課程基本信息課例編號學科數學年級高一學期第一學期課題對數函數的概念教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.從實際問題情境中，抽象出對數函數的概念，認識與指數函數間的關系；2.在對數函數概念形成過程中進一步體會函數的本質，感受知識間內在聯系；3.借助信息技術和計算工具感受對數函數的變化，發展數學運算和數學抽象的素養.教學重點：對數函數概念的形成.教學難點：對指數函數與對數函數內在聯系的把握.教學過程時間教學環節主要師生活動溫故知新同學們好，我是北京市第十一中學的魯國方，很高興與大家一起學習這節課的內容.首先，請問大家一個問題：你知道考古學家是如何推測出土文物或古遺址年代的嗎？當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規律，生物體內碳14含量與死亡年數之間有怎樣的關系？通過指數函數的學習，我們知道，當生物死亡年數為，死亡生物體內碳14含量為，那么這就是我們學過的指數函數.我們用指數函數模型研究了呈指數增長或衰減變化規律的問題，它揭示了死亡生物體內碳14的含量隨時間的變化而衰減的規律.當我們知道生物的死亡時間，通過指數函數，我們就能知道生物體內碳14的含量.但是，更有價值的是，考古學家想推測出土文物或古遺址年代，往往是，先測算出生物體內碳14的含量，然后計算出它死亡了多長時間.你知道，他們是怎么做到的嗎？新知形成對這樣的問題，在引入對數后，我們還可以從另外的角度，對蘊含的規律作進一步的研究．問題1：死亡生物體內碳14含量為是死亡時間的函數即那么，死亡時間是碳14的含量的函數嗎？追問1：解決這個問題，顯然要依據函數的定義.那么依據定義應該怎樣進行判斷呢？函數的定義：設是非空的實數集，如果對于集合中的任意一個數，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數，記作所以要判斷死亡時間是否是碳14的含量的函數，就要確定，對于任意一個，是否都有唯一確定的與其對應．追問2：若已知死亡生物體內碳14的含量，如何得知它死亡了多長時間呢？如圖，觀察的圖象，過軸正半軸上任意一點作軸的平行線，與的圖象有幾個交點？這說明對任意一個，都有幾個與其對應？能否將看成是的函數？按照追問1確定的辦法，用軟件進行演示，直觀呈現對任意一個，都有唯一確定的與其對應．追問3：能否求出生物死亡年數隨體內碳14含量變化的函數解析式？根據指數與對數的關系，由得到根據函數的定義，對于每一個給定的值都有唯一的的值與之對應，把看作自變量，就是的函數.但習慣上仍用表示自變量，表示它的函數，即，而中的底數為一個給定的常數，我們用來表示，即.即由指數函數可得，而也構成函數，再改換字母表示，不影響函數的本質，形成一個新的函數這就是本節課要學習的對數函數.新知特征一般地，函數且叫做對數函數，其中是自變量，定義域是關注：1.對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意特征;2.在對數函數的底數且;3.對數函數的定義域為，即自變量學以致用例1給出下列函數：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥其中所有對數函數的序號是(B)(A)=1\*GB3①=2\*GB3②=5\*GB3⑤(B)=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥(C)=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥(D)=3\*GB3③=4\*GB3④追問：判斷函數是否為對數函數的依據是什么？對數函數是形式定義，判斷一個函數是否是對數函數，要以下關注三點:對數符號前面的系數為1；對數的底數是不等于1的正常數；對數的真數僅有自變量.例2求下列函數的定義域：（1）（2）且追問：求解的依據是什么？據此求解的步驟是什么？這些函數雖然不是對數函數，但它們與對數函數緊密相關，求這些函數的定義域時，要注意對數函數的概念.定義域是使函數自變量的取值集合.我們從對數函數的定義出發，對數函數且的定義域是，那么（1）中的和（2）中的的取值范圍就是，于是得到不等式，將定義域問題轉化為解不等式問題，進而求出定義域．解：由對數函數的概念可知：因為即所以函數的定義域是因為即所以函數的定義域是例3假設某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經過年后的物價為該地的物價經過幾年后會翻一番？填寫下表，并根據表中的數據，說明該地物價的變化規律.解：（1）由題意可知，經過年后物價為物價x12345678910年數y0，即由對數與指數間的關系，可得物價翻一番，即，代入函數可得，由計算工具可得（2）根據函數利用計算工具，可得下表：物價x12345678910年數y0142328333740434547由表中的數據可以發現，該地區的物價隨時間的增長而增長，但大約每增長1所需要的的年數在逐漸縮小.練習：已知集合，集合，若下列表達式能建立從集合到集合的函數關系的是;若下列表達式能建立從集合到集合的函數關系的是.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④解：觀察集合A和集合B的數據，從集合到集合的函數的自變量，變量，猜測其對應關系為以2為底的指數函數，將數據依次代入函數進行檢驗，發現都滿足該函數的解析式，所以選①；而從集合到集合的函數的自變量，變量，猜測其對應關系為以2為底的對數函數，將數據依次代入函數進行檢驗，發現都滿足該函數的解析式，所以選=3\*GB3③．小結：對數函數、指數函數、一次函數、二次函數是我們學習的基本初等函數，它們增長是有差異的，不同類型的數據增長應選取合適的函數模型來刻畫其變化規律．歸納總結回顧本課時學習內容，并回答下面問題：（1）概述本節課得到對數函數概念的基本過程．（2）對數函數的現實背景是什么？（1）先通過研究生物體內碳14含量與死亡年數之間的關系，利用圖象上與的對應關系，理解也是的函數，再利用指數與對數的運算關系，依據函數的定義，從交換自變