課程基本信息課例編號學科數學年級高一學期第一學期課題函數的圖象（2）教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1．掌握參數，對函數圖象的影響，理解參數，在圓周運動中的實際意義．2．能從正弦曲線出發，經過平移變換、橫坐標的伸縮變換（周期變換）、縱坐標的伸縮變換（振幅變換）三種圖象變換得到函數的圖象，理解從正弦曲線到函數圖象的變換過程．3．在探究圖象的變換過程中，體會從特殊到一般的研究方法，發展數學抽象、邏輯推理與直觀想象的學科素養．教學重點：參數，對函數圖象的影響．教學難點：參數對函數圖象的影響．教學過程時間教學環節主要師生活動2分鐘（一）回顧舊知引導語：上一節課我們通過對筒車運動的研究，用三角函數模型刻畫了現實世界中的勻速圓周運動．利用三角函數的知識建立了形如（其中，）的函數．以以往研究函數的一般思路，為了研究這個函數的圖象與性質，就需要明確參數，，對函數圖象的影響．請同學們回答以下問題：問題1：研究參數，，對函數圖象的影響是按怎樣的思路展開研究的？問題2：研究參數對函數圖象的影響時，是怎樣進行研究的？師生總結：對三個不同的參數控制變量：相對固定其中兩個，僅一個變動；從局部到整體，分別研究，，對函數圖象的影響．在研究參數對函數圖象的影響時，研究過程是從取特殊值入手，觀察了取特殊值時的函數圖象，并猜想驗證．在這個過程中，關鍵是分析清楚了與圖象上點的關系，從而由特殊到一般，獲得一般性結論．17分鐘（二）探究新知引導語：這節課我們繼續研究參數、對函數圖象的影響．1．探索參數對函數圖象的影響．問題3：類比參數對函數圖象影響的研究過程，你計劃怎樣研究參數對函數圖象的影響？生：明確研究思路：仍然可以用從特殊到一般的研究方法探索參數對函數圖象的影響．師：引導學生明確研究思路后，提出以下追問．追問：（1）結合筒車模型，取不同值表示什么含義？（2）若給賦特殊值，你認為給取哪個特殊值比較合適？生：結合筒車模型，分析的實際意義．師：引導學生理解的實際意義，明確接下來的研究對象：函數與的圖象之間的變換關系．師生分析：結合筒車模型，代表角速度，取不同值表示質點以不同的角速度做勻速圓周運動．前面我們研究了時的函數的圖象，所以不妨設，固定的值，改變參數，研究函數與圖象之間的變換關系．設計意圖：引導學生類比參數對函數圖象影響的研究過程，明確參數對函數圖象影響的研究思路．結合筒車模型，引導學生理解的實際意義，為后面的探索做好準備．下面我們繼續借助信息技術進行實驗探究．師：結合信息技術動態演示時，動點的軌跡以及動點對應的函數解析式．我們知道，動點在單位圓上以單位角速度（即）按逆時針方向運動，如果動點以為起點（此時），經過后運動到點，那么點的縱坐標就等于，所以以為坐標描點，點的軌跡對應的函數解析式是．問題4：若取，動點以為起點，在單位圓上以角速度按逆時針方向運動，經過后運動到點，那么點的縱坐標是什么？生：點的縱坐標就等于．追問：此時，以為坐標描點，點的軌跡對應的函數解析式是什么？生：點的軌跡對應的函數解析式是．師：結合信息技術動態演示時，動點的軌跡．問題5：函數與的圖象之間存在怎樣的變換關系？你能從質點的勻速圓周運動規律和函數圖象上點的坐標變化的角度進行解釋嗎？生：思考、交流．師：引導學生分析，學生遇到困難時進行點撥．師生分析：如圖，從勻速圓周運動的變化規律看，在單位圓上，兩個動點都以為起點，以和的不同角速度繞單位圓逆時針方向運動，到達同一位置時，時的運動時間始終是時運動時間的．對應地，設是函數圖象上的一點，那么就是函數圖象上的相應點．問題6：如上我們找到了兩個函數圖象上任意點的變化，那么如何從函數的圖象得到函數的圖象？生：思考，交流．師：引導學生理解圖象變換的本質是圖象上點的變換．總結：函數的圖象是把函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）得到的．并且的周期為，是的周期的．問題7：如果取，，時，對應的函數的圖象與的圖象之間存在怎樣的變換關系？生：仿照上面的研究過程分析、交流．師：以為例，動點的轉速是時的，以為起點，到達點的時間是時的倍，所以把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），就得到的圖象．的周期是，是的周期的倍．我們借助信息技術一起直觀感受一下．問題8：結合上面的研究過程，你能給出的變化對函數圖象影響的一般化結論嗎？總結：一般地，函數的周期是，把圖象上所有點的橫坐標縮短（當時）或伸長（當時）到原來的倍（縱坐標不變），就得到的圖象．設計意圖：通過本環節，讓學生理解具體的勻速圓周運動規律與三角函數解析式及其圖象之間的本質聯系，突出參數的實際意義．在研究過程中，引導學生體會從特殊到一般，具體到抽象的過程，同時借助信息技術，動態演示，幫助學生更加直觀地觀察參數對函數圖象的影響，并用數學的語言準確地描述數學對象，發展數學抽象、邏輯推理與直觀想象的學科素養．2．探索參數對圖象的影響．師：類比參數，對函數圖象影響的研究過程，我們可以用相同的方法來研究參數對函數的圖象的影響．請同學們思考：問題9：（1）結合筒車模型，取不同值表示什么含義？（2）若給賦特殊值，你認為給，取哪個特殊值比較合適？生：結合筒車模型，分析的實際意義．師：引導學生理解的實際意義，明確接下來的研究對象：函數與的圖象之間的變換關系．師生分析：結合筒車模型，代表質點做勻速圓周運動的運動半徑，取不同值表示質點以不同的運動半徑做勻速圓周運動．同樣地，為了研究方便，不妨設，，固定，的值，改變參數，研究函數與的圖象之間的變換關系．設計意圖：引導學生類比參數，對函數圖象影響的研究過程，明確參數對函數圖象影響的研究思路．結合筒車模型，引導學生理解的實際意義，為后面的探索做好準備．問題10：若取，設射線與以為圓心、為半徑的圓交于點，如果單位圓上以為起點的動點，以的轉速經過后到達圓周上的點，那么點的縱坐標是，相應地，動點在以為圓心、為半徑的圓上，以為起點，的轉速經過后到達圓周上的點，那么點的縱坐標是什么？師：借助信息技術演示．生：點的縱坐標就等于．追問：此時，以為坐標描點，點的軌跡對應的函數解析式是什么？生：點的軌跡對應的函數解析式是．問題11：函數與的圖象之間存在怎樣的變換關系？你能從質點的勻速圓周運動規律和函數圖象上點的坐標變化的角度進行解釋嗎？生：借助前面的研究過程，分析、交流．師：在學生困難的地方進行點撥，借助信息技術動態演示，引導學生得出一般性的結論．師生分析：如圖，從勻速圓周運動的變化規律看，在以為圓心，半徑分別為1和2的圓上，兩個動點分別以和為起點，的轉速經過后分別到達圓周上的點和點，易得點的縱坐標是點的縱坐標的2倍．對應地，設是函數圖象上的一點，那么就是函數圖象上的相應點．問題12：如上我們找到了兩個函數圖象上任意點的變化，那么如何從函數的圖象得到函數的圖象？生：思考，交流．總結：函數的圖象是把函數的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）得到的．問題13：如果取，，時，對應的函數的圖象與的圖象之間存在怎樣的變換關系？你能給出的變化對函數圖象影響的一般化結論嗎？生：仿照上面的研究過程分析、交流．師：借助信息技術動態演示，引導學生總結一般性的論．師生總結：以為例，把函數的圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的（橫坐標不變），就得到的圖象．一般地，函數的圖象，可以看作是把函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（當時）或縮短（當時）為原來的倍（橫坐標不變）而得到．從而，函數的值域是，最大值是，最小值是．設計意圖：通過探究參數的變化對函數的圖象的影響，學生進一步體會由特殊到一般的思想方法，借助信息技術直觀地觀察圖象的變換關系，最后得出一般性的結論，在研究過程中，發展數學抽象、邏輯推理與直觀想象的學科素養．3．總結從正弦曲線出發，通過圖象變換得到的圖象．問題14：我們分別研究了三個參數對函數圖象的影響．并按照路線，你能總結一下這個變換過程嗎？生：總結變換過程：步驟1：把正弦曲線上的所有點向左平移個單位長度，得到的圖象；步驟2：把函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到的圖象；步驟3：把函數的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變），得到的圖象．追問：更一般地，你能總結一下從正弦函數圖象出發，通過圖象變換得到圖象的過程與方法嗎？生：填寫教科書第236頁中的圖表．師生總結：步驟1：把正弦曲線上的所有點向左（當時）或向右（當時）平移個單位長度，得到的圖象．步驟2：把函數圖象上所有點的橫坐標縮短（當時）或伸長（當時）到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象．步驟3：把函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（當時）或縮短（當時）為原來的倍（橫坐標不變），得到的圖象．師：以上變換過程，是按照前面的研究順序：，總結了由從正弦曲線出發，通過圖象變換得到圖象的變化過程．事實上，一開始研究時，同學們也會提到不同的研究順序，例如：先從入手進行研究，當然也可以有其他順序，留給同學們課后研究、討論．設計意圖：引導學生從局部的討論過渡到整體的思考，從特殊的例子中歸納概括一般性的結論，得到從正弦函數的圖象出發，通過圖象變換得到圖象的過程與方法.2分鐘（三）學以致用引導語：下面我們應用本節課學習的知識完成一道練習．練習：已知函數的圖象為．（1）為了得到函數的圖象，只要把上所有的點橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變縱坐標伸長到原來的倍，橫坐標不變縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變（答案：B）（2）為了得到函數的圖象，只要把上所有的點橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變縱坐標伸長到原來的倍，橫坐標不變縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變（答案：C）生：獨立完成，鞏固新知．設計意圖：考查學生對參數，對函數圖象影響的掌握．2分鐘（四）歸納總結布置作業回顧兩節課的學習過程，我們以現實世界中的勻速圓周運動為背景，建立了函數，為了研究這個函數的性質，關鍵是研究參數，，的變化對