Page17新疆生產建設兵團2024-2025學年高三數學上學期其次次月考（理）試題一、單選題（每題5分，共60分）1.已知集合，或，則（）A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】【詳解】由并集的定義可得或.故選A.2.若復數z滿意，則（）A.10 B. C.20 D.【答案】B【解析】【分析】由復數的除法法則求得，再求其共軛復數的模．【詳解】由已知，所以．故選：B．3.函數的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先證明為奇函數可淘汰C，D選項，再利用趨向于正無窮時，可得到也趨向于正無窮，故淘汰A，即可得到答案【詳解】解：由可得定義域為，因為所以為奇函數，故淘汰C,D選項，當趨向于正無窮時，趨向于正無窮，趨向于0，趨向于正無窮，而且指數函數趨向于正無窮的增長速率遠遠超過趨向于正無窮的增長速率，所以當趨向于正無窮時，趨向于正無窮，故淘汰A，故選：B4.已知點是角終邊上一點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據余弦函數的定義，結合特別角的余弦值進行求解即可.【詳解】依題意點的坐標為，故選：5.下列命題正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.若給定命題，使得，則，均有C.若為假命題，則p，q均為假命題D.命題“若，則”的否命題為“若，則”【答案】B【解析】【分析】由充分必要條件，特稱命題的否定，邏輯聯結詞，否命題的學問點對選項逐一推斷【詳解】對于A，因為，所以或，因此“”是“”的必要不充分條件，故A錯誤；對于B，命題，使得的否定為，均有，故B正確；對于C，若為假命題p，q至少有一個則為假命題，故C錯誤；對于D，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故D錯誤；故選：B6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換與同角三角函數關系，弦切互化得含的式子再代入即可解出答案．【詳解】，∵，，故選：D7.函數在上的微小值點為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數導數的符號改變，由此可得函數的單調性，由單調性得出結論即可.【詳解】對于函數，，因為，當時，，當時，，當時，，所以在區間[0，]上是增函數，在區間[，]上是減函數，在[，π]是增函數．因此，函數在上的微小值點為.故選：C.8.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數的周期，即可求出，通過五點作圖法求出，可求出，即可求出.【詳解】由圖象可知，從而，將在函數圖象上，可得：，.故選：C.9.已知符號函數，則函數的零點個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先求出，再解方程即可.【詳解】解：當時；當時；當時．．．當時令，即，解得成立；當時令，即，解得成立；當時令，即，解得成立．綜上可得解得或或．所以函數的零點個數為．故選：C10.已知函數滿意，且對隨意時，恒有成立，則當時，實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由分析可得函數的圖象關于直線對稱，結合函數單調性的定義分析可得在，上為增函數，結合對稱性與單調性解不等式即可.【詳解】依據題意，函數滿意，則函數的圖象關于直線對稱，又由對隨意，，的時，恒有成立，則在，上為增函數，又由，，若，則有，解得，即的取值范圍為故選：C．11.已知函數的圖像既關于點中心對稱，又關于直線軸對稱.當時，，則的值為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設表示函數的圖像，，依據中心對稱性與軸對稱性，可依次得，，，取，可計算得，從而可計算得.【詳解】用表示函數的圖像，對隨意的，令，則，且，利用的中心對稱性與軸對稱性，可依次推得，，，取，此時，因此.故選：B【點睛】本題考查了中心對稱與軸對稱的應用，求解的關鍵是依據中心對稱與軸對稱特點表示出函數圖像上的點之間的關系，然后代值計算.12.設，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數和，利用導數求解單調性，即可推斷.【詳解】當時，記，則，故在單調遞增，故，因此得當時，，故，即；，設，則，因為，當時，．所以在上單調遞增，所以，即，所以．故選：A二、填空題（每題5分，共20分）13.平面對量與的夾角為，，則_____________．【答案】【解析】【分析】首先求出，再依據數量積的定義求出，最終依據及數量積的運算律計算可得.【詳解】解：因為，所以，又向量與的夾角為，且，所以，所以；故答案為：14.已知，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】利用導函數求得即為切線斜率，由原函數求得，由直線點斜式方程整理得到結果.【詳解】因為，所以，又，故所求切線方程為，即.故答案為：.15.若不等式對隨意恒成立，則實數m的最小值是______．【答案】【解析】【分析】因為不等式對隨意恒成立，則，由均值不等式求出的最大值即可得出答案.【詳解】因為不等式對隨意恒成立，所以，則而，當且僅當，即時等號成立．即的最大值是，．故答案：.16.已知實數滿意：，則的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】構造函數，利用導數可得在上單調遞增，由題意可得所以有，由此可得，再構造函數求導，利用導數的正負確定單調區間，從而即可求得答案.詳解】解：由已知得，，令，則，在上單調遞增，又因為，所以，，令所以，則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以.故答案為：.【點睛】本題考查了轉化思想、導數的綜合運用，難點在于兩次構造函數，通過函數的單調性求得最值，屬于難題.三、解答題（每題12分，共60分）17.已知中，內角，，所對的邊分別為，，，且（1）求；（2）若邊上的中線長為，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理得：，結合余弦定理可得，從而求出；（2）借助平面對量表示，由向量運算及中線長可得：，結合余弦定理可得，進而利用三角形面積公式計算得解．【小問1詳解】由已知得：，由正弦定理可化為：，即，由余弦定理知，又，故．【小問2詳解】設邊上的中線為，則所以，即，所以，即①又，由余弦定理得，即②由①②得，所以．18.某校100名學生期中考試語文成果的頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區間是：，，，，．（1）求圖中的值；（2）依據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成果的平均分與中位數（結果保留2位小數）；（3）若這100名學生語文成果某些分數段的人數（）與數學成果相應分數段的人數（）之比如表所示，求數學成果在之間的人數．分數段【答案】（1）（2）平均分73；中位數71.67（3）20【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中各小矩形面積之和等于1，即可得出答案．（2）依據頻率分布直方圖中平均數及中位數的意義即可得出平均分及中位數；（3）由這100名學生的語文成果在之間的人數與數學成果相應分數段的人數之比，即可得到數學成果在之間的人數．【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得：，解得【小問2詳解】由頻率分布直方圖可得平均分為：（分）的頻率為，的頻率為中位數為：【小問3詳解】數學成果在的人數為（人）19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，側棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中點．（1）求證：平面SCD；（2）求平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，建立空間直角坐標系，求值直線的方向向量與平面的法向量，依據向量關系，可得線面關系；（2）由（1），明確平面的法向量，依據向量夾角公式，可得答案.【小問1詳解】側棱底面ABCD，AB垂直于AD，所以以點A為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，所以，，．設平面SCD的一個法向量為，則，即，令z＝1，則x＝2，y＝－1，此時．因為，所以，平面.則平面SCD．【小問2詳解】易知平面SAB的一個法向量為，，由（1）知SCD的一個法向量為，，則，所以平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值為．20.已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上，點F是橢圓C的右焦點．（1）求橢圓C的方程；（2）過點F直線l與橢圓C交于M，N兩點，則在x軸上是否存在一點P，使得直線l繞點F無論怎樣轉動都有？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由題給條件列出關于a、b、c的方程組，解得a、b即可求得橢圓C的方程；（2）由題意可知在x軸上存在一點，使成立，據此結合根與系數的關系可求解.【小問1詳解】由題意得，解得：．所以橢圓C的方程為．【小問2詳解】由題意可知．若直線l斜率存在，設直線l的方程為，聯立得，整理得．由題意可知恒成立，所以，假設在x軸上存在一點，使得x軸平分，則，所以，整理得，即，整理得，，則，即，解之得．若直線l斜率不存在時，則M，N兩點關于x軸對稱，當點P坐標為時，x軸平分．綜上所述，在x軸上存在一點，使得x軸平分．21.已知函數.（1）探討函數的單調性；（2）證明：當時，對隨意，恒有.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分和兩種狀況探討求解即可；（2）依據題意，即證，再依據將問題轉化為證明，進而構造函數，求救函數最小值即可.小問1詳解】解：函數的定義域為，①當，即時，在上恒成立，所以在上單調遞增；②當，即時，由得；由得；所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】證明：要證，即證，即證，因為，所以，所以只需證：.法一：令，則，明顯在上單調遞增，又，所以存在唯一實數，使得，即，所以.所以在上，，在上，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，故當時，對隨意，恒有.法二：.令，則.所以，所以在上為增函數.所以當時，，即.①令，則.當時，；當時，.所以在上為減函數，在上為增函數.所以當時，，即.②①②兩式相加，得.所以，故當時，對隨意，恒有.【點睛】本題考查利用導數探討函數的單調性，不等式恒成立問題，考查運算求解實力，邏輯推理實力，分類探討思想等，是難題.本題其次問解題的關鍵在于借助將不等式轉化為證明，再構造函數求解即可.三．選做題（10分，從22、23題中任選一道作答）22.在直角坐標系中，曲線C的參數方程為（為參數）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求C的極坐標方程和l的直角坐標方程；（2）l與C交于A，B兩點，若，求．【答案】（1），（2）或．【解析】【分析】（1）由C的參數方程化為直角坐標方程，再依據公式轉化為極坐標方程，依據極坐標意義直線方程可化為直角坐標方程；（2）依據極徑的幾何意義及根與系數的關系，由可得極角.【小問1詳解】將C的參數方程化為直角坐標方程得，即，∴C的極坐標方程為．∵l的極坐標方程為，∴l的直角坐標方程為．【小問2詳解】將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得．當時