二項式定理課件范文二項式定理n0n1n?1(a?b)?Ca?Cab?nn1、rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，2．基本概念：①二項式展開式：右邊的多項式叫做(a?b)n的二項展開式。r(r?0,1,2,???,n).②二項式系數:展開式中各項的系數Cn③項數：共(r?1)項，是關于a與b的齊次多項式rn?rr④通項：展開式中的第r?1項Cnab叫做二項式展開式的通項。用Tr?1?Cnarn?rrb表示。3．注意關鍵點：①項數：展開式中總共有(n?1)項。②順序：注意正確選擇a,b,其順序不能更改。(a?b)n與(b?a)n是不同的。③指數：a的指數從n逐項減到0，是降冪排列。b的指數從0逐項減到n，是升冪排列。各項的次數和等于n.012rn④系數：注意正確區分二項式系數與項的系數，二項式系數依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.項的系數是a與b的系數（包括二項式系數）。4．常用的結論：0122令a?1,b?x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?0122令a?1,b??x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?rr?Cnx?rr?Cnx?nn?Cnx(n?N?)nn?(?1)nCnx(n?N?)5．性質：0nkk?1①二項式系數的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數相等，即Cn，···Cn?Cn?Cn012②二項式系數和：令a?b?1,則二項式系數的和為Cn?Cn?Cn?12變形式Cn?Cn?r?Cn?n?Cn?2n?1。r?Cn?n?Cn?2n，③奇數項的二項式系數和=偶數項的二項式系數和：0123在二項式定理中，令a?1,b??1，則Cn?Cn?Cn?Cn?0242r13從而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?n?(?1)nCn?(1?1)n?0，2r?1?Cn?????1n?2?2n?12④奇數項的系數和與偶數項的系數和：0n01n?12n?22(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax?00n122n?2(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax?n0n?Cnax?a0?a1x1?a2x2?nn0?Cnax?anxn??anxn?a2x2?a1x1?a0令x?1,則a0?a1?a2?a3令x??1,則a0?a1?a2?a3?①?②得,a0?a2?a4①?②得,a1?a3?a5?an?(a?1)n?????????①?an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n?an?(奇數項的系數和)2(a?1)n?(a?1)n?an?(偶數項的系數和)2n2n⑤二項式系數的最大項：如果二項式的冪指數n是偶數時，則中間一項的二項式系數C取得最大值。如果二項式的冪指數n是奇數時，則中間兩項的二項式系數C大值。⑥系數的最大項：求(a?bx)n展開式中最大的項，一般采用待定系數法。設展開式中各項系數分別n?12n,Cn?12n同時取得最為A1,A2,???,An?1，設第r?1項系數最大，應有??Ar?1?Ar，從而解出r來。A?A?r?1r?2專題一題型一：二項式定理的逆用；123例：Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1?n?Cn?6n與已知的有一些差距，0123解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63?123?Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1??1012(Cn?Cn?6?Cn?62?6112n(Cn?6?Cn?62??Cn?6n)611n?Cn?6n?1)?[(1?6)n?1]?(7n?1)66123練：Cn?3Cn?9Cn?n?3n?1Cn?n，則?3n?1Cnnn012233?Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3?nn?Cn3?1?(1?3)n?1123解：設Sn?Cn?3Cn?9Cn?122333Sn?Cn3?Cn3?Cn3?(1?3)n?14n?1?Sn??33題型二：利用通項公式求xn的系數；例：在二項式n的展開式中倒數第3項的系數為45，求含有x3的項的系數？解：由條件知Cnr10n?22?45，即Cn?45，?n2?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，由23r10?r2?r43Tr?1?C(x)?1410?r(x)?Cxr10?，由題意?10?r2?r?3,解得r?6，4363則含有x3的項是第7項T6?1?C10x?210x3,系數為210。19)展開式中x9的系數？2x111r(x2)9?r(?)r?C9rx18?2r(?)rx?r?C9r(?)rx18?3r，令18?3r?9,則r?3解：Tr?1?C92x22132139故x的系數為C9(?)??。22練：求(x2?題型三：利用通項公式求常數項；例：求二項式(x2?10的展開式中的常數項？解：Tr?1?C(x)r10210?rr5451r20?5818()??C()x2，令20?r?0，得r?8，所以T9?C10222562rr1016)的展開式中的常數項？2x1rr6?rrrr6?r1r6?2r解：Tr?1?C6(2x)(?1)()?(?1)C62()x，令6?2r?0，得r?3，所以2x2練：求二項式(2x?3T4?(?1)3C6??201n)的二項展開式中第5項為常數項，則n?____.x42n?41442n?12解：T5?Cn(x)()?Cnx，令2n?12?0，得n?6.x2練：若(x?題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數項；例：求二項式9展開式中的有理項？解：Tr?1?C(x)r9129?r(?x)?(?1)Cx13rrr927?r6，令27?r?Z,(0?r?9)得r?3或r?9，627?r34?4，T4?(?1)3C9x??84x4，627?r93?3，T10?(?1)3C9當r?9時，x??x3。6所以當r?3時，題型五：奇數項的二項式系數和=偶數項的二項式系數和；例：若n展開式中偶數項系數和為?256，求n.解：設n展開式中各項系數依次設為a0,a1,???an,令x??1,則有a0?a1????an?0,①，令x?1,則有a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?2n,②將①-②得：2(a1?a3?a5????)??2n,?a1?a3?a5??????2n?1,有題意得，?2n?1??256??28，?n?9。練：若解：n的展開式中，所有的奇數項的系數和為1024，求它的中間項。2r?1?Cn?????2n?1，?2n?1?1024，解得n?110242r13Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?61?65?4所以中間兩個項分別為n?6,n?7，T5?1?C?462?x，T6?1?462?x155n題型六：最大系數，最大項；n例：已知(?2x)，若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系12數最大項的系數是多少？解：465Cn?Cn?2Cn,?n2?21n?98?0,解出n?7或n?14，當n?7時，展開式中二項式系數最大354134,，T5的系數?C7()2?70,當n?14時，展開式中227177二項式系數最大的項是T8，?T8的系數?C14()2?3432。2343的項是T4和T5?T4的系數?C7()2?12練：在(a?b)2n的展開式中，二項式系數最大的項是多少？解：二項式的冪指數是偶數2n，則中間一項的二項式系數最大，即T2n2?1?Tn?1，也就是第n?1項。練：在(?x2n的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數項是多少？n1?1?5，即n?8,所以展開式中常數項為第七項等于C86()2?722解：只有第5項的二項式最大，則7例：寫出在(a?b)的展開式中，系數最大的項？系數最小的項？解：因為二項式的冪指數7是奇數，所以中間兩項(第4,5項)的二項式系數相等，且同時取得最大值，從343434而有T4??C7ab的系數最小，T5?C7ab系數最大。n例：若展開式前三項的二項式系數和等于79，求(?2x)的展開式中系數最大的項？12012解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假設Tr?1項最大，11(?2x)12?()12(1?4x)1222rrr?1r?1??Ar?1?Ar?C124?C124????rr，化簡得到9.4?r?10.4，又0?r?12，?r?10，展開式r?1r?1A?A??r?1r?2?C124?C124中系數最大的項為T11,有T11?()C124x1212101010?16896x10練：在(1?2x)10的展開式中系數最大的項是多少？解：假設Tr?1項最大，Tr?1?C10?2xrrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102????rr解得，化簡得到6.3?k?7.3，又?r?1r?1?r?1?2(10?r)?Ar?1?Ar?2??C102?C102,rrr7770?r?10，?r?7，展開式中系數最大的項為T8?C102x?15360x7.題型七：含有三項變兩項；例：求當(x2?3x?2)5的展開式中x的一次項的系數？r解法①：(x2?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，當且僅當r?1時，Tr?1的展開式1144中才有x的一次項，此時Tr?1?T2?C5(x2?2)43x，所以x得一次項為C5C423x144它的系數為C5C423?240。05145051455解法②：(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?????C5)(C5x?C5x2?????C52)故展開式中含x的項為C5xC52?C5x2?240x，故展開式中x的系數為240.練：求式子(x?455441?2)3的常數項？x解：(x?16?2)3?，設第r?1項為常數項，則x6?rrTr?1?C6(?1)rx(1r6?2rr3，得6?2r?0,r?3,?T3?1?(?1)3C6)?(?1)6C6x??20.x題型八：兩個二項式相乘；例：求(1?2x)(1?x)展開式中x的系數.解：mm(1?2x)3的展開式的通項是C3?(2x)m?C3?2m?xm,nnnn(1?x)4的展開式的通項是Cn,2,3,n?0,1,2,3,4,4?(?x)?C4??1?x,其中m?0,1342令m?n?2,則m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4021120的展開式中x2的系數等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0??6.二項式定理教學設計一、教材分析：1、【教材的地位及作用】“二項式定理”是全日制普通高，結合新課標的理念，制訂如下的教學目標和教學重，難點）。教學目標：1、知識目標：通過對二項式定理的學習，使學生理解二項式定理，會利用二項式定理求二項展開式。并理解和掌握二項展開式的規律，利用它能對二項式展開，進行相應的計算。還會區別“系數”、“二項式系數”等概念，靈活正用和逆用展開式。級中學教科書《數學第二冊（下A）》的第十章第四節，它既是安排在排列組合內容后的自成體系的知識塊，也是初中學習的多項式乘法。它所研究的是一種特殊的多項式——二項式冪的展開式。它與后面學習的概率的二項分布有著內在的聯系，利用二項式定理還可以進一步深化對組合數的認識。因此，二項式定理起著承上啟下的作用，是本章教學的一個重點。本小節約需3個課時，本節課是第一課時。【學生情況分析】授課的對象是高中二年級中等程度班級的學生。他們具有一般的歸納推理能力，學生思維也較活躍，但創新思維能力較弱。在學習過程中，大部分學生只重視定理、公式的結論，而不重視其形成過程，因而對定理、公式不能做到靈活運用，更做不到牢牢記住。（根據以上分析2、能力目標：在學3、情感目標：通過“二項式定理”的學習，培養學生解決數學問題的興趣和信心，讓學生感受數學內在的和諧，對稱美及數學符號應用的簡潔美，進一步結合“楊輝三角”，對學生進行愛國主義教育，激勵學生的民族自豪感和為國富民強而勤奮學習的熱情，培養學生勇于探索，勇于創新的精神。一、教學重點，難點，關鍵：重點：（1）使學生參與并深刻體會二項式定理的形成過程，理解和掌握二項展開式的規律。（2）利用二項展開式的規律對二項式展開，進行相應的計算。（3）區別“系數”、“二項式系數”等概念，靈活正用和逆用展開式。難點：（1）二項展開式的規律的理解和掌握。（2）“二項式系數”和“系數”的區別。突破難點的關鍵：（1）利用組合數及性質分析“楊輝三角”中各數的關系；（2）利用組合的知識歸納二項式系數；（3）充分利用二項展開式的規律。二、教法、學法分析數學是一門培養人的思維發展的重要學科。因此，在教學中讓學生自己發現規律、總結規律是最好的途徑。正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之，深固之。”本節課的教法貫穿啟發式教學原則以啟發學生主動學習，積極探求為主，創設一個以學生為主體，師生互動，共同探索的教與學的情境，采用引導發現法，由學生熟悉的多項式乘法入手，進行分析，也可利用組合的有關知識加以分析，歸納，通過對二項式規律的探索過程，培養學生由特殊到一般，經過觀察分析，猜想，歸納（證明）來解決問題的數學思想方法，培養了學生觀察，聯想，歸納能力。不僅重視知識的結果，而且注重了知識的發生，發現和解決的過程，貫徹了新課程標準的教學理念，培育了本節課內容最佳的“知識生長點”，這對于學生建立完整的認知結構是有積極意義的。三、教學手段制作多媒體課件，以增加課堂容量及知識的直觀性，從而提高學生學習的興趣，使學生進一步加深對定理，概念的理解。四、教學過程設計【復習引入：】復習回顧：[提問]初中學過的完全平方公式是什么？你能寫出（a+b）3，（a+b）4的展開式嗎？設計意圖：通過復習舊知識，自然引入，在這里設計了層層遞進多項式展開的問題，目的是為了讓學生了解知識發生，發展的過程，激發學生在認知的沖突，讓學生明白二項式展開實質上是多項式的乘法。思路一：提問：（1）以（a+b）2＝a2+2ab+b2為例，展開式中各項字母的形式是什么？展開式項的系數又是什么？有幾項？（2）展開式中各項的系數與展開式中各項的次數有沒有關系？（3）你能猜想（a+b）3、（a+b）4??（a+b）n展開式的形式嗎？觀察下面等式：（a+b）＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab3+b4（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【設計意圖：】由特殊的二項式來分析猜想一般的二項式展開式，培養學生由特殊到一般的思維方式，培養學生大膽探索的精神和創新精神。（1）展開式中各項是冪的形式，可按a（或b）的降冪排成：（2）展開式中各項系數的規律：將上式中展開式的系數列成表如下：11121133114641????發現：發現每行兩端都是1，后一行其它各數是上一行肩上二數之和。再從一個數等于另二數之和聯想到結合數及其性質：于是各項系數可寫成表中形式：由此猜想展開式的各項系數：【設計意圖：】學生對各項是什么形式不難猜到，但對二項式系數不易想到，通過“楊輝三角”中的數字規律，聯想到組合數及性質，進而可用組合數來表示表中的數，從而猜想各項系數為，讓學生的思維從特殊到一般，由迷茫到大悟，使學生深深體會到數學內在的和諧，對稱美。在此，適時對學生進行愛國主義教育，激發學生的民族自豪感和學習數學的熱情，思路二：觀察下式：（a+b）4＝（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）由多項式乘法知，其展開式的每一項是由4個括號各取一項相乘而得，故每一項都是形式，即各項系數是由相同的項合并而成的，有幾項其系數就是幾，故含a4的項只能由每個括號取a不取b（或說取0個b）而得，即C40a4，系數為：C40含a3b的項只能由3個括號取a，余下的1個括號取b而得，即C41a3b，系數為：C41；含a2b2的項只能由2個括號取a，余下的2個括號取b而得，即C42a2b2，系數C42為；含的ab3的項只能由1個括號取a，余下的3個括號取b而得，即C43a3b，系數為C43，含b4的項只能由4個括號都取b而得，即C44b4，系數為C44；從而可得：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4提問：的展開式怎么寫呢？引導學生回答：可以對b分類：：不取b，得取1個b，取得2個b，得????取k個b，得????取n－1個b，得取n個b，得將這n+1個式子相加，可得二項式定理（a+b）n＝Cn0anb0+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+??+Cnkan-kbk+??+Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）【設計意圖：】本環節以問題為中心，由淺入深地引導學生大膽猜想。利用組合知識，充分揭示二項展開式的內涵和外延。幫助學生建構和完善自己的認知結構，既顯得合情合理，又科學嚴謹。進一步強化學生的邏輯思維能力和歸納能力。完善結論：把上述探索得到的結果叫做二項式定理，右邊的多項式，共有in+1項，其中各項系數Cn（i=1,2,3??,n）叫做二項式系數，其通項公式為：Tk+1=C-nkn-kkab（k=1,2,3??n）。說明：（1）猜證法是數學中常用方法，本定理是由不完全歸納法得出，需加以證明。其證明因目前知識所限，留待以后完成，目前，只要求同學熟記并會應用。（2）二項式定理是個恒等式，定理中字母a,b可表示數或式，其中式中a與b是用“+”連接的。（3）展開式共有n+1項，各項次數為n，它是按字母a降冪，b升冪排列。（4）通項公式表示的是第k+1項，不是第k項，且a,b位置不能對換。（5）二項式系數為Cnk，注意與項的系數的區別。例如：（1－x）3的第二項是－C31x，其二項式系數為：C31，第二項的系數為：－C31。【設計意圖：】對定理的特點加以說明，可使學生能熟練掌握定理的特點，以便今后在應用定理解決問題時能得心應手。應用解析：1??1??例：（1）展開?1??,?2x??xx?6???5（學生練習：）展開（a+b）,a+b）（2）求展開式的第3項（3），求展開式的第3項【設計意圖：】例（1）是對二項式定理的簡單應用，目的在于對定理字母a,b所表示的數或式的領會及運用定理的能力；例（2），（3）二題著重于學生對通項公式的掌握，體會二項式定理的展開式中a與b位置不能對換，并注意到例（3）的結論正是例（2）展開式中的倒數第3項。應用解析：例（4）（a+2b+3c）7ab，的展開式中，a2b3c2項的系數是多少。【設計意圖：】本題可先將其中的二項看成一個整體，再用二項式定理展開，進而求出其系數，這種解法體現了化歸的意識，但本題如能根據二項式定理的形成過程中項的系數的探究，可得如下解法：從7個括號的2個時取“a”得，再從余下的5個括號中的3個取“2b”得，最后剩下的2個括號里取“3c”得：由分步計數原理得：通過本題的學習，有利于學生對知識的串聯，累積，加工，使學生的思維有一個升華過程，從而達到舉一反三的效果，加深學生對數學本質的理解。小結思路一：由特殊的二項式來分析猜想一般的展開式思路二：根據多項式乘法，結合組合知識，通過猜想歸納得到二項式定理：（a+b）n＝Cn0anb0+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+??+Cnkan-kbk+??+Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）及通項公式：Tk+1=Cnkan-kbk（k=1,2,3??n）注意事項（1），注意觀察，分析，猜想，歸納（證明）的數學方法。（b），二項式定理是個恒等式，定理中字母a,b可表示數或式，其中。（c），展開式共有n+1項，各項次數為n，它是按字母a降冪，b升冪排列。（d），通項公式表示的是第k+1項，不是第k項，且a,b位置不能對換。（e），二項式系數為Cni（i=1,2,3??n），注意與項的系數的區別。布置作業課本作業：P1091,(1),2(2),3(2),2，思考題：求的展開式中的系數３，研究性題：的展開式中x的系數為19，求x2的系數的最小值及此時x2展開式中的系數。【設計意圖：】（1），本節課從知識上學習了二項式定理及通項公式，從方法上通過二項式定理的形成過程，學會了觀察，分析，猜想，歸納（證明）的數學方法，通過小結，使學生對本節課的知識脈絡更加清晰。（2），通過作業鞏固所學知識，發現和彌補教學中的疏漏與不足，強化基本技能訓練，培養學生良好的學習習慣和品質。五、課后反思本節課是二項式定理的第一節課，在教學中注意以下幾點：1，本節課以“二項式定理”的形成過程為主線，讓學生思維由特殊到一般，演繹，歸納，得出定理。培養學生猜想，歸納，整節課以學生為主體，師生互動，體現了新課標的教學理念。2，在例題，作業的配備上，我認為高中學習的特點是跨度大，思維能力要求高。因此，在題目的設置上，加大了思維的含量，如例4，讓學生體會到二項式定理形成過程中的思維方式，培養了學生的知識遷移能力，因此，我認為習題的搭配應力求讓學生處理每一個問題都必須有所思考，使學生體會到：數學不能生搬硬套，應該用數學的思想方法去學習數學，認識數學。3，以學生為主體，讓學生自己去探索，發現，再創造，最能調動學生的積極性，最有利于培養數學能力，特別是創造性能力，從數學教育對人的發展的意義看，有效理解，主動探索的認識過程必須伴隨著學生心理意志，情感，品質的成長與完善，數學教學的最終目標并非唯一地指向數學具體知識本身，其潛在的也是最重要的恰是指向學生的人性品質，生命成長。二項式定理（教學設計）杜軍平橫山中學一、教學目標1.知識目標：理解二項式定理及其推導方法，掌握二項展開式的基本特征；能應用二項式定理求二項展開式，能運用展開式中的通項公式求展開式中的特定項．2.過程與方法：通過二項式定理的推導過程理解從特殊到一般的思維方法，培養學生的觀察歸納能力、抽象思維能力和邏輯思維能力．3.情感目標：通過本節學習，進一步培養提高學生的歸納推理能力，樹立由特殊到一般的歸納以及探究意識．二、教學重點、難點1.教學重點：用兩個計數原理分析(a?b)2的展開式，歸納得出二項式定理；掌握二項式的通項公式；能應用它們解決簡單問題．2.教學難點：二項式定理及通項公式的掌握及運用.三、課前準備多媒體課件.四、教學方法與手段1.教學方法：開放式探究、啟發式引導、互動式討論、反饋式評價.2.學習方法：實例感受、觀察發現、合作交流、歸納總結.五、教學流程圖六、教學過程設計（一）創設情境，引入新課問題引入：1990是馬年，從1991年開始：1.第13年出生的孩子的屬相是什么？2.第13xx年出生的孩子的屬相是什么？【設計意圖】通過學生所熟知的問題情境引入本節課的教學內容，提高學生的學習興趣和學習熱情，達到有效教學的目的．要解決這個問題,就要用到今天我們學習的知識——板書課題.1.3.1二項式定理（一）（二）講授新課Ⅰ（a?b)n的展開式1.探索研究（a?b)2?a2?2ab?b2，分析（a?b)2展開過程：從項數、指數、系數三個方面加以分析，并讓學生板演(a?b)3與（a?b)4的展開式，再讓學生猜想并證明（a?b)n的展開式.【設計意圖】引導學生將（a?b)2的展開式與兩個計數原理聯系起來，分析展開式項的形式及各項前的系數，用組合數表示（a?b)2展開式的系數．讓學生在探究過程中觀察、發現、類比、猜想得出結論，這是數學教學提倡培養的，是一種創造性的思維活動，也讓學生體驗數學研究的樂趣，在注重思維結果的同時，更注重思維過程.2．歸納提高0n1n-1歸納得出：a+Cnab+…+Cnkan?kbk+…+Cnnbn(n∈N*)（a?b)n?Cn并給出簡單證明．指出：上述這個公式所表示的定理叫做二項式定理，左邊（a?b)n這個式子叫二項式，右邊多項式叫做（a?b)n的二項展開式．引導學生歸納二項展開式的特征：（1）項數特征：展開式共有n+1項．（2）次數特征：①各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n．②字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項開始，次數由0逐項增1直到n．1（3）二項式的系數從Cn0，Cn，直到Cnn．設計意圖：培養學生歸納總結的能力，加強由特殊到一般的數學思想的滲透．3．設置小