章末復習課考點一導數幾何意義的應用1．利用導數的幾何意義可以求出曲線上隨意一點處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明確“過點P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點．2．通過對求切線方程的考查，提升學生的數學抽象、數學運算素養．例1已知函數f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標．跟蹤訓練1設函數f(x)＝13x3＋ax2－9x－1(a>0)，直線l是曲線y＝f(x)的一條切線，當l的斜率最小時，直線l與直線10x＋y(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3處的切線方程．考點二利用導數探討函數的單調性1．借助導數探討函數的單調性，尤其是探討含有lnx，ex，－x3等線性函數(或復合函數)的單調性，是近幾年高考的一個重點．其特點是導數f′(x)的符號一般由二次函數來確定；常常同一元二次方程、一元二次不等式結合，融分類探討、數形結合于一體．2．通過對函數單調性的考查，提升學生的邏輯推理和數學運算素養．例2設函數f(x)＝alnx＋x-1x+1，a為常數，探討函數f跟蹤訓練2已知a∈R，求函數f(x)＝2x2eax的單調區間．考點三利用導數探討函數的極值和最值1．函數的極值反映的是函數在某一點旁邊的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質；函數的最值是個整體性概念，最大值必是整個區間上全部函數值中的最大值，最小值必是整個區間上的全部函數值中的最小值．2．利用導數求極值和最值主要有兩類題型：一類是給出詳細的函數，干脆利用求極值或最值的步驟進行求解；另一類是已知極值或最值，求參數的值．3．通過對函數極值和最值的考查，提升學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算素養．例3設a>0且a≠1，函數f(x)＝12x2－(a＋1)x＋alnx(1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率；(2)求函數f(x)的極值點．跟蹤訓練3已知函數f(x)＝lnx－mx(m∈R(1)當m＝－2時，求函數f(x)的單調區間和極值；(2)若函數f(x)在區間[1，e]上取得最小值4，求m的值．考點四利用導數探討方程、不等式等綜合問題1．用導數解決不等式問題主要是指運用導數求解不等式、比較大小、證明不等式等；用導數探討方程問題，主要是指依據方程構造函數，然后利用導數，探討得到函數的單調性、極值、最值，從而結合函數圖象來探討方程的根的個數、大小等問題．這是導數的重要應用之一，也是高考的重點和熱點內容．2．通過對以上學問的綜合考查，提升學生的邏輯推理、直觀想象和數學運算素養．例4設函數f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的極值點；(2)若關于x的方程f(x)＝a有3個不同的實根，求實數a的取值范圍；(3)已知當x∈(1，＋∞)時，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實數k的取值范圍．跟蹤訓練4已知函數f(x)＝ex＋1x-a，a∈R，試探討函數f章末復習課考點聚集·分類突破例1解析：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一設切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3∴直線l的方程為y＝3x02+1(x－x0又∵直線l過點(0，0)，∴0＝3x02+1(－x0)＋整理得，x∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．法二設直線l的方程為y＝kx，切點為(x0，y0)，則k＝y0-0又∵k＝f′(x0)＝3∴x03解得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．跟蹤訓練1解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，f′(x)min＝－a2－9，由題意知－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去)．故a＝1.(2)由(1)得a＝1，∴f′(x)＝x2＋2x－9，則k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3處的切線方程為y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.例2解析：函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．f′(x)＝ax+2當a≥0時，f′(x)>0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．當a<0時，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①當a＝－12f′(x)＝-12x-1②當a<－12時，Δ<0，g(xf′(x)<0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．③當－12<a設x1，x2(x1<x2)是函數g(x)的兩個零點．則x1＝-a+1x2＝-a+1由x1＝a+1-2a+1-所以x∈(0，x1)時，g(x)<0，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，x∈(x1，x2)時，g(x)>0，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，x∈(x2，＋∞)時，g(x)<0，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，綜上可得：當a≥0時，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當a≤－12時，函數f(x當－12<a<0時，函數f(x)在0在(-a+1+2a+1跟蹤訓練2解析：函數f(x)的定義域為R，函數的導數f′(x)＝4xeax＋2ax2eax＝2(2x＋ax2)eax.(1)當a＝0時，若x<0，則f′(x)<0；若x>0，則f′(x)>0.所以當a＝0時，函數y＝f(x)在(－∞，0)上為減函數，在(0，＋∞)上為增函數．(2)當a>0時，由2x＋ax2>0，解得x<－2a或x>0；由2x＋ax2<0，解得－2a<所以當a>0時，函數y＝f(x)在區間-∞，-2a上為增函數，在區間(3)當a<0時，由ax2＋2x>0，解得0<x<－2a由2x＋ax2<0，解得x<0或x>－2a所以當a<0時，函數y＝f(x)在區間(－∞，0)上為減函數，在區間0，-2例3解析：(1)由已知得x>0.當a＝2時，f′(x)＝x－3＋2x，f′(3)＝2所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為23(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2-由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①當0<a<1時，當x∈(0，a)時，f′(x)>0，函數f(x)是遞增的；當x∈(a，1)時，f′(x)<0，函數f(x)是遞減的；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)是遞增的．此時x＝a是f(x)的極大值點，x＝1是f(x)的微小值點．②當a>1時，當x∈(0，1)時，f′(x)>0，函數f(x)是遞增的；當x∈(1，a)時，f′(x)<0，函數f(x)是遞減的；當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)是遞增的．此時x＝1是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的微小值點．綜上，當0<a<1時，x＝a是f(x)的極大值點，x＝1是f(x)的微小值點；當a>1時，x＝1是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的微小值點．跟蹤訓練3解析：(1)當m＝－2時，f(x)＝lnx＋2x(x則f′(x)＝x-當x∈(0，2)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，所以f(x)的單調遞增區間為(2，＋∞)，單調遞減區間為(0，2)，微小值為f(2)＝ln2＋1，無極大值．(2)f′(x)＝x+mx①當m≥－1時，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上單調遞增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不滿意m≥－1，故舍去．②當－e<m<－1時，x∈(1，－m)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，x∈(－m，e)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不滿意－e<m<－1，故舍去．③當m≤－e時，f′(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上單調遞減，f(x)min＝f(e)＝1－me解得m＝－3e，滿意m≤－e.綜上m＝－3e.例4解析：(1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.當x∈(－∞，－2)∪?(2當x∈(－2，2)時，f′(x因此x1＝－2，x2＝2分別為f(x)的極大值點、微小值點．(2)由(1)可知y＝f(x)的圖象的大致形態及走向如圖所示．要使直線y＝a與y＝f(x)的圖象有3個不同的交點，需5－42＝f(2)＜a＜f(－2)＝5＋42.則方程f(x)＝a有3個不同的實根時，所求實數a的取值范圍為(5－42，5＋42)．(3)方法一f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因為x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函數的性質得g(x)在(1，＋∞)上是單調遞增，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值范圍為(－∞，－3].方法二直線y＝k(x－1)過定點(1，0)且f(1)＝0，曲線f(x)在點(1，0)處的切線斜率f′(1)＝－3，由(2)中草圖知，要使x∈(1，＋∞)時，f(x)≥k(x－1)恒成立，需k≤－3.故實數k的取值范圍為(－∞，－3].跟蹤訓練4解析：函數f(x)的定義域為{x|x≠a}．(1)當x＞a時，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，即f(x)在(a，＋∞)上無零點．(2)當x＜a時，f(x)＝ex令g(x)＝ex(x－a)＋1，則g′(x