習題解答

1.利用對角線法則計算下列三階行列式:

201ab

⑴1-4-1a

-183b

1y工十)

⑶b(4)yN+丁x

b：2x+yy

解(1)原式=2x(-4)x3+0x(-1)x(-。+1X1X8

-lx(-4)x(-l)-2x(-l)x8-0xix3=-4；

(2)原式=acb+bac+cba-c3-a3-b3

=3abc-a3-Z?3-c3;

(3)原式=1?b*c2+c*a2+1?a*b2-1*b*a2-1*c*b2-1?a9c2

=be2+ca2+ab2—ba2-cb2-ac2

=c2(b-a)ab(b-a)--c(b2-a2)=(a-b)(b-c)(c-a);

(4)原式=x(x+y)y+yx(xy)(xy)yx-(x+y)3-x3-y3

=-2(x3+>3).

2.按自然數從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數：

(1)1234；(2)4132；

(3)3421；(4)2413;

(5)13…(2n-1)24…(2〃)；

(6)13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2.

解(1)此排列為自然排列，其逆序數為"

(2)此排列的首位元素的逆序數為0；第2位元素1的逆序數為1；第3位元

素3的逆序數為1;末位元素2的逆序數為2,故它的逆序數為0+1+1+2=4；

(3)此排列的前兩位元素的逆序數均為0;第3位元素2的逆序數為2；末

位元素1的逆序數為3,故它的逆序數為0+0+2+3=5;

(4)類似于上面,此排列的從首位元素到末位元素的逆序數依次為0,0,2,

1,故它的逆序數為0+0+2+1=3；

(5)注意到這In個數的排列中，前〃位元素之間沒有逆序對.第，+1位

元素2與它前面的n-1個數構成逆序對，故它的逆序數為n-1;同理，第〃+2

倍元素4的逆序數為〃-2;…；末位元素2n的逆序數為0.故此排列的逆序數

為(〃-1)+(〃-2)+…+0=2-1);

(6)與(5)相仿，此排列的前n+1位元素沒有逆序對；第〃+2位元素

(2w-2)的逆序數為2;第n+3位元素2〃-4與它前面的2Tl-392n-lt2n,

2n-2構成逆序對,故它的逆序為4;…；末位元素2的逆序數為2(〃-1),故此

排列的逆序數為2+4+…+2(〃-1)=「(7-1).

3.寫出四階行列式中含有因子QU03的項.

解由行列式定義知這項必還含有分別位于第3行和第4行的某兩元素，

而它們又分別位于第2列和第4列，即叼2和或。乂和?注意到排列1324

與1342的逆序數分別為1與2,故此行列式中含有即仆”的項為-an。23a32a44

與aua、a34a42.

4.計算下列各行列式:

4124241

1202-121

⑴

520⑵I232

0175062

a100

ae

一血b10

bdde(4)

0--11

bfcf一ef

00-1

解⑴

12021202

4124?「2-4〃0-72-4

D

10520n-10rt0-152-20

01170117

12021202

0117㈡:15t.0117

0-152-20r/7n001785

02-400945

=0(因第3、4行成比例);

2141

r+f|5?：f=0(因有兩行相同);

(2)D=2^=

232

062,

一bT11

C|T6

r\~ra=*7=1-11

(3)D=rjv=dadfb?eabcdef

rd/b1-1

-111

n+ri

------abcdef002：=abcdef;

r：+r

x020

0I+aba0

1+Qba0

按j展開

?r?\+吟-1b.10二，????■?■

⑷D?(-D(-l)3c1

0-1c1

40-Id

00-Id

1+aad

按「3展開,1+ab

。+dcz-15

一i+caI-1)(-I)

1c-1

0-10

=(l+a6)(l+cd)+ad

5.求解下列方程:

⑴2x+11=0X2)222

2=。,其中Q,6,C

11.工2Q?必

-11/1

?a?b3

互不相等.

110

解⑴左式=^F(N+3)2E

1

x+1

100

1

，f+3)22-11

-12x+1

X-11

5t3)2/]=(—).

于是方程的解為:￡1=-3,工2=內,工3=-H；

(2)注意到方程左式為4階范德蒙德行列式，由例12的結果得

(Z一.)(2-6)(z-c)(a—6)(〃—c)(6—c)=0.

因a,6,c互不相等，故方程的解為：叫=a,i2=。，l3=c.

6.證明:

a2ahb2

(1)2aa+b2b=(a-b)3;

111

axbyay+bzaz+bxyz

ay+bzaz+bxax+byzX

az+bxax+byay+bzy

a1(a+D2(a+2)2(a+3產

b2("I)?(6+2)2(6+3)2

(3)=0;

c2(c+1)2(c+2)2(C+3)2

d2(d+l)2(d+2)2(d+3)2

111

abcd

(4)

a2b2c2d2

=(a-6)(a-c)(a-d)(b-c)(6—d)(c-d)(a+6+c+d);

???

X-1000

???

0X-100

**?*

(5)?.?*?**

000???X-1

???

a。aia?an-ia.

a2一b2ab

Ci一Cy

七十——_—

4UX￡(/1\)左五?2(a-Z>)a-b

00

=(a-5>=右式;

(2)將左式按第1列拆開得

axay+bzaz+bxbyay+bzaz+bx

=aD1+

左式二ayaz+bxax+by+bzaz+1)JCax+bybD2,

azax+byay+bzbxax+byay+bz

xay+bzaz+bxxay+bzz

C3-姐

其中5=yaz+bxax+by，ayaz+bxx

*CJlT*<*1

zax+byay+bzzaxbyy

yay+bzaz+bxynaz+bx

D-zaz+bxax+bybzxcue+by

2+b

xax+byay+bzLyay+bz

于是

2a+12a+32a+5

2b+12"326+5

2c+12c+32c+5

2d+12d+324+5

2a+122

2a+122

-=0(因有兩列相同);

2c+I22

2d十122

111

(4)左式」*二:b-ac-acl-a

白-ar2。b(b-a)c(c-a)d(d—a)

及(b2-a2)c2(c2-a2)dz(dz-a2)

111

按門展開

(b-a)(c~~a)(d-a)bed

各列提取公因子

b2(ba)c2(ca)d2(d+a)

111

「3-6(〃+口)/2”、

....iI)-a){c-a)(d-a)0c-bd-b

r?-brt

0xy

c-ba—b

=(b-a)(c-a)(d-a),

iy

其中：N=c'(c+a)-(&7)(6+a)=c(c2+砒-b2-ab)=c(a+6+c)(c-6);

y=d2(d+a)-bd{ba)—d{a+b+d)(d—b).

,,c-bd-b/、，、11

故=(c-b)(d-b)

zyc(a+6+c)d(a+b+d)

=(c-b)(d-b)[d(a+b+d)-c(a+b+c)]

=(c-6)(r/-Z>)[(J-c)(a+6)+i/2-c2]

=(c-b)(d-6)(d-c)(a+6+c+d),

因此，左式=(6-a)(c-a)(d-a)(c-6)(d-Z>)(d-c)(a+6+c+d)=右式.

(5)證一遞推法.按第1列展開，以建立遞推公式，

-1

x-10

+....

*

x-1

22

=JCD?+(-l)"<a0=xD?+a0.

又，歸納基礎為：口=%(注意不是#),于是

D..|=血+a0

=x(xD,_|+。|)+a。

2

=XD?.|+QjX+a0

=x"D)+a?_1x**1+…+即<1：+。0

2

=a0+Ujx+a2j：++arr".

證二按最后一行展開得

n

*

21

=2Ja/=a。+。］工+a2x+…+a?.jx"_+anx".

7.設n階行列式。=€1或4）,把D上下鼠轉、或逆時針旋轉90?、或依副

對角線翻轉,依次得

%…%即.…%.%“…4?

D,=::,D2=::,D3=::,

?II0八J?八?n

證明。=。2=（-1）與％,。3=。.

證（1）先計算介，為此通過交換行將D.變換成D.從而找出。與D

的關系.

D1的最后一行是D的第1行，把它依次與前面的行交換，直至換到第1

行,共進行〃-1次交換；這時殿后一行是D的第2行，把它依次與前面的行交

換,直至換到第2行,共進行〃-2次交換；……，直至最后一行是D的第〃-1

行,再通過一次交換將它換到第H-1行，這樣就把D,變換成D,共進行

（H-1）+（H-2）+-+1=-1）

次交換，故D,=（-1）7'（--0D.

注r上述交換行列式的行（列）的方法，在解題時，經常用到.它的特點是

在把最后一行換到某一行的同時，保持其余〃-1個行之間原有的先后次序（但

行的序號可能改變）.2?同理把D左右翻轉所得行列式為（-1）如“

（2）計算）?注意到孫的第1,2,…，〃行恰好依次是D的第%1,…，

1列,故若把D2上下翻轉得力；，則D2的第1,2,-,n行依次是D的第1,

2,…，”歹八即8z=DT?于是由（I）

（,TU,）

D2=（-1）%…）萬2=（-1）T---*D=（-1）T'"D.

（3）計算.注意到若把D）逆時針旋轉90?得方一則D3的第1,2.….〃

列恰好是D的第〃，〃-1,…，1列，于是再把D,左右翻轉就得到D.由（1）之注

及⑵，有

Dj=（firs=D.

注本例的結論值得記取，即對行列式D作轉置、依副對角線翻轉、旋轉

180°所得行列式不變;作上下翻轉、左右翻轉、逆（順）時針旋轉9（r所得行列式為

（-1）T"（--0D.

8.計算下列各行列式（R為k階行列式）：

a1

（1）。“二，其中對角線上元素都是叫未寫出的元素都是0;

⑵D.二

a

an(a-l)rt

a*"1(a-I)"'1

⑶/產：i

aa-1…

11…

提示:利用范德蒙德行列式的結果.

仇

，其中未寫出的元素都是0;

%

(5)D.=det(a“)，其中％=Ii-jI;

⑹D?=，其中即以…。*工0?

(1)解一把Q.按第一行展開得

0a

D.=a”+(-l)…°/

*.a

10

按第一列“

展開

(2)本題中D,是教材例8中行列式的一般形式，它是一個非常有用的行列

式，在以后各章中有不少應用.

解利用各列的元素之和相同，提取公因式.

(3)解把所給行列式上下翻轉，即為范德蒙德行列式，若再將它左右翻

轉，由于上下翻轉與左右翻轉所用交換次數相等，故行列式經上下翻轉再左右翻

轉(相當于轉180,，參看題7)其值不變.于是按范德蒙德行列式的結果，可得

(4)解本題與例11相仿，解法也大致相同，用遞推法.

由例I。,“,

即有遞推公式

D21t=(a,<一

a,bi

另一方面，歸納基礎為D2=j利用這些結果，遞推得

Cidx

D21t=-bq)…(aid]-6|Cj)=口(為&-dQ).

(5)解

(6)解將原行列式化為上三角形行列式.為比，從第2行起，各行均減去

第1行，得與例1.3相仿的行列式

其中6=1+Qja&a=*卜十冬辦于是

D.=a小卜+冬H

31-12

-513一：，。的(i,j)元的代數余子式記作A,j,求

9.設D=

20(1-1

1-53-3

A”+3A32—2A33+2AJJ.

解與例13相仿，八八+3人32-24、+2434等于用1,3,-2,2替換D的第

3行對應元素所得行列式，即

3172]I311

-5137j+q-513-1

A31+3A?~2A33+2八乂=]3

-2213-20

3-3|I1-5

1-530

3I-「I1

-1-1

~2220r,4-(-2)

―—^-213-2

I3-20按。展開

-53

-530|

=24.

10.用克拉默法則解下列方程組：

X|4-x2+x3+x4=5;+6x2=1,

x,+2x:-x3+414=-2;=0,

⑴〈+6x4=0,

2xx一3工2一工3-514=-2,

X

3x,+X；+2n+11-r4=0；+54=1.

解

11

1-28

=-142;

0-1314

0-5

1111

-1405

-1-50-4

21109

-2732

=-142;

23-22

15111511

-2-14ri-r0-7-23

5=t

2-2-1-5「3-2小0-12-3-7

小-3ri

302110-15-18

-7-23230-13

-2rj

—-12-3-7——33C-31

「2-3r)

-15-18-15-18

按r展開23-13

=-284;

33—31

1151151

12-2

4'「I01-73

2-3-2-5"-明0-5-12-7

r-3rl

310Ill410-2-158

5

-73_11-478

=-426;

-478-01-2914

-2914

1I151115

12-1-201-2-7

D、=

2-3-1-2b-2人0-5-3-12

…

31200-2-1-15

11151

rj+5，？01-2-7-13-47

==142

rt+2r300-13-47-5-29

00-5-29|

由克拉默法則，得

D44=-1;

工3=方3=3，-

5600

560600

560按j版開

⑵標；156=15656

015015

00I5

560

60

而156=5=65;(*)

1

015

600

156=114,

015

于是0=325-114=211；

1600

560600

0560技j展開]

D,=5660

0156

01556

1015

由（?）式

=65-216=-151;

5100

160500

1060按C?展開

056+160

0056

015056

0115

=-19+180=161；

5610

150560

1500按C3展開

D=-------016150

30106

005016

0015

=5-114=-109;

5601

156560

1560按J展開

015十156

~0150

001015

001

由（?）式

-1+65=64.

由克拉歌法則，得

Dt_151_D2__161_D3_109_D4_64

~D~一示，“2=方=示，外=方=一方—二方=2IT

1L間入，〃取何值時，齊次線性方程組

Ax|+x2+=0,

vXi+4八+x3=0,

Xi+2儀2+=0

有非零解？

解由定理5',此時方程組的系數行列式必須為0.

故只有當幺=0或4=1時，方程組才可能有非零解.

?當〃=0,原方程組成為

fAxj+x2+以=0,

Vl+工3=0，

顯然工I=1,5=1-4,馬=-1是它的一個非零解；

當;1=1,原方程組成為

X）+叫+=0，

?X）+fix-i+Xj=0,

,x1+2/zz2+x3=0,

顯然=-1,叫=0,工3=1是它的一個非零解.

因此，當〃=0或4=1時，方程組有非零解.

注定理5（或定理5'）僅表明齊次線性方程組要有非零解，它的系數行列

式必為零.至于這條件是否充分將在第三章中予以解決，目前還是應臉證它有非

零解.下題也是同樣情形.

12.問A取何值時，齊次線性方程組

)(1-4)叫-2X2+4X3=0,

2x,+(3-A)x2+x3=0,

+x2+(1-A)x3=0

有非零解？

解若方程組有非零解，由定理5',它的系數行列式D=0.

因

故D=0=>A=0或久=2或2=3,并且不難驗證:

當久=0時,斗=-2,叫=1,l3=1;當；1=2時，f=-2,壬=3,與=1；當

2=3時，以=-1,叫=5,Zj=2均是該方程組的非零解.所以當a=0,2,3時

方程組有非零解.

習題解答

1.計算下列乘積:

431732

⑴1-232(2)(1,2,3)2⑶.1(-1,2);

570113

131

140072

⑷C-1341-31

40-2

(5)(X),x2,x3)

?1333叫，

431735

解⑴1-2326

570.1493xi

3

(2)(1,2,3)IX32=(10)lxl=10;

a\\x\+a\lx2+al3x3

ax+ax+ax

=(,X2)ixj\2l222233

al3xl+a23x2+a33x3Jjx|

=。］|工：+aHl+Q”工；+即用與+

+刖134+即31；

=aHx?+anxl+ajjxJ+2al2x(x2+2a|3Z|X3+2a23x2x3.

112

2.設A=-1,B=-1-2

11-1105

求3AB-2A及A’B.

解

1

AB=1

1

于是3AB-2A

1322

-1720;

29-2

因AT=A,即A為對稱陣，故

058

AB=AB0-56

290

3.已知兩個線性變換

j=2y+%，

-x2=-2>(+3y2+2%,4

工3=4川+?+5%,

求從Z1,Zz到N1,工2，13的線性變換.

解依次將兩個線性變換寫成矩陣形式：

X=AY,Y=BZ,

-310

,B=201分別為對應的系數矩陣；*二

0-13

在這些記號下，從孫，叼，叼到叫，q，耳的線性變換的矩

X=AY=A(BZ)=(AB)Z=CZ,

這里矩陣

C=AB=

即有

』=一6Z[+22+3Z3

x2=12Z|-4Z2+9Z5

孫=一IO?)-z2+16Z3.

12

4.設A=

13)-(:胃阿

(1)AB=BA嗎？

⑵(A+b)2=A2+2AB+B2嗎？

(3)(A+S)(A-B)=A2-B2嗎？

340

解(1)因AB=,BA

CSIC3462)C3)

12

，故AB^BA;

38

(2)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+4B+BA+B2,

但由(1),ABWBA,故AB+5AK2AB，從而

(A+B)2HA2+2A5+叫

(3)(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-3?,但由([),ABHBA,故BA-

A5WO,從而

(A+B)(A-B)^A2-B2.

5.舉反例說明下列命題是錯誤的：

(1)若42=0,則A=O;

(2)若1=4則4=0或4=后；

(3)若AX=AY,且A盧O,則*=Y.

解(1)取A=(：：),有T=O,但AKO;

(2)取A=(；：),有A?=A,但AHO且A聲E;

⑶取T》*=(：…有A*…，且AKO,

但*WY.

6.設A=（；：）,求A?,A、，…，A".

解直接計:Y：）（：:

Y：）（：°J=（L°X

一般可得A*=（l°J,（2.3）

\kX

事實上，當A=1時，（2.3）式顯然成立；

設當4=〃…時，（2.3）式成立，那么機當；左=；"卜十1［時二，

由歸納法，知（2.3）式成立.

A10

7.設A=0A1,求A".

00A.

解把A寫成兩個矩陣之和

00010

A0+001=AE+B,

0A000

?°10001

其中三階矩陣8=001滿足B2=000,B'=O(43).

,000000

于是A"=(AE+B)*=O"E++…+C：B'

=O"E+Ck7B+◎…B2

=0V%…=A"

00A"

8.設A,5為”階矩陣，且A為對稱陣，證明STAB也是對稱陣.

證根據矩陣乘積的轉置規則.有

（BTAB）T=BTAT（BT）T=BTAB（因A為對稱陣），

故由定義，知BTAB為對稱陣.

9.設都是〃階對稱陣，證明AB是對稱陣的充要條件是AB=SA.

證因=，故

AB為對稱陣0（AS尸=A3

<=PBTAT=AB^BA=AB.

10.求下列矩陣的逆陣：

解（1）由二階方陣的求逆公式（教材例10）得

cos6-sin\'1_1{cos6sin0

⑵

sin0cos8Icos29+sin26\—sin0cos0

Icos0sin0\

\-sin0cos6/,

12-1

⑶因IAl=34-2=2W0,故A可逆，并且

5-41

4-22

.=-4,

4

1

3

1

MLM"=5_4…，

3

于是

-M21

，=，=-M-MA

A-T7TAT12

10

-42

=y-1363；

[-3214

7-L

(4)因ai。2…a”H0，故a,工0,，=1,2,…，〃.于是矩陣B=

diag信心）是有意義的,并且因