專題突破練(分值:102分)學生用書P185主干知識達標練1.(2023北京,5)(2x-1x)5A.-80 B.-40 C.40 D.80答案D解析(2x-1x)5的展開式的通項為Tk+1=C5k(2x)5-k-1xk=(-1)k,25-kC5kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,所以(2x-1x)5的展開式中含2.(2024山東聊城模擬)三名男同學和兩名女同學隨機站成一列,則兩名女同學相鄰的概率是()A.16 B.25答案B解析五名同學排成一列的排法有A55=120(種),其中兩名女同學相鄰的排法有A22A44=48(3.(2024廣東湛江二模)已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,則a0+∑i=29ai=A.-2 B.-19 C.15 D.17答案D解析令x=1,得a0+a1+…+a9=(1-2)9=-1.(1-2x)9的展開式的通項為Tk+1=C9k(-2x)k=(-1)kC9k2kxk(k=0,1,…,9),所以a1=(-1)1×C91×2=-18,所以a0+∑i=29ai=-14.(2024遼寧沈陽二模)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化,每一“重卦”由6個爻組成,爻分為陽爻“”和陰爻“”,如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,記事件A=“取出的重卦中至少有1個陰爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3個陽爻”,則P(B|A)=()A.516 B.1132答案C解析P(A)=26-126=6364,事件AB=“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”,則P(AB)=C63+5.有5名志愿者參加社區服務,共服務星期六、星期日兩天,每天從中任選2人參加服務,則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為()A.120 B.60 C.40 D.30答案B解析(方法一)先在5名志愿者中安排1名在這兩天都參加社區服務,有5種安排方法,再在星期六、星期日,每天從剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者參加社區服務,有4×3=12(種)安排方法.由分步乘法計數原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有5×12=60(種).(方法二)在5名志愿者中安排2名在星期六參加社區服務,有C52=10(種)安排方法.再從星期六參加社區服務的2名志愿者中安排1名及從剩下的3名志愿者中安排1名在星期日參加社區服務,有2×3=6(種)安排方法.由分步乘法計數原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有10×6=60(種(方法三)從5名志愿者中,在星期六、星期日兩天各安排2名參加社區服務,有C52×C52=100(種)安排方法,星期六、星期日兩天的志愿者全不相同的安排方法有C52×C32=30(種),全相同的安排方法有C52=10(種),所以恰有16.(多選題)(2024河北衡水模擬)對于(x-12x)A.常數項是15B.各項系數的和是64C.第4項的二項式系數最大D.奇數項的二項式系數的和是32答案ACD解析x-12x6的展開式的通項為Tk+1=C6k·(x)6-k(-12x)k=C6令x=1,得1-126=164,所以各項系數的和是164,故第4項的二項式系數最大,故C正確;奇數項的二項式系數的和為12×26=32,故D故選ACD.7.(多選題)某班星期一上午要安排語文、數學、英語、物理4節課,且該天上午總共4節課,下列結論正確的是()A.若數學課不安排在第一節,則有18種不同的安排方法B.若語文課和數學課必須相鄰,且語文課排在數學課前面,則有6種不同的安排方法C.若語文課和數學課不能相鄰,則有12種不同的安排方法D.若語文課、數學課、英語課按從前到后的順序安排,則有3種不同的安排方法答案ABC解析對于A,先安排數學課,有3種排法,再安排其他3節課,有A33種排法,故總共有3A33=18(種)排法,故A正確;對于B,采用捆綁法,有A33=6(種)排法,故B正確;對于C,先排英語課和物理課,有A22種排法,再采用插空法排語文課和數學課,有A32種排法,故總共有A22A32=12(種)排法,故C正確;對于D,4節課共有A44種排法,語文課、數學課、英語課的排列順序共有A8.(5分)(2024甘肅定西一模)已知某廠甲、乙兩車間生產同一批衣架,且甲、乙兩車間的產量分別占全廠產量的60%,40%,甲、乙車間的優品率分別為95%,90%.現從該廠這批產品中任取一件,則取到優品的概率為.(用百分數表示)

答案93%解析從該廠這批產品中任取一件,設A1=“取到的產品由甲車間生產”,A2=“取到的產品由乙車間生產”,B=“取到的產品為優品”.由題可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.9,故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.9.(5分)(2023新高考Ⅰ,13)某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課,學生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種(用數字作答).

答案64解析(方法一直接法)若選2門課,只需體育類和藝術類各選1門,有C41×C4若選3門課,則需體育類選1門、藝術類選2門,或體育類選2門、藝術類選1門,有C41×C42+C42×C4(方法二間接法)由題意可知,從8門課中選擇2門或者3門共有C82+C83=84(種)不同的選課方案,只選擇體育類或藝術類的選課方案有C21C42+C2關鍵能力提升練10.(2024山東臨沂一模)將1到30這30個正整數分成甲、乙兩組,每組各15個數,使得甲組的中位數比乙組的中位數小2,則不同的分組方法數是()A.2(C13C.2C146答案B解析因為甲組、乙組均為15個數,所以其中位數也均為從小到大排列的第8個數,即各組小于中位數的有7個數,大于中位數的也有7個數.因為甲組的中位數比乙組的中位數小2,所以甲組的中位數和乙組的中位數中間有1個數,所以小于甲組的中位數的數至少有7×2-1=13(個),至多有7×2=14(個),所以甲組的中位數為14或15.若甲組的中位數為14,則乙組的中位數為16,15一定在乙組,此時從1~13中選7個數放到甲組,剩下的6個數放到乙組,再從17~30中選7個數放到甲組,剩下的7個數放到乙組,此時有C137若甲組的中位數為15,則乙組的中位數為17,16一定在甲組,此時從1~14中選7個數放到甲組,剩下的7個數放到乙組,再從18~30中選6個數放到甲組,剩下的7個數放到乙組,此時有C147綜上可得不同的分組方法數是C137C147+11.(多選題)(2024廣東廣州一模)甲箱中有3個紅球和2個白球,乙箱中有2個紅球和2個白球(兩箱中的球除顏色外沒有其他區別),先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱,分別用事件A1和A2表示從甲箱中取出的球是紅球和白球;再從乙箱中隨機取出兩球,用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球,則()A.P(A1)=35B.P(B)=11C.P(B|A1)=950D.P(A2|B)=2答案ABD解析依題意可得P(A1)=35,P(A2)=若從甲箱中取出紅球,則乙箱中有3個紅球和2個白球,所以P(B|A1)=C3若從甲箱中取出白球,則乙箱中有2個紅球和3個白球,所以P(B|A2)=C22C52=110,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=P(A2|B)=P(A2B)故選ABD.12.(2024山東濟南一模)某公司現有員工120人,在榮獲“優秀員工”稱號的85人中,有75人是高級工程師,既沒有榮獲“優秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有14人,公司將隨機選擇一名員工接受電視新聞節目的采訪,被選中的員工是高級工程師的概率為()A.38 B.1724答案C解析由題意得,試驗的樣本空間Ω的樣本點總數為120,即n(Ω)=120.每個樣本點都是等可能的,所以這是一個古典概型.設事件A=“被選中的員工是高級工程師”,則n(A)=120+75-85-14=96,所以所求概率為P=n(A)13.(多選題)(2024山東日照一模)從標有1,2,3,…,8的8張卡片中有放回地抽取兩次,每次抽取一張,依次得到數字a,b,記點A(a,b),B(1,-1),O(0,0),則()A.∠AOB是銳角的概率為7B.∠ABO是直角的概率為1C.△AOB是銳角三角形的概率為7D.△AOB的面積不大于5的概率為43答案ACD解析由題可知點A位于第一象限.用圖表表示點A的坐標,如圖.ab123456781(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(5,7)(5,8)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(6,7)(6,8)7(7,1)(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,7)(7,8)8(8,1)(8,2)(8,3)(8,4)(8,5)(8,6)(8,7)(8,8)可以得到,試驗的樣本空間包含的樣本點的個數為n(Ω)=C81C81=對于A,如圖,設直線l過點O,且與OB垂直,因為kOB=-1,所以l:y=x,所以當a<b時,∠AOB是銳角.設A=“∠AOB是銳角”,則n(A)=28,所以P(A)=n(A)n(對于B,如圖,設直線m過點B,且與OB垂直,所以l:y+1=x-1,即l:y=x-2,所以當b=a-2時,∠ABO是直角.設B=“∠ABO是直角”,則n(B)=6,所以P(B)=n(B)n(對于C,如圖,若△AOB為銳角三角形,則點A位于直線l和m之間,由題易知點A位于直線y=x-1上,所以當b=a-1時,△AOB為銳角三角形.設C=“△AOB為銳角三角形”,則n(C)=7,所以P(C)=n(C)n(對于D,如圖,|OB|=2,直線OB:y=-x,即x+y=0.設直線n:y=-x+c,即x+y-c=0,c>0,直線OB與直線n的距離為d,則d=|c若△AOB的面積為5,則12|OB|d=5,即22·22c=5,解得c=10,即n:y=-x+10,所以當b≤-a+10,即a+b≤10時,設D=“△AOB的面積不大于5”,則n(D)=43,所以P(D)=n(D)n(Ω)=14.(多選題)(2024山東濟南一模)下列等式中正確的是()A.∑k=18CC.∑k=28k-答案BCD解析對于A,因為(1+x)8=C80+C81x+C82x2+…+C88x8,令x=1,得28=1+C81+C82+…+C對于B,因為Cn2+Cn3=Cn+13,所以∑k=28Ck2=C22對于C,因為1(所以∑k=28k-1k!=∑k=281(k對于D,(1+x)16=(1+x)8(1+x)8,對于(1+x)16的展開式,其含有x8的項的系數為C168,對于(1+x)8(1+x)8的展開式,要得到含有x8的項的系數,須從第一個式子的展開式中取出含xk(k=0,1,…,8)的項,再從第二個式子的展開式中取出含x8-k的項,它們對應的系數相乘后求和,得∑k=08C8kC815.(5分)(2024廣東佛山模擬)已知a=1+C2012+C20222+C20323+…+C2020220答案1解析a=1+C2012+C20222+C20323+…+C2020220=(1+2)20=320=910=(10-1)10=C1001010-C101109+…+C108102-C10910+C1010=故a除以10所得的余數為1.16.(5分)(2024河北邢臺模擬)將1,2,3,…,9這9個數填入如圖所示的格子中(要求每個數都要填入,每個格子中只能填一個數),記第1行中最大的數為a,第2行中最大的數為b,第3行中最大的數為c,則a<b<c的填法共有種.

答案60480解析由題可知,c=9,c可選的位置有3個,第3行其余2個位置任取2個數,共有C31A82種情況;第2行,取剩下6個數中最大的數為b,可選的位置有3個,其余2個位置任取2個數,共有C31A52種情況;第1行,剩下3個數任意排列,則有A33核心素養創新練17.(17分)(2024江蘇蘇州模擬)在一個抽獎游戲中,主持人從編號為1,2,3,4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個,放入一件獎品,再將四個箱子關閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規則是主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個,若獎品在此箱子里,則獎品由獲獎人獲得.現有抽獎人甲選擇了2號箱,在打開2號箱之前,主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子.按游戲規則,主持人將隨機打開甲的選擇之外的一個空箱子.(1)計算主持人打開4號箱的概率;(2)當主持人打開4號箱后,現在給抽獎人甲一次重新選擇的機會,請問他是堅持選2號箱,還是改選1號