專題突破練(分值:111分)學生用書P137主干知識達標練1.(2024北京石景山一模)下列函數中,在區間(-1,1)上為減函數的是()A.f(x)=sinx B.f(x)=cosxC.f(x)=ln(x+1) D.f(x)=2-x答案D解析對于A,因為(-1,1)?-π2,π2,所以y=sinx在(-1,1)上為增函數,故A對于B,因為f(x)=cosx是偶函數,在(-1,0)上是增函數,在(0,1)上是減函數,故B錯誤;對于C,f(x)=ln(x+1)的定義域是(-1,+∞),函數y=ln(x+1)在區間(-1,1)上是增函數,故C錯誤;對于D,因為f(x)=2-x=12x在區間(-1,1)上是減函數,故D正確.故選2.(2024江蘇南通期末)設a∈R.若函數f(x)=(a-1)x為指數函數,且f(2)>f(3),則a的取值范圍是()A.(1,2) B.(2,3)C.(-∞,2) D.(-∞,1)∪(1,2)答案A解析由函數f(x)=(a-1)x為指數函數,故a>1且a≠2,當a>2時,函數f(x)=(a-1)x單調遞增,有f(2)<f(3),不符合題意,故舍去;當1<a<2時,函數f(x)=(a-1)x單調遞減,有f(2)>f(3),符合題意,故正確.故選A.3.(2024陜西西安三模)已知函數f(x)=ln|x|,設a=f(-3),b=f14,c=f(2),則()A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>a>c答案A解析函數f(x)=ln|x|的定義域為{x∈R|x≠0},f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x),函數f(x)是偶函數,當x>0時,f(x)=lnx是增函數,而0<14<2<所以f14<f(2)<f(3)=f(-3),即a>c>b.故選A.4.(2024浙江二模)若函數f(x)=ln(ex+1)+ax為偶函數,則實數a的值為()A.-12 B.0C.12答案A解析f(x)=ln(ex+1)+ax的定義域為R,f(-x)=ln(e-x+1)-ax=lnex+1ex-ax=ln(ex+1)由于f(x)=ln(ex+1)+ax為偶函數,故f(-x)=f(x),即ln(ex+1)-(1+a)x=ln(ex+1)+ax?(1+2a)x=0,故1+2a=0,解得a=-12.故選A5.(2024重慶模擬預測)已知函數y=f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),對任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有x2f(x2)-x1f(x1)x2-x1>0,若函數y=f(x+1)的圖象關于點(-1,0)A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案B解析由函數y=f(x+1)圖象關于點(-1,0)中心對稱,知函數f(x)的圖象關于點(0,0)中心對稱,所以f(x)為奇函數.令g(x)=xf(x),則g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)為偶函數.對于?x1,x2∈(0,+∞),有g(x2)-g(x1)x2-x1>0(x1≠所以g(x)在(-∞,0)內單調遞減.由f(1)=4,得g(1)=4,g(-1)=4,當x>0時,f(x)>4x變形為xf(x)>4,即g(x)>g(1),解得x>當x<0時,f(x)>4x變形為xf(x)<4,即g(x)<g(-1),解得-1<x<0綜上,不等式f(x)>4x的解集為(-1,0)∪(1,+∞).故選B6.(多選題)(2024河南信陽模擬)函數f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的大致圖象不可能為()答案BCD解析函數f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的定義域為{x|x≠0},因為f(-x)=loga|x|+1=f(x),所以函數f(x)為偶函數.當x∈(0,+∞)時,f(x)=logax+1(0<a<1)為減函數,且過定點(1,1),故函數f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的大致圖象不可能為BCD選項.故選BCD.7.(2024重慶三模)已知實數a,b滿足log2a+log12b>0,則(A.12a>12b B.logC.ba<ab D.2a-2b<3答案C解析因為log2a+log12所以log2a>log2b,又y=log2x為增函數,故a>b>0.對于A,因為y=12x為減函數,所以12a<對于B,當a=4,b=2時,loga2=12<logb2=1,故B錯誤對于C,0<ba<1<ab,故C對于D,當a=4,b=2時,因為y=2x與y=3x均為增函數,所以2a-2b=24-22>0,3-4-3-2<0,此時2a-2b>3-a-3-b,故D錯誤.故選C.8.(5分)(2024北京延慶一模)已知函數f(x)=xα(0<α<1)在區間(-1,0)上單調遞減,則α的一個取值為.

答案23(答案不唯一解析因為f(x)=xα(0<α<1)在(0,+∞)上單調遞增,又f(x)在區間(-1,0)上單調遞減,所以f(x)可以為偶函數,不妨取α=23,此時f(x)=x23=3x且f(-x)=(-x)23=3(-x)2=f(x),故f(x)9.(5分)(2024陜西西安二模)已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x<0時,f(x)=2lg(-x)-x2,則f(10)=.

答案9解析由題意得f(x)為奇函數且定義域為R,所以f(10)=-f(-10),又f(-10)=2lg(10)-(-10)2=1-10=-9,所以f(10)10.(5分)(2024山東模擬)若正數a,b滿足(1+a)3a=答案0,14解析將(1+a得到a2+3a+3+1a=b2+3b+3+1從而(a2-b2)+3(a-b)+1a-1b故(a-b)a+b+3-1ab=0,而a≠b,故a+b+3-1ab=0,又a>0,b>故1ab=a+b+3>2ab+從而2(ab)3+3(設函數g(x)=2x3+3x2,則g(ab)<g12=1,觀察易得g(x)在(0,+∞)內單調遞增,故ab<又a>0,b>0,所以0<ab<14關鍵能力提升練11.(多選題)(2024江蘇徐州模擬)設函數f(x)=x|x-2|,x≥0,ax,x<0,函數g(xA.當a=0時,函數g(x)有3個零點B.當a>0時,函數g(x)只有1個零點C.當-2<a<0時,函數g(x)有5個零點D.存在實數a,使得函數g(x)沒有零點答案ABC解析函數g(x)的零點個數即方程g(x)=0的不相等的根的個數,當x≥0時,f(x)=x|x-2|,則-x≤0,f(-x)=-ax,由f(x)-f(-x)=0,有x|x-2|=-ax,所以x=0或-a=|x-2|,當x<0時,f(x)=ax,則-x>0,f(-x)=-x|x+2|,由f(x)-f(-x)=0,有-x|x+2|=ax,所以-a=|x+2|,所以問題轉化為關于x的方程-a=|x-2|(x≥0)和-a=|x+2|(x<0)的解的個數,作出函數y=|x-2|(x≥0),y=|x+2|(x<0),y=-a的圖象如圖.當-a=2,即a=-2時,有3個交點,即函數g(x)有4個零點,當0<-a<2,即-2<a<0時,有4個交點,函數g(x)有5個零點,當-a<0,即a>0時,只有x=0這一個零點,函數g(x)只有1個零點,當-a>2或-a=0,即a<-2或a=0時,有2個交點,函數g(x)有3個零點,無論實數a取何值,使得函數g(x)總有零點.故選ABC.12.(多選題)(2024廣東湛江一模)已知大氣壓強p(Pa)隨高度h(m)的變化滿足關系式lnp0-lnp=kh,p0是海平面大氣壓強,k=10-4.我國陸地地勢可劃分為三級階梯,其平均海拔如下表:階梯平均海拔/m第一級階梯≥4000第二級階梯[1000,2000]第三級階梯[200,1000)若用平均海拔的范圍直接代表各級階梯海拔的范圍,設在第一、二、三級階梯某處的壓強分別為p1,p2,p3,則()A.p1≤p0e0.4C.p2<p3 D.p3≤e0.18p2答案ACD解析設在第一級階梯某處的海拔為h1,則lnp0-lnp1=10-4h1,即h1=104lnp0因為h1≥4000,所以104lnp0p1≥4000,解得p1≤p由lnp0-lnp=kh,得ekh=p0p.當h>0時,ekh=p0p>1,即p0>p,所以p0>p設在第二級階梯某處的海拔為h2,在第三級階梯某處的海拔為h3,則lnp0-lnp2=10-4h2因為h2∈[1000,2000],h3∈[200,1000),所以h2-h3∈(0,1800],則0<lnp3p2≤10-4×1800=0.18,即1<p3p2≤e0.18,故p2<p3≤e0.18p13.(多選題)(2024江蘇南京模擬)已知函數f(x)=2|x|1+xA.f(x)在區間(1,+∞)單調遞增B.f(x)圖象關于y軸對稱C.f(x)在定義域內只有1個零點D.f(x)的值域為[0,1]答案BCD解析由于f(2)=45,f(3)=35,所以f(2)>f(3),因此f(x)在區間(1,+∞)內不是單調遞增的,故A易知f(x)定義域為R,且f(-x)=2|-x|1+(-x)2=2|x|1+x2=f(x令f(x)=0即2|x|1+x2=0,得x=0,因此f(x)在定義域內只有1當x∈(0,+∞)時,f(x)=2x1+x2=21x+x,由基本不等式可得x+1x≥2,當且僅當x=1時,等號成立,所以0<1x+1x≤12,所以當x∈(0,+∞)時,0<f(x)≤1,又f(0)=0,函數f(14.(2024福建三明模擬)已知函數f(x)=12|x-1|,若f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,則實數a的取值范圍為()A.23,+∞ B.-∞,23C.23,1 D.23,1∪(1,+∞)答案A解析當x≥1時,f(x)=12|x-1|=12x-1在區間[1,+∞)上單調遞減,又2a2+a+2=2a+142+158>1,2a2-2a+4=2a-122+72>1,所以由f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,得f(2a2+a+2)<f(2a2-2a+4),因此2a2+a+2>2a2-2a+4,解得a>23,所以實數a的取值范圍為23,+∞.故選A.15.(多選題)(2024陜西寶雞模擬)已知函數f(x)=lgx+lg(2-x),則下列結論中正確的是()A.f(x)在區間(0,1)上單調遞減,在區間(1,2)上單調遞增B.f(x)在區間(0,2)上單調遞減C.f(x)的圖象關于直線x=1對稱D.f(x)有最大值,但無最小值答案CD解析函數f(x)=lgx+lg(2-x)的定義域為(0,2),且f(x)=lgx+lg(2-x)=lg(-x2+2x).因為y=-x2+2x在區間(0,1)內單調遞增,在區間(1,2)內單調遞減,且y=lgx在區間(0,+∞)上單調遞增,故f(x)在區間(0,1)內單調遞增,在區間(1,2)內單調遞減,故選項A,B錯誤;由于f(2-x)=lg(2-x)+lgx=f(x),故f(x)的圖象關于直線x=1對稱,故選項C正確;因為y=-x2+2x在x=1處取得最大值,且y=lgx在區間(0,+∞)上單調遞增,故f(x)有最大值,但無最小值,故選項D正確.故選CD.16.(2024安徽黃山模擬)“a<1”是“函數f(x)=log2[(1-a)x-1]在區間(1,+∞)上單調遞增”的()A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C解析令u=(1-a)x-1,則y=log2u,若f(x)=log2[(1-a)x-1]在區間(1,+∞)上單調遞增,因為y=log2u在(1,+∞)上單調遞增,則需使u=(1-a)x-1在區間(1,+∞)上單調遞增,且u>0,則1-a>0,且1-a-1≥0,解得a≤0,因為(-∞,0]?(-∞,1),故“a<1”是“a≤0”的必要不充分條件,故選C.17.(2024黑龍江哈爾濱模擬)已知函數f(x)=|lnx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則a+4b的取值范圍是()A.(4,+∞) B.[4,+∞)C.(5,+∞) D.[5,+∞)答案C解析由f(a)=f(b)得|lna|=|lnb|,根據y=|lnx|的圖象,及0<a<b,得-lna=lnb,又0<a<1<b,所以1a=b.所以a+4b=4b+1b,令g(x)=4x+1x(x>1),由于g(x)在區間(1,+∞)上單調遞增,所以g(b)>4+1=5,即a+4b>5,18.(5分)已知定義在R上的函數f(x)滿足:對于?x1,x2∈R且x1≠x2,①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),②f(x1)-f(x答案f(x)=2x(答案不唯一)解析因為對于?x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以對應的函數可以是指數函數f(x)=ax(a>0且a≠1),因為對于?x1,x2∈R且x1≠x2,有f(x1)-f(所以a>1,所以滿足以上兩個條件的一個函數為f(x)=2x.19.(5分)(2024山東濟南期末)已知函數f(x)=|lnx|+1x,x>0,-x2-x+4,x≤0,g(x)=-x+a,若函數F(x)=f(x)-g(x)有三個零點x答案(-2,0]解析由題意設h(x)=f(x)+x,則函數F(x)=f(x)-g(x)的零點即為方程h(x)=a的根,在同一平面直角坐標系中分別畫出函數h(x)的大致圖象以及直線y=a,如圖所示.若函數F(x)=f(x)-g(x)有三個零點x1,x2,x3(不妨設為x1<x2<x3),則方程h(x)=a有三個根x1,x2,x3,且x1≤0<x2<1<x3,所以a∈(2,4],且2<a=-x12+4=-lnx2+x2+1x2=ln1x2+1x2+因為y=lnx+x+1x在(1,+∞)內單調遞增,所以x3=1x2,即x2x所以x1·x2·x3=x1.令2=a=-x2+4,x≤0,解得x=-2,令4=a=-x2+4,x≤0,解得x=0,所以x1·x2·x3=x1∈(-2,0].20.(5分)(2024陜西西安一模)f(x)=ex+1,x≤0,1x,x>0,若y=f(f(答案13,解析易知函數y=ex在R上是增函數,函數y=1x在(0,+∞)內是減函數,所以,當x≤0時,1<ex+1≤2,當x>0時,1x>0,于是函數f(x)的值域為(0,又函數f(x)在(-∞,0)內單調遞增,在(0,+∞)內單調遞減,函數f(x)的大致圖象如圖所示.設t=f(x)+1,由f(x)>0,可知t>1,則f(t)=1t因為y=f(f(x)+1)-k有兩個零點,所以f(t)-k=0,即1t=k于是t=1k>1,則方程t=f(x)+1=1k,即f(x)=1k-所以由f(x)的圖象可知,使方程f(x)=1k-1有兩個零點,則滿足1k>1,1<1k-1≤2,解得13≤k<核心素養創新練21.