安徽師大附中2025屆高三下學期第五次調研考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，，若集合中有且僅有2個元素，則實數的取值范圍為A． B．C． D．2．已知復數滿足，則的共軛復數是（）A． B． C． D．3．將函數的圖象先向右平移個單位長度，在把所得函數圖象的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在上沒有零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知數列是公比為的等比數列，且，，成等差數列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或5．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．6．港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調查．畫出頻率分布直方圖（如圖），根據直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區間[85，90）的車輛數和行駛速度超過90km/h的頻率分別為（）A．300， B．300， C．60， D．60，7．三國時代吳國數學家趙爽所注《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用，化簡，得.設勾股形中勾股比為，若向弦圖內隨機拋擲顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內的圖釘數大約為（）A． B． C． D．8．2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數字為莖，個位數字為葉）.若甲隊得分的中位數是86，乙隊得分的平均數是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．129．下列命題為真命題的個數是（）（其中，為無理數）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．310．已知函數，，若成立，則的最小值為（）A．0 B．4 C． D．11．若函數在時取得最小值，則（）A． B． C． D．12．若的展開式中的系數為150，則（）A．20 B．15 C．10 D．25二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面向量與的夾角為，，，則__________．14．圖（1）是第七屆國際數學教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖（2）），其中，則的值是______.15．函數在內有兩個零點，則實數的取值范圍是________.16．已知集合，則_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設拋物線的焦點為，準線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經過點.（1）求的值及該圓的方程；（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.18．（12分）近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現象出現增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫院隨機的對入院人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計已知在全部人中隨機抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率為.（1）請將上面的列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為患心肺疾病與性別有關？請說明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位從事的是戶外作業的工作.為了指導市民盡可能地減少因霧霾天氣對身體的傷害，現從不患心肺疾病的位男性中，選出人進行問卷調查，求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業的概率.下面的臨界值表供參考：（參考公式，其中）19．（12分）已知數列的前n項和，是等差數列，且.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令.求數列的前n項和.20．（12分）設點分別是橢圓的左，右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線與軸交于點，過點且斜率的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：直線．21．（12分）已知拋物線上一點到焦點的距離為2，（1）求的值與拋物線的方程；（2）拋物線上第一象限內的動點在點右側，拋物線上第四象限內的動點，滿足，求直線的斜率范圍.22．（10分）已知數列的前項和和通項滿足.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列中，，，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意知且，結合數軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關系及運算，以及借助數軸解決有關問題，其中確定中的元素是解題的關鍵，屬于基礎題.2、B【解析】

根據復數的除法運算法則和共軛復數的定義直接求解即可.【詳解】由，得，所以．故選：B【點睛】本題考查了復數的除法的運算法則，考查了復數的共軛復數的定義，屬于基礎題.3、A【解析】

根據y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式，根據定義域求出的范圍，再利用余弦函數的圖象和性質，求得ω的取值范圍．【詳解】函數的圖象先向右平移個單位長度，可得的圖象，再將圖象上每個點的橫坐標變為原來的倍(縱坐標不變)，得到函數的圖象，∴周期，若函數在上沒有零點，∴，∴，，解得，又，解得，當k=0時，解，當k=-1時，，可得，.故答案為：A.【點睛】本題考查函數y=Acos（ωx+φ）的圖象變換及零點問題，此類問題通常采用數形結合思想，構建不等關系式，求解可得，屬于較難題.4、D【解析】

由成等差數列得，利用等比數列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=故選：D．【點睛】本題考查等差等比數列的綜合，利用等差數列的性質建立方程求q是解題的關鍵，對于等比數列的通項公式也要熟練．5、C【解析】

根據雙曲線的標準方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程是.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙曲線的簡單性質的合理運用．6、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區間的頻率即可得到車輛數，同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率．【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區間的頻率為，∴在此路段上汽車行駛速度在區間的車輛數為：，行駛速度超過的頻率為：．故選：B．【點睛】本題考查頻數、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7、A【解析】分析：設三角形的直角邊分別為1，，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內的概率即可得出結論.解析：設三角形的直角邊分別為1，，則弦為2，故而大正方形的面積為4，小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內的概率為.落在黃色圖形內的圖釘數大約為.故選：A.點睛：應用幾何概型求概率的方法建立相應的幾何概型，將試驗構成的總區域和所求事件構成的區域轉化為幾何圖形，并加以度量．(1)一般地，一個連續變量可建立與長度有關的幾何概型，只需把這個變量放在數軸上即可；(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序實數對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型；(3)若一個隨機事件需要用三個連續變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數組來表示基本事件，利用空間直角坐標系即可建立與體積有關的幾何概型．8、D【解析】

中位數指一串數據按從小（大）到大（小）排列后，處在最中間的那個數，平均數指一串數據的算術平均數.【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數為，故；乙的平均數為，解得，所以.故選：D.【點睛】本題考查莖葉圖的應用，涉及到中位數、平均數的知識，是一道容易題.9、C【解析】

對于①中，根據指數冪的運算性質和不等式的性質，可判定值正確的；對于②中，構造新函數，利用導數得到函數為單調遞增函數，進而得到，即可判定是錯誤的；對于③中，構造新函數，利用導數求得函數的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對于①中，由，可得，根據不等式的性質，可得成立，所以是正確的；對于②中，設函數，則，所以函數為單調遞增函數，因為，則又由，所以，即，所以②不正確；對于③中，設函數，則，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質，以及導數在函數中的綜合應用，其中解答中根據題意，合理構造新函數，利用導數求得函數的單調性和最值是解答的關鍵，著重考查了構造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.10、A【解析】

令，進而求得，再轉化為函數的最值問題即可求解.【詳解】∵∴（），∴，令：，，在上增，且，所以在上減，在上增，所以，所以的最小值為0.故選：A【點睛】本題主要考查了導數在研究函數最值中的應用，考查了轉化的數學思想，恰當的用一個未知數來表示和是本題的關鍵，屬于中檔題.11、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據正弦函數的最值，求得在函數取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數的最值的應用，屬于基礎題．12、C【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到，即得解.【詳解】由已知得，故當時，，于是有，則.故選：C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由平面向量模的計算公式，直接計算即可.【詳解】因為平面向量與的夾角為，所以，所以;故答案為【點睛】本題主要考查平面向量模的計算，只需先求出向量的數量積，進而即可求出結果，屬于基礎題型.14、【解析】

先求出向量和夾角的余弦值，再由公式即得.【詳解】如圖，過點作的平行線交于點，那么向量和夾角為，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量數量積，解題關鍵是找到向量和的夾角.15、【解析】

設，，設，函數為奇函數，，函數單調遞增，，畫出簡圖，如圖所示，根據，解得答案.【詳解】，設，，則.原函數等價于函數，即有兩個解.設，則，函數為奇函數.，函數單調遞增，，，.當時，易知不成立；當時，根據對稱性，考慮時的情況，，畫出簡圖，如圖所示，根據圖像知：故，即，根據對稱性知：.故答案為：.【點睛】本題考查了函數零點問題，意在考查學生的轉化能力和計算能力，畫出圖像是解題的關鍵.16、【解析】

由可得集合是奇數集，由此可以得出結果.【詳解】解：因為所以集合中的元素為奇數，所以.【點睛】本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質是本題解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），圓的方程為：.（2）答案見解析【解析】

（1）根據題意，可知點的坐標為，即可求出的值，即可求出該圓的方程；（2）由題易知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，與拋物線聯立方程組，根據，求得，化簡解得，進而求得點的坐標為，分別求出，，利用向量的數量積為0，即可證出.【詳解】解：（1）易知點的坐標為，所以，解得.又圓的圓心為，所以圓的方程為.（2）證明易知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.將代入的方程，得，即點的坐標為.所以，，.故.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和圓的方程，考查直線和拋物線的位置關系，利用聯立方程組、求交點坐標以及向量的數量積，考查解題能力和計算能力.18、（1）列聯表見解析，有的把握認為患心肺疾病與性別有關，理由見解析；（2）.【解析】

（1）結合題意完善列聯表，計算出的觀測值，對照臨界值表可得出結論；（2）記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業的兩人分別為、，其余三人分別為、、，利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“所選的人中至少有一位從事的是戶外作業”所包含的基本事件數，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【詳解】（1）由于在全部人中隨機抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率為，所以人中患心肺疾病的人數為人，故可將列聯表補充如下：患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計.故有的把握認為患心肺疾病與性別有關；（2）記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業的兩人分別為、，其余三人分別為、、.從中選取三人共有以下種情形：、、、、、、、、、.其中至少有一位從事的是戶外作業的有種情形，分別為：、、、、、、、、，所以所選的人中至少有一位從事的是戶外作業的概率為.【點睛】本題考查利用獨立性檢驗的基本思想解決實際問題，同時也考查了利用列舉法求解古典概型的概率問題，考查計算能力，屬于中等題.19、（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）先由公式求出數列的通項公式；進而列方程組求數列的首項與公差，得數列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用“錯位相減法”求數列的前項和.試題解析：（1）由題意知當時，，當時，，所以．設數列的公差為，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，兩式作差，得所以．考點1、待定系數法求等差數列的通項公式；2、利用“錯位相減法”求數列的前項和.【易錯點晴】本題主要考查待定系數法求等差數列的通項公式、利用“錯位相減法”求數列的前項和，屬于難題.“錯位相減法”求數列的前項和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.20、（1）（2）見解析【解析】

（1）設，求出后由二次函數知識得最小值，從而得，即得橢圓方程；（2）設直線的方程為，代入橢圓方程整理，設，由韋達定理得，設，利用三點共線，求得，然后驗證即可．【詳解】解：（1）設，