第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年湖南省邵陽市隆回縣拔尖創新人才八年級（上）競賽數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在，，，，，，中，無理數的個數有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.下列命題中正確的是(

)A.若，則 B.若，

C.若，且，則 D.互為倒數的兩數之積為正3.若x是整數，則使分式的值為整數的x值有個.A.2 B.3 C.4 D.54.若，，則a與b的大小關系為(

)A. B. C. D.無法確定5.當x分別取2020，2018，2016，…，2，0，，，…，，，時，計算分式的值，再將所得結果相加，其和等于(

)A. B.1 C.0 D.20206.如圖，中，，，動點P在斜邊AB所在的直線m上運動，連接PC，那點P在直線m上運動時，能使圖中出現等腰三角形的點P的位置有(

)

A.6個 B.5個 C.4個 D.3個7.如圖，≌，D在BC上，連接CE，則以下結論：①AD平分；②；③；④其中正確的個數有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

8.若，，，則a，b，c的大小關系是(

)A. B. C. D.9.如圖，在第1個中，，，在邊上任取一點D，延長到，使，得到第2個；在邊上任取一點E，延長到，使，得到第3個，……，按此做法繼續下去，則第n個三角形中以為頂點的內角度數是(

)A. B. C. D.10.一支部隊排成a米長隊行軍，在隊尾的戰士要與最前面的團長聯系，他用分鐘追上了團長、為了回到隊尾，他在追上團長的地方等待了分鐘.如果他從最前頭跑步回到隊尾，那么他需要的時間是(

)A.分鐘 B.分鐘 C.分鐘 D.分鐘二、填空題：本題共10小題，每小題4分，共40分。11.若，則化簡為______.12.已知，則的算術平方根是______.13.已知不等式的正整數解恰是1，2，3，4，那么a的取值范圍是______.14.化簡二次根式號后的結果是______.15.如果代數式的值等于1，那么x的值為______.16.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數為______.17.已知方程組的解是，則方程組的解是______.18.已知關于x的分式方程無解，則a的值為______.19.M是的邊BC的中點，AN平分，于點N，且，，，則的周長等于______.

20.根據，，，，…，所蘊含的規律可得等于______.三、計算題：本大題共1小題，共14分。21.閱讀下面的材料，并解答后面的問題

材料：將分式拆分成一個整式與一個分式分子為整數的和差的形式．

解：由分母為，可設

因為，

所以，

所以，解得，所以

這樣，分式就被拆分成了一個整式與一個分式的和的形式，

根據你的理解解決下列問題：

請將分式拆分成一個整式與一個分式分子為整數的和差的形式；

若分式拆分成一個整式與一個分式分子為整數的和差的形式為：，求的最大值．四、解答題：本題共6小題，共56分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。22.本小題8分

先化簡：，再從，0，1，2中取一個你喜歡的數代入求值.23.本小題8分

已知，求的值．24.本小題8分

計算25.本小題8分

永州市萬達廣場籌建之初的一項挖土工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，每施工一天，需付甲工程隊工程款萬元，付乙工程隊工程款萬元，工程領導小組根據甲、乙兩隊的投標書測算，可有三種施工方案：

方案一甲隊單獨完成這項工程，剛好按規定工期完成：

方案二乙隊單獨完成這項工程要比規定工期多用6天；

方案三若由甲、乙兩隊合作做5天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好按規定工期完工．

請你求出完成這項工程的規定時間；

如果你是工程領導小組的組長，為了節省工程款，同時又能如期完工，你將選擇哪一種方案？說明理由．26.本小題10分

如圖，在等腰直角中，，，D為BC的中點，，垂足為E，過點B作交DE的延長線于點F，連CF，交AB于點G、交AD于點M，連

求證：；

求證：；

連AF，試判斷的形狀，并說明理由.27.本小題14分

閱讀理解：如圖①，在四邊形ABCD中，，E是BC的中點，若AE是的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關系．

解決此問題可以用如下方法：延長AE交DC的延長線于點F，易證≌，得到，從而把AB，AD，DC轉化在一個三角形中即可判斷．

AB、AD、DC之間的等量關系為______；

問題探究：如圖②，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F，E是BC的中點，若AE是的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關系，并證明你的結論．

問題解決：如圖③，，AE與BC交于點E，BE：：3，點D在線段AE上，且，試判斷AB、DF、CF之間的數量關系，并證明你的結論．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：，是分數，故是有理數；

是整數，故是有理數；

，，，是無限不循環小數，故是無理數．

故選：

根據無理數與有理數的概念對各數進行逐一分析即可．

本題考查的是無理數的概念，熟知無限不循環小數叫做無理數是解答此題的關鍵．2.【答案】D

【解析】解：A、可舉例子，則，故本選項錯誤；

B、可舉例子，，，故本選項錯誤；

C、可舉例子，，，故本選項錯誤；

D、互為倒數的兩數之積為1，所以互為倒數的兩數之積為正，故本選項正確．

故選

A、可舉反例，則，B、，，，C、，，，且，則、互為倒數的兩數之積為1，所以為正．

本題考查了有理數的絕對值，倒數，乘積等知識，可用反例來說明問題．3.【答案】C

【解析】解：，

要使的值為整數，就是為整數，

即，，，，

而當，時，x不是整數，

因此x是整數，分式的值也是整數的x值有4個，

故選：

將變形成，只要為整數即可，而的值為整數，即，，，，分別求解驗證即可得出答案．

本題考查分式值的意義和計算方法，將分式進行適當的變形，利用整除的意義可求解．4.【答案】A

【解析】解：

，

故選：

利用作差法計算，即可判斷a與b的大小關系．

本題考查了分式的加減，利用作差法比較大小關鍵是合理的變形．5.【答案】A

【解析】本題考查數字的變化規律，總結出數字的變化規律是解題的關鍵．

把互為倒數的兩個數代入分式可得它們的和是0，把0代入分式得，故得出結果為

解：當時，，

當時，，

，

即互為倒數的兩個數代入分式的和為

當時，，

所得結果相加的和為

故選：6.【答案】C

【解析】解：如圖所示：以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交直線m于點，，

以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交直線m于點，，

邊AC和BC的垂直平分線都交于點P3位置，

因此出現等腰三角形的點P的位置有4個，

故選：

根據等腰三角形的判定和含的直角三角形的性質解答即可．

此題考查等腰三角形的判定，關鍵是根據等腰三角形的判定和含的直角三角形的性質解答．7.【答案】C

【解析】解：AC和DE交于O，

≌，

，，，，

，，，

，，

平分，

，

，

，

，

由條件不能推出，

①②③正確．

故選：

由≌，推出，，，，再由等腰三角形的性質，可以求解．

本題考查全等三角形的性質，等腰三角形的性質，關鍵是掌握并靈活應用全等三角形的對應邊相等，對應角相等；等腰三角形的底角相等．8.【答案】B

【解析】解：；

；

；

，

，

故選：

將各數進行計算后比較大小即可．

本題考查了有理數的大小比較，平方差公式，冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法，零指數冪，將各數進行計算求得正確的結果是解題的關鍵．9.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是等腰三角形的性質及三角形外角的性質，根據題意得出，及的度數，找出規律是解答此題的關鍵．先根據等腰三角形的性質求出的度數，再根據三角形外角的性質及等腰三角形的性質分別求出，的度數，找出規律即可得出第n個等腰三角形的底角度數．

【解答】

解：在中，，，

，

，是的外角，

；

同理可得，

，

第n個等腰三角形的底角度數是

故選：10.【答案】C

【解析】解：由題意列代數式得：，化簡得：

故選：

【分析】本題考查分式的應用，正確列出代數式并化簡是解題的關鍵.

隊伍的速度為，隊尾戰士的速度，

故他從最前頭跑步回到隊尾，需要的時間是11.【答案】

【解析】解：，

故答案為：

根據二次根式的性質化簡計算．

本題考查了二次根式，解題的關鍵是掌握二次根式的性質．12.【答案】3

【解析】解：要使有意義，必須且，

解得：，

即，

所以，

所以的算術平方根是，

故答案為：

根據二次根式有意義的條件得出且，求出x，再求出y，最后求出答案即可．

本題考查了二次根式有意義的條件和算術平方根，能求出x和y的值是解此題的關鍵．13.【答案】

【解析】解：不等式的解集是：，不等式的正整數解恰是1，2，3，4，，的取值范圍是

首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據整數解的個數就可以確定有哪些整數解，根據解的情況可以得到關于a的不等式，從而求出a的范圍．

正確解出不等式的解集，正確確定的范圍，是解決本題的關鍵．解不等式時要用到不等式的基本性質．14.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了二次根式的性質與化簡，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵，屬于基礎題．

原式利用二次根式的性質化簡，計算即可得到結果．

【解答】

解：

故答案為：15.【答案】1或或

【解析】解：①當指數為0，即，

原式，成立；

②當底數為1，即，，

原式，成立；

③當底數為，即，，

原式，成立，

綜上所述，x的值為：1或或

根據有理數的乘方的法則，分三種情況進行討論，即可得到答案．

本題考查了有理數的乘方，利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵．16.【答案】或

【解析】解：當頂角為鈍角時，如圖1，可求得其頂角的鄰補角為，則頂角為；

當頂角為銳角時，如圖2，可求得其頂角為；

綜上可知該等腰三角形的頂角為或

故答案為：或

分頂角為鈍角和頂角為銳角兩種情況：當頂角為鈍角時，則可求得其鄰補角為；當頂角為銳角時，可求得頂角為；可得出答案．

本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩腰相等及直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．17.【答案】

【解析】解：將第二個方程組兩個方程的兩邊都除以9，得，

，

方程組的解是，

，

解得

故答案為：

把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以9，通過換元替代的方法即可得到一個關于x，y的方程組，即可求解．

本題主要考查了方程組的解，正確觀察已知方程的系數之間的關系是解題的關鍵．18.【答案】5或

【解析】解：，

去分母得：，

，

當，即時，整式方程無解，分式方程也無解；

當，即時，整式方程有唯一解，但是或分式方程無解，

當時，，

當時a不存在．

或時分式方程無解．

故答案為：5或

首先去掉分母，然后討論整式方程無解條件，接著討論整式方程有解但是分式方程無解條件，由此求出a的值．

本題主要考查了分式方程無解分兩種情況：整式方程本身無解；整式方程有解但是分式方程產生增根．19.【答案】41

【解析】解：延長線段BN交AC于

平分，

，

又，，

≌，

，，

又是的邊BC的中點，

，

的周長是

故答案為

延長線段BN交AC于E，易證≌，可得N為BE的中點；由已知M是BC的中點，可得MN是的中位線，由中位線定理可得CE的長，根據可得AC的長，進而得出的周長．

本題主要考查了中位線定理和全等三角形的判定及性質．解決本題的關鍵是作出輔助線，利用全等三角形得出線段相等，進而應用中位線定理解決問題．20.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

…

每3個數為一周期循環，

，

，

故答案為：

根據題意分別用含n的式子表示出、、、，從而得出數列的循環周期為3，據此即可得解答．

本題主要考查數字的變化規律，根據已知數列的計算公式得出其循環周期是解題的關鍵．21.【答案】解：根據題意得：

原式

；

根據題意得：

原式

，

，，

整理得：，，

，

則的最大值為

【解析】根據題意將分式拆分成一個整式和一個分式即可；

根據題意將分式拆分成一個整式和一個分式，根據已知拆分的結果確定出m與n的值，

此題考查了配方法的應用，非負數的性質，以及分式的加減法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．22.【答案】解：，

，

，

因為，，

，

把代入，原式

【解析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把代入計算即可求出值．

此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．23.【答案】解：兩邊平方，得：，

則

【解析】把兩邊平方即可求解．

本題考查了完全平方公式，正確理解公式的變形是關鍵．24.【答案】解：

【解析】把分式的分子、分母因式分解，再根據分式混合運算的法則計算即可．

本題考查的是分式的混合運算，掌握分式的混合運算的法則是解題的關鍵．25.【答案】解：設完成這項工程的規定時間為x天，則甲工程隊需x天完成這項工程，乙工程隊需天完成這項工程，

根據題意得：，

解得：，

經檢驗，是原方程的解，且符合題意．

答：完成這項工程的規定時間為30天．

選擇方案三，理由如下：

方案一需付工程款：萬元；

方案二不能如期完工，不符合題意；

方案三需付工程款：萬元

，

選擇方案三．

【解析】設完成這項工程的規定時間為x天，則甲工程隊需x天完成這項工程，乙工程隊需天完成這項工程，由題意：由甲、乙兩隊合作做5天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好按規定工期完工．即可得出關于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出結論；

根據總費用=每天需付費用工作天數，分別求出方案一、三需付的工程款，比較后即可得出結論．

本題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出分式方程；根據數量關系列式計算．26.【答案】證明：為等腰直角三角形，

，

，

，

，即BE平分，

而，

垂直平分DF，

，

點為BC的中點，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

；

證明：在和中，

，

≌，

，

≌，

，

；

解：為等腰三角形．理由如下：

垂