷函數的單調性，由條件轉化為子集關系，從而確定值.【詳解】，，，當時，解得：，當時，解得：，所以在的單調遞增區間是，單調遞減區間是，當時取得最小值，，函數在單調遞增，，，所以，，令，解得：或，由條件可知的值域是值域的子集，所以的最大值是，的最小值是，故的最大值是.故選：A【點睛】本題考查函數的性質的綜合應用，以及雙變量問題轉化為子集問題求參數的取值范圍，重點考查轉化與化歸的思想，計算實力，屬于中檔題型.二、解答題6．已知函數．（Ⅰ）求函數的圖象在點處的切線方程；（Ⅱ）若存在兩個不相等的數，，滿意，求證：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）首先求函數的導數，利用導數的幾何意義，求函數的圖象在點處的切線方程；（Ⅱ）首先確定函數零點的區間，構造函數，利用導數推斷函數的單調性，并得到在上恒成立，并利用單調性，變形得到.【詳解】（Ⅰ），所以的圖象在點處的切線方程為．（Ⅱ）令，解得，當時，在．上單調遞增；當時，，在上單調遞減．所以為的極大值點，不妨設，由題可知．令，，因為，所以，所以單調遞減．又，所以在上恒成立，即在上恒成立．所以，因為，，又在上單調遞增，所以，所以．【點睛】思路點睛：本題是典型的極值點偏移問題，需先分析出原函數的極值點，找到兩個根的大致取值范圍，再將其中一個根進行對稱的轉化變形，使得與在同一個單調區間內，進而利用函數的單調性分析.7．已知函數，為的導函數.（1）當時，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）求函數的單調區間和極值；（2）當時，求證：對隨意的且，有.【答案】（1）（i）；（ii）遞減區間為，遞增區間為；微小值為，無極大值；（2）證明見解析.【分析】（1）（i）確定函數，求出，然后利用導數的幾何意義求出切線方程即可；（ii）確定函數，求出，利用導數探討函數的單調性與極值即可；（2）求出，對要證得不等式進行等價轉換后，構造新函數，利用導數探討新函數的單調性，結合等價轉換后的結果即可證明結論成立.【詳解】（1）（i）當時，，故.可得，，所以曲線在點處的切線方程為，即.（ii）依題意，，，從而求導可得，整理可得.令，解得.當改變時，，的改變狀況如下表：10微小值所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；的微小值為，無極大值.（2）證明：由，得.對隨意的，且，令，則.①令，.當時，，由此可得在單調遞增，所以當時，，即，因為，，，所以.②由（1）（ii）可知，當時，，即，故.③由①②③可得.所以，當時，對隨意的，且，有.【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規則轉化：一般地，已知函數，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集.8．已知函數.其中為常數.（1）若函數在定義域內有且只有一個極值點，求實數的取值范圍；（2）已知，是函數的兩個不同的零點，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導函數，分類探討確定的正負，得的單調性，從而得極值點個數，由此可得結論；（2）結合（1）求得函數有兩個零點時的范圍，設，則，，引入函數，由導數確定它是減函數，得，然后利用，再結合的單調性得出證明．【詳解】（1），當時，，在上單調遞增，不符合題意，當時，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以此時只有一個極值點．（2）由（1）知當時，，在上單調遞增，函數至多有一個零點，不符合題意，當時，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故當時，函數取得最小值，當時，，，函數無零點，不合題意，當時，，，函數僅有一個零點，不合題意，當時，，，又，所以在上只有一個零點，令，則，故當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一個零點.所以滿意題意.不妨設，則，，令，則，，當時，，所以在上單調遞減，所以當時，，即，因為，所以，所以，又，，且在上單調遞增，所以，故得證.【點睛】關鍵點點睛：本題考查用導數探討函數的極值點、零點，證明不等式．難點是不等式的證明，首先由零點個數得出參數范圍，在不妨設，則，后關鍵是引入函數，同樣用導數得出它的單調性，目的是證得，然后利用這個不等關系變形的單調性得結論．9．已知函數，，設．（1）若，求的最大值；（2）若有兩個不同的零點，，求證：.【答案】（1）最大值為；（2）證明見解析.【分析】（1）首先求出函數的導函數，再推斷的符號，即可得到函數的單調區間，從而求出函數的最大值；（2）由題知，，即，，要證，即可，令，則只需證．構造函數，利用導數說明其單調性即可得證；【詳解】解：（1）解：當時，所以．留意，且當時，，單調遞增；當時，，單調遞增減．所以的最大值為．（2）證明：由題知，，即，，可得．．不妨，則上式進一步等價于．令，則只需證．設，，所以在上單調遞增，從而，即，故原不等式得證．【點睛】本題考查導數在最大值、最小值問題中的應用，考查運算求解實力，推理論證實力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有肯定的探究性．綜合性強，屬于難題．10．已知函數，其中.（1）若在上存在極值點，求a的取值范圍；（2）設，，若存在最大值，記為，則當時，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由【答案】（1），；（2）（a）存在最大值，且最大值為．【分析】（1）求出函數的導數，將題意轉換為在上有解，由在上遞增，得，，求出的范圍即可；（2）求出函數的導數，得到，求出（a），依據函數的單調性求出（a）的最大值即可．【詳解】解：（1），，由題意得，在上有根（不為重根），即在上有解，由在上遞增，得，，檢驗，時，在上存在極值點，，；（2）中，若，即在上滿意，在上遞減，，不存在最大值，則；方程有2個不相等的正實數根，令其為，，且不妨設，則，在遞減，在遞增，在遞減，對隨意，有，對隨意，有，，（a），將，代入上式，消去，得：（a），，，，由在遞增，得，，設，，，，，，，即在，遞增，（e），（a）存在最大值為．【點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道綜合題．11．已知函數，，其中.（1）若函數的圖象與直線在第一象限有交點，求的取值范圍.（2）當時，若有兩個零點，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）依據題意設，問題轉化為方程，在有解，求導，分類探討①若，②若，③若時，分析單調性，進而得出結論.（2）運用分析法和構造函數法，結合函數的單調性，不等式的性質，即可得證.【詳解】解：（1）設，則由題設知，方程，在有解，而.設，則.①若，由可知，且，從而，即在上單調遞減，從而恒成立，因而方程在上無解.②若，則，又時，，因此，在上必存在實根，設最小的正實根為，由函數的連續性可知，上恒有，即在上單調遞減，也即，在上單調遞減，從而在上恒有，因而在上單調遞減，故在上恒有，即，留意到，因此，令時，則有，由零點的存在性定理可知函數在，上有零點，符合題意.③若時，則由可知，恒成立，從而在上單調遞增，也即在上單調遞增，從而恒成立，故方程在上無解.綜上可知，的取值范圍是.（2）因為有兩個零點，所以（2），即，設，則要證，因為，，又因為在上單調遞增，所以只要證明，設，則，所以在上單調遞減，（2），所以，因為有兩個零點，，，所以，方程即構造函數，則，，，記，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以，且，設，，所以遞增，當時，，當時，，所以，即，，，，所以，同理，所以，所以，所以，由得：，綜上：.【點睛】本題考查導數的綜合應用，不等式的證明，關鍵是運用分類探討，構造函數的思想去解決問題，屬于難題.12．已知函數.（1）若在單調遞增，求a的值；（2）當時，設函數的最小值為，求函數的值域.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）由在單調遞增，利用導數知在上恒成馬上可求參數a的值；（2）由有，利用二階導數可知在上單調遞增，進而可知，使得，則有的單調性得最小值，結合并構造函數可求取值范圍，進而利用導數探討的單調性即可求范圍；【詳解】（1），又在單調遞增，∴，即在上恒成立，（i）當時，，則需，故，即；（ii）當時，，則；（iii）當時，，則需，故，即；綜上所述：；（2），，，∵，有，∴在上單調遞增，又，，∴，使得，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，故的最小值為，由得，因此，令，，則，∴在上單調遞增，又，，，∴取值范圍為，令（），則，∴函數在上單調遞增，又，，∴，即函數的值域為.【點睛】本題考查了利用導數探討函數的單調性求參數，由原函數得到最值，構造中間函數并依據其導數探討單調性，求最值的取值范圍；中間函數須要依據步驟中的探討對象及目的確定；13．已知函數.（1）探討函數的單調性；（2）若存在兩個極值點，求證：.【答案】（1）答案不唯一，詳細見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導函數，依據二次函數的與的關系來分類探討函數的單調性，并留意一元二次方程根的正負與定義域的關系；（2）由是兩個極值點得到對應的韋達定理形式，然后利用條件將轉變為關于函數，再運用的關系將不等式轉化為證，構造函數，分析函數的單調性，得出最值，不等式可得證.【詳解】（1）解：函數的定義域為，，則.①當時，對，所以函數在上單調遞增；②當時，，所以對，所以函數在上單調遞增；③當時，令，得或，所以函數在，上單調遞增；令，得，所以在上單調遞減.（2）證明：由（1）知且，所以.又由.又因為.所以要證，只需證.因為，所以只需證，即證.令，則，所以函數在上單調遞增，所以對.所以.所以若存在兩個極值點，則.【點睛】本題考查函數與導數的綜合應用，屬于較難題.導數中通過雙極值點求解最值或證明不等式時，可通過雙極值點對應的等式將待求的式子或待證明的式子轉變為關于同一變量（留意變量的范圍）的式子，然后通過構造新函數，分析新函數的單調性后從而達到求解最值或證明不等式的目的.14．已知函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，函數有三個不同的零點，，，求證：．【答案】（1）增區間為，；減區間為；（2）證明見解析.【分析】（1）求出原函數的導函數，得到函數零點，由導函數零點對定義域分段，再由導函數在不同區間段內的符號得到原函數的單調區間；（2）由，可得是函數的一個零點，不妨設，把問題轉化為證，即證．由，得，結合，是方程的兩個實根，得到，代入，只需證，不妨設．轉化為證．設，則等價于．設，利用導數證明即可．【詳解】（1）解：，令，得，．當或時，；當時，．增區間為，；減區間為；（2）證明：，是函數的一個零點，不妨設，則要證，只需證．由，得，，是方程的兩個實根，，①，②，①②得：，代入，只需證，不妨設．，只需證．，只需證．設，則等價于．設，只需證，又，設，則，在上單調遞增，則．，從而在上是增函數，．綜上所述，．【點睛】本題考查利用導數探討函數的單調性，考查利用導數求函數的極值，考查數學轉化思想方法，屬難題．15．已知函數，其中為自然對數的底數.（1）證明：在上單調遞減，上單調遞增；（2）設，函數，假如總存在，對隨意，都成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）干脆對函數求導，推斷導函數在對應區間上的符號即可證明；（2）總存在，，對隨意都有，即函數在，上的最大值不小于，的最大值；借助單調性換元法，結合二次函數的性質分別求最值列不等式求解即可【詳解】（1）證明：令，解得，∴在上單調遞增令，解得，∴在上單調遞減（2）總存在，，對隨意都有，即函數在，上的最大值不小于，的最大值令，∴，對稱軸∴∴，，令，∴，∴∴，∴【點睛】本題考查利用導數探討函數的單調性，考查三角函數的有界性，二次函數的最值以及恒成立問題的轉化，考查轉化思想以及計算實力，屬于中檔題.16．已知函數，．其中，為常數．（1）若函數在定義域內有且只有一個極值點，求實數的取值范圍；（2）已知，是函數的兩個不同的零點，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）首先求函數的導數，依據題意轉化為在內有且僅有一個變號零點，依據二次函數的單調性，列式求解的取值范圍；（2）求出當函數有兩個零點時，求出，再構造函數，利用導數推斷函數的單調性，得到，再通過構造得到，利用函數的單調性證明結論.【詳解】（1），因為函數在定義域有且僅有一個極值點，所以在內有且僅有一個變號零點，由二次函數的圖象和性質知，解得，即實數的取值范圍為．（2），當時，，在上單調遞增，函數至多有一個零點，不符合題意，當時，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故當時，函數取得最小值，當時，，，函數無零點，不合題意，當時，，，函數僅有一個零點，不合題意，當時，，，又，所以在上只有一個零點，令，則，故當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一個零點．所以滿意題意．不妨設，則，，令，則，，當時，，所以在上單調遞減，所以當時，，即，因為，所以，所以，又，，且在上單調遞增，所以，故得證．【點睛】本題考查利用導數證明函數的單調性，極值，最值，零點，函數與方程，不等式的綜合應用，重點考查邏輯推理，轉化與變形，計算實力，屬于難題.17．已知函數，既存在極大值，又存在微小值.（1）求實數的取值范圍；（2）當時，，分別為的極大值點和微小值點.且，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函數的導數，結合函數的單調性確定的范圍即可；（2）求出函數的極值點，問題轉化為，設，依據函數的單調性確定的范圍即可．【詳解】解：（1）由得，即，由題意，若存在極大值和微小值，則必有兩個不相等的實數根，由得，所以必有一個非零實數根，∴，，∴且，∴或.綜上，實數的取值范圍為.（2）當時，由（1）可知的極大值點為，微小值點為，此時，，依題意得對隨意恒成立，由于此時，所以；所以，即，設，，則，令，判別式.①當時，，所以，在單調遞增，所以，即，符合題意；②當時，，設的兩根為，，且，則，，因此，則當時，，在單調遞減，所以當時，，即，所以，沖突，不合題意；綜上，的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導數探討函數的單調性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理實力與計算實力，屬于難題．18．已知函數有兩個零點，.（1）求實數的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）寫出函數定義域并求導，從而得到函數的單調性，依據單調性得到函數的最大值，要使有兩個零點，只需最大值即可.（2）函數有兩個零點，，可得，兩式相減得，欲證，即證，設，構造函數，通過函數的單調性即可得到證明.【詳解】（1）函數定義域為，.令得，可得在上單調遞增，在上單調遞減，又時，，時，，故欲使有兩個零點，只需，即.（2）證明：不妨設，則由（1）可知，且，兩式相減可得.欲證，即證，設，則即證，構造函數，則，所以在上單調遞增，故，所以，原不等式得證.【點睛】本題考查利用導數探討函數的零點，單調性以及最值問題，考查利用變量集中的思想解決不等式的證明，考查構造函數的思想，屬于中檔題.19．已知函數，．（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）當時，若與的圖象有兩個交點，，試比較與的大小．（取為2.8，取為0.7，取為1.4）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依據條件得到對恒成立，由此得到關于的不等式，采納分別常數的方法求解出的取值范圍；（2）依據交點坐標列出對應的方程組，用關于的式子表示出，由此得到關于的等式，通過設變量得到關于的函數，利用導數分析出關于的函數的最值，再借助基本不等式以及構造函數并利用的單調性分析出與的關系.【詳解】（1），則，∵在上單調遞增，∴對，都有，即對，都有，∵，∴，故實數的取值范圍是．（2）由題意知，，兩式相加得，兩式相減得，即，∴，即，不妨令，記，令，則，∴在上單調遞增，則，∴，則，∴，又，∴，即，令，則時，，∴在上單調遞增，又，∴，則，即．【點睛】本題考查導數的綜合應用，其中涉及到依據單調性求解參數范圍以及雙變量轉化為單變量等問題，對學生的分析、計算與轉化實力要求很高，難度偏難.20．已知函數．（Ⅰ）當時，求證：．（Ⅱ）設，若，，使得成立，求實數a的取值范圍．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（1）將代入，只需證明成馬上可，然后構造函數，利用導數探討單調區間及最小值，利用最值證明即可；（2）若，，使得成立，只需使在，上恒成立，然后分別探討函數與的最小值，利用最值分析求解.【詳解】解：（Ⅰ）當時，要證，只需證，令，則當時，單調遞增；當時，單調遞減；所以，故，所以．（Ⅱ）問題等價于，，由得，由得，所以在上，是增函數，故．定義域為，而．當時，恒成立，在上是減函數，所以，不成立；當時，由，得；由，得，所以在單調遞減，在單調遞減．若，即時，在是減函數，所以，不成立；若，即時，在處取得最小值，，令，則在上恒成立，所以在是增函數且，此時成立，滿意條件．綜上所述，．【點睛】本題考查導數與不等式的證明，考查導數與雙變量問題，難度較大,考查學生分析問題處理問題的實力.導數與不等式的證明，一般須要構造函數，通過證明函數的最值滿意條件從而得出結論,雙變量問題多用函數的最值來比較.21．設函數．（1）當時，試探討函數的單調性；（2）設，記，當時，若函數與函數有兩個不同交點，，，，設線段的中點為，試問是否為的根？說明理由．【答案】（1）分類探討，答案見解析；（2）不是的根，理由見解析．【分析】（1）把代入后對函數求導，然后結合導數與單調性關系即可求解；（2）先對求導，然后結合導數與單調性關系可求的單調性，欲證，只需證明，結合函數零點性質，進行合理轉化，構造函數，結合導數與函數性質即可證明．【詳解】解：（1）由可知，，所以當時，因為函數的定義域為，所以，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增；（2）證明：由題可知，，，當時，，當時，，且，欲證，只需證明，設，是方程的兩個不相等的實根，不妨設，則，兩式相減并整理得，從而，故只需證明，即，式可轉化為，即，因為，所以，不妨令，即證成立，記，則，當且僅當時等號成立，在上單調遞增，又（1），，，故，即不成立，故不是的根．當時，，當時，，且，欲證，只需證明，設，是方程的兩個不相等的實根，不妨設，則，兩式相減并整理得，從而，故只需證明，即，式可轉化為，即，因為，所以，不妨令，即證成立，記，則，當且僅當時等號成立，在上單調遞增，又（1），，，故，即不成立，故不是的根．【點睛】本題綜合考查了導數與單調性關系的應用及利用導數及函數的性質求解函數零點問題，體現了轉化思想的應用，屬于難題．22．已知函數．（1）若函數在區間內是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；（2）若函數有兩個極值點，，且，求證：．（注：為自然對數的底數）【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）函數在區間上是單調遞增函數，，化為：，.利用二次函數的單調性即可得出.（2）在區間上有兩個不相等的實數根，?方程在區間上有兩個不相等的實數根.令，利用根的分布可得的范圍，再利用根與系數關系可得：，得，令.利用導數探討其單調性極值與最值即可得出.【詳解】（1）解：∵函數在區間上是單調遞增函數，∴，化為：，，令，則時取等號..∴實數的取值范圍是；（2）證明：在區間上有兩個不相等的實數根，即方程在區間上有兩個不相等的實數根，記，則，解得，，，令，，記，，令在上單調遞增.，因此函數存在唯一零點，使得，當

；當時，，而在單調遞減，在單調遞增，而，，，∴函數在上單調遞減，，可得：，即.【點睛】本題考查了利用導數探討單調性極值與最值、方程與不等式的解法、分類探討方法、等價轉化方法，考查了推理實力與計算實力，屬于難題.23．已知函數（1）當時，求函數的單調區間；（2）若，函數的最小值為，求的值域.【答案】（1）單調增區間為；無單調減區間；（2）.【分析】（1）由題意對函數求導得，令，通過導數可證明，進而可得，即可得解；（2）由題意結合導數可得且，令，由導數結合可得，進而可得，令，，結合導數求得的值域即可得解.【詳解】（1）當時，函數，定義域為，則，令，則恒成立；∴在上單調遞增，，∴恒成立，故的單調增區間為；無單調減區間.（2）∵，令，明顯在單調遞增，又，，∴據零點存在定理，存