第7章數字信號處理中的有限字長效應7.1

數值表示的有限字長效應7.2

A/D變換的有限字長效應7.3數字濾波器系數量化的有限字長效應7.4定點運算對數字濾波器的影響

7.1數值表示的有限字長效應7.1.1定點數與浮點數為了用有限的數字符號代表所有的數值，人們通常采用進位制（也稱進制）的方法，即按給定的規則進位。例如，對于R進制，就表示某一位置上的數運算時每逢R進一位。R進制下，任何一個數P可以表示為(7-1)當式（7-1）中的下限m≥0時，P是純整數，上限n≤0時，P是純小數。可以看出，i=0是區分數P的整數部分和小數部分的關鍵位置，稱為小數點位置。根據小數點位置是否變化，將數的表示區分為定點數和浮點數兩種。小數點位置固定不變的數稱為定點數，如11.556，3.189等。定點數表示數的格式規范，他所表示的數的精度固定。小數點位置可以變化的數稱為浮點數。浮點數所表示數的精度是不同的，如111.76，1.2357，1000.1等。同一個數也可以用不同的形式來表示，如111.76，可以用科學計數法表示成11.176×101，1.1176×102，0.11176×103等。數字系統中，所采用的二進制表示法有定點制和浮點制兩種。無論是采用軟件編程還是采用專用硬件實現，存儲和處理過程中所采用的存儲單元的長度都只能是有限的，也就是說數值表達的精度是有限的。接下來對二進制的定點、浮點表示因寄存器長度限制而導致的誤差進行分析，并就折中的成組浮點制（BlockFloatingPoint，BFP，也稱塊浮點制）進行簡單討論。7.1.2定點制誤差分析

1.數的定點表示定點制下，一旦確定了小數點在整個數碼中的位置，在整個運算過程中即保持不變。因此，根據系統設計要求、數值范圍來確定小數點處于什么位置很重要，這就是數的定標。數的定標有Q表示法和S表示法兩種。Q表示法形如Qn，字母Q后的數值n表示包含n位小數。如Q0表示小數點在第0位的后面，數為整數；Q15表示小數點在第15位的后面，0～14位都是小數位。S表示法則形如Sm.n，m表示整數位，n表示小數位。以16位DSP為例，通過設定小數點在16位數中的不同位置，可以表示不同大小和不同精度的小數。表7.1列出了一個16位數的16種Q表示、S表示及它們所能表示的十進制數值范圍。

2.定點運算定點表示的兩個數在進行加減法運算前，必須保證這兩個數的定標值Q嚴格相等。假設進行加減運算的兩個數分別為x和y，它們的Q值相等且都為Qc，則進行加減運算的結果為x±y，結果的Q值仍為Qc。當x和y的Q值不相等時，假設它們的Q值分別為Qx和Qy，且有Qx>Qy，運算結果z的定標值為Qz，進行加減運算的步驟如下：

(1)將Q值較小的數y的Q值調整為Qx，即y′=y×2(Qx－Qy)；

(2)計算z′=x±y′的值，其Q值為Qx；

(3)將z′的Q值調整到Qz，即：z=z′×2(Qz－Qx)，得到最終的運算結果。乘除運算時，假設進行運算的兩個數分別為x和y，它們的Q值分別為Qx和Qy，則兩者進行乘法運算的結果為xy，Q值為Qx+Qy，除法運算的結果為x/y，Q值為Qx－Qy。在程序或硬件實現中，上述定標值的調整可以直接通過寄存器的左移或右移完成。若b>0，實現x×2b需將存儲x的寄存器左移b位；若b<0，實現x×2b則需將存儲x的寄存器右移|b|位即可。

3.定點數的原碼、補碼和反碼表示從前面的分析過程可知，采用定點處理器進行小數的運算，其小數點位是由程序員根據處理問題的需要人為設定的，在處理的過程中需要時刻關注Q值的變化及其所表示的物理含義，因而，從處理器的角度來看，定點制下進行小數的運算實質上還是按處理器字長進行整數的各種運算。同樣，對數進行存儲和處理的時候，數的各種碼制表示規律也同樣適用于定點表示下的小數處理。計算機基礎課程中，計算機在表達數值的時候，二進制數的最高位一般用作符號位，0表示正數，1表示負數，一個數可以有原碼、補碼和反碼三種形式。對于正數來說，三種碼都一樣，而對于負數，這三種碼并不一致，用途也各不相同。如原碼適合做乘除法，常被用作設計串行乘法器，而補碼適合做加減法，加法器的硬件多采用補碼制。表7.2列出了三種碼的特性對比。在數字信號處理器（DSP）中，通常采用補碼制。數的轉換在MATLAB中的實現有如下幾種方式。

(1)函數dec2bin可以實現將一個十進制正整數轉換成一個二進制的字符串。調用格式：

dec2bin(D)

dec2bin(D,N)輸入變量：D是小于252的非負整數，N為轉換后的二進制字符串的長度。

(2)函數bitcmp可以用于求一個十進制正整數的補數，和函數dec2bin一起使用可以求一個十進制整數的反碼和補碼。調用格式：

bitcmp(A,N)輸入變量：A是無符號型整數，其中A≤2N－1，計算結果為2N－1－A。

(3)函數num2bin用于將一個數值矩陣轉化成二進制的字符串。調用格式：

B=num2bin(Q,X)輸入變量：X是數值矩陣，Q用于表明X的屬性。在MATLAB里用函數?quantizer生成量化目標Q，常用的調用格式為Q=quantizer(［w,f］)，w是字符串B的長度，f是小數位數。需要注意的是，如果不是0.xxxx，必須要給整數位保留兩個比特（包含一位符號位）。

【例7-1】用MATLAB編程求十進制數-1325的二進制原碼、反碼和補碼表示。

解：因為210<1325<211，需要用11位的二進制數來表示該十進制數，假設用12位二進制數表示，其中第12位為符號位。利用前面介紹的MATLAB函數編寫程序如下：

x=-1325;

a=abs(x);

b=dec2bin(a+211,12)%原碼

c=dec2bin(bitcmp(a,12),12)%反碼

d=dec2bin(bitcmp(a,12)+1,12)%補碼運行結果：

b=110100101101

c=101011010010

d=101011010011■

【例7-2】

用MATLAB編程求十進制數123.874的二進制原碼表示，小數位數保留8位。

解：利用前面介紹的MATLAB函數編寫程序如下：

Q=quantizer(［16,8］);

num2bin(Q,123.874)運行結果：

ans=

0111101111011111■

4.定點量化誤差分析定點制下，當Q值確定以后，即用來表示小數的寄存器位數L確定后，其可表示的最小數的單位也就確定了，記為2－L，這個值稱為量化間距，記作q。超出L位的部分，可以通過直接截斷的方式進行處理，所產生的誤差稱為截尾誤差，也可以通過舍入的方式進行處理，產生舍入誤差。如果數P的小數部分是x，通過M位二進制表示，存入Q值定義為L的寄存器中被量化為Q［x］，則其量化誤差e定義為(7-2)e=Q［x］－xx∈［0,1)

1）截尾誤差對于正數，原碼、補碼和反碼的形式都相同，有(7-3)(7-4)(7-5)顯然，此時有－(2－L－2－M)≤e≤0，當M→∞時，有－2－L≤e≤0。也就是說，截尾誤差最大不超出量化間距q。對于負數，由于三種碼的表達方式不同，誤差也不同。(7-6)(7-7)(7-8)易知，0≤e≤2－L－2－M。當M→∞時，有0≤e≤2－L。也就是說，用原碼表示負數時，截尾誤差始終為正，誤差均值為2－(L+1)，且最大誤差不超出量化間距q。當負數用補碼表示時，有(7-9)(7-10)(7-11)

易知，－(2－L－2－M)≤e≤0。當M→∞時，有－2－L≤e≤0。也就是說，用補碼表示負數時，其截尾誤差與正數情況一致，始終為負，均值為－2－(L+1)，最大誤差不超出量化間距q。當負數用反碼表示時，有(7-12)(7-14)(7-13)

2）舍入誤差當定點數用于表示小數的寄存器長度為L，將長度為M(M>L)的數據存入該寄存器進行舍入處理時，就是將第L+1位加1，然后再截斷數據到第L位。容易理解，無論采用原碼、補碼還是反碼表示，這個過程都調整了誤差范圍，誤差均值的絕對值由2－(L+1)調整為0，而誤差范圍調整為［－2－(L+1)，2－(L+1)］。7.1.3浮點制誤差分析從前面對定點制表示分析的過程可以看出，定點制的優點是運算簡便，對處理器要求低。但數的表達能力有限，所處理數的動態范圍較小。同時，寄存器的利用效率低，如表示較小的小數時，小數的有效位數較短，由截尾舍入產生的百分比誤差隨著數的絕對值的減小而增加。科學計數法中，允許將任意一個數字表示為一個純小數與一個指數相乘的形式

(P)R=S·RcS一般為絕對值介于0~1之間的規格化尾數，機器中可用原碼或補碼表示。R為基數，在數字處理器中通常取2。c為浮點數的階碼，也即是指數，為整數。采用浮點制表示，可以在兼顧表達范圍的同時保證運算精度。根據IEEE754國際標準，常用的浮點數有單精度浮點數(single)和雙精度浮點數(double)兩種格式。單精度浮點數占用4個字節(32位)存儲空間，在數字寄存器中，單精度浮點數的存儲格式如圖7-1所示，包括1位符號位S，8位階碼(指數)E，23位尾數F。其表示范圍為

(1)當S=0，E=127，F的23位均為1時，表示的浮點數為最大的正數：

(01.111..1)2×2127=(2－2－23)×2127≈3.4×1038

(2)當S=1，E=127，F的23位均為0時，表示的浮點數為絕對值最大的負數：

(10.000..0)2×2－127=－2×2－127≈－3.4×1038

(3)當S=0，E=－127，F的23位均為0時，表示的浮點數為最小的正數：

(01.000..0)2×2－127=1×2－127≈5.9×10－39

(4)當S=1，E=－127，F的23位均為1時，表示的浮點數為絕對值最小的負數：

(10.111..1)2×2－127=(－1－2－23)×2－127≈－5.9×10－39雙精度浮點數占用8個字節(64位)存儲空間，包括1位符號位、11位階碼、52位尾數，數值范圍為1.7E-308～1.7E+308。圖7-1單精度浮點數存儲格式浮點數進行加減運算一般需要有五個步驟：

(1)對階：使兩數的小數點位置對齊。

(2)尾數求和(差)：將對階后的兩尾數按定點加減運算規則求和(差)。

(3)規格化:為增加有效數字的位數，提高運算精度，必須將求和(差)后的尾數規格化。

(4)舍入：為提高精度，要考慮尾數右移時丟失的數值位。

(5)判斷結果：即判斷結果是否溢出。進行浮點數的乘除運算分為階碼運算和尾數運算兩個步驟。階碼運算較為簡便，若是乘法則對階碼寄存器段做加法運算，除法則做減法運算。對于浮點數的乘法，尾數運算一般需要四個步驟：

(1)預處理：檢測兩個尾數中是否有一個為0，若有一個為0，乘積必為0，不再作其他操作；如果兩尾數均不為0，則可進行乘法運算。

(2)相乘：兩個浮點數的尾數相乘可以采用定點小數的任何一種乘法運算來完成。

(3)規格化：相乘結果可能要進行左規，左規時調整階碼后如果發生階下溢，則作機器零處理；如果發生階上溢，則作溢出處理。

(4)尾數截斷：尾數相乘會得到一個雙倍字長的結果，若限定只取1倍字長，則乘積的若干低位將會丟失。可以通過前面討論的定點制截斷處理方法進行截尾或舍入處理。對于浮點除法，尾數運算需要先檢測被除數是否為0，若為0，則商為0；再檢測除數是否為0，若為0，則商為無窮大，另作處理。若兩數均不為0，則可進行除法運算。兩浮點數尾數相除同樣可采取定點小數的任何一種除法運算來完成。對已規格化的尾數，為了防止除法運算結果溢出，可先比較被除數和除數的絕對值，如果被除數的絕對值大于除數的絕對值，則先將被除數右移一位，其階碼加1，再作尾數相除。此時所得結果必然是規格化的定點小數。與定點制相比，浮點制一定程度上可以兼顧動態范圍和運算精度，但其指數和尾數都需要參與運算，運算過程復雜，實現難度大，硬件成本高，在僅提供定點運算的處理器中很難獲得實時的運算結果。從處理誤差方面看，浮點制所產生的誤差傳播范圍廣，分析起來難度較大，此處不做詳細論述，可參閱相關書籍。7.1.4成組浮點制(BFP)成組浮點制(BlockFloatingPoint)也稱為塊浮點制，基本思想是兼顧定點制和浮點制的優點，將一組數值相近的數據定義成一個具有統一指數的數據塊，換句話說，就是將該組數據同時根據這個共享指數進行縮放，在保證動態范圍和精度的同時又不需要考慮彼此間指數的影響。

BFP是一種在工程實現中較常采用的方法。如Altra公司提供的IP核FFTMegacore中就集成了該算法。

7.2A/D變換的有限字長效應7.2.1A/D變換及其量化誤差的統計分析

A/D變換包括采樣和量化兩部分，如圖7-2所示。模擬信號xa(t)經過采樣后轉換為時域離散信號x(n)，然后對x(n)做截尾或者舍入的量化處理后得到二進制數字信號x(n)。由于A/D變換總是采用定點制，因此需要將模擬信號乘以比例因子A，以限定其最大值不能超過A/D變換的動態范圍，即

x(n)=Axa(t))|t=nT=Axa(nT)

(7-15)顯然信號x(n)具有無限精度，受存儲單元的字長限制，必須對其做截尾或者舍入的量化處理，用e(n)表示量化誤差，則^(7-16)圖7-2A/D變換器的非線性模型

A/D變換的量化方式和數的表示方式直接決定了其量化特性。設A/D變換的輸出是字長為b+1位的補碼定點小數，其中b位是小數部分，若用eT(n)表示采用截尾的誤差，用eR(n)表示采用舍入處理的誤差，由7.1節可以得到量化誤差的范圍為(7-17)(7-18)這里，q=2－b表示量化階距。式(7-17)、(7-18)給出了量化誤差的范圍，但是要想精確地刻畫出每個量化誤差的值還是非常困難的。通常用統計分析的方法來分析量化誤差的統計特性，研究A/D變換的有限字長效應。A/D變換器的統計模型如圖7-3所示。圖7-3A/D變換器的統計模型為了研究其統計特性，首先對量化誤差e(n)作如下假設：

(1)e(n)是平穩隨機序列；

(2)e(n)與采樣信號x(n)互不相關；

(3)e(n)序列中任意兩個值之間不相關，即e(n)為白噪聲序列；

(4)e(n)在其取值范圍內均勻等概分布。根據上述假設，e(n)是與輸入信號完全不相關的、均勻分布的白噪聲序列，采用截尾和舍入時誤差的概率密度函數分別如圖7-4(a)、(b)所示。圖7-4量化誤差的概率分布(a)截尾誤差；(b)舍入誤差采用截尾處理時的均值和方差分別為(7-19)(7-20)采用舍入處理時的均值和方差分別為(7-21)(7-22)分析式(7-19)~(7-22)可知：

(1)采用截尾處理時誤差序列的均值不為零，也就是說誤差序列eT(n)中包含直流分量，直流分量的存在會使信號的頻譜在頻率等于0處存在δ函數，從而影響信號的頻譜結構。而采用舍入處理時誤差序列的均值為0，不存在直流分量。因此，實際應用中多采用舍入處理的方式。

(2)采用截尾處理和舍入處理時誤差序列的方差相等，且都為σ2T=σ2R=σ2e，都取決于A/D變換的字長b，字長越長，量化誤差越小。用符號σ2x表示信號功率，則量化信噪比為(7-23)對數表示為(7-24)從式(7-24)可以看出，信號功率一定的情況下，字長每增加1bit，量化信噪比約增加6個分貝。

【例7-3】

假設語音信號量化編碼時，選用12bit的A/D，其動態范圍為0~5V，求系統量化誤差的均方差。

解：量化階距電壓：

Vq=5×2－b=5×2－12=1.2mV

7.2.2量化噪聲通過線性系統這一節在不考慮系統實現誤差和運算誤差的情況下，將系統近似看作是完全理想的，即具有無限精度的線性系統，討論量化信號通過線性時不變系統的問題。假設量化序列x(n)=x(n)+e(n)，線性時不變系統的單位脈沖響應為h(n)，由7.2.1節的假設，信號x(n)和量化噪聲e(n)相互獨立，假設系統為因果系統，則根據線性疊加原理，系統的輸出為

(7-25)^其中，y(n)是系統對信號x(n)的響應，f(n)是噪聲信號e(n)通過線性系統的輸出，有(7-26)量化噪聲通過線性系統的框圖如圖7-5所示。圖7-5量化噪聲通過線性系統(1)若e(n)是舍入誤差，則輸出噪聲信號f(n)的均值為(7-27)由式(7-21)me=0,可求得mf=0。其方差為由前面的假設e(n)為白噪聲序列，序列中任意兩個值之間不相關。因此

E[e(n－m)e(n－k)]=σ2eδ(m－k)則有(7-28)從上式可以看出，量化噪聲通過線性時不變系統后，其輸出信號的方差依然和量化字長成反比。在量化字長一定的情況下，其輸出信號的方差取決于系統單位脈沖響應的能量。假設h(n)是實序列，由帕塞伐定理(7-29)代入式(7-28)可得(7-30)

(2)若e(n)是截尾誤差，輸出噪聲信號f(n)的方差仍為式(7-28)，其均值為(7-31)顯然，輸入信號時截尾量化，在輸出端也引入了一個直流分量。【例7-4】

已知IIR濾波器的系統函數為假設其輸入信號x(n)為8位A/D變換器(b=7)的輸出，求濾波器輸出端的量化噪聲功率。

解：由于A/D變換的量化效應，濾波器輸入端的噪聲功率為^(7-32)濾波器的輸出噪聲功率為圍線c內只有兩個極點z1=0.7，z2=0.8，根據留數定理有

7.3數字濾波器系數量化的有限字長效應7.3.1系數量化對IIR濾波器性能的影響無限長單位脈沖響應(IIR)濾波器的系統函數可以表示為(7-33)對分子和分母多項式的系數進行量化。假設系數bi和ai的量化值分別為b

i和ai，對應的量化誤差為Δbi和Δai，則^^(7-3４)量化后的系統函數為通過前面章節的學習可知，系統性能在很大程度上取決于系統的極點。而量化誤差的存在會造成系統極點位置的改變，從而影響系統的穩定性。為了衡量系數量化對極點位置的影響，定義系統中每個極點位置對各系數偏差的敏感程度為極點位置靈敏度，用極點位置靈敏度來反映系數量化對濾波器穩定性的影響。假設量化前系統的理想極點為：zi(i=1，2，…，N)，對分母多項式A(z)進行因式分解可得(7-36)系數量化后，由于量化誤差Δai的存在，對應的極點變為z

i=zi+Δzi(i=1，2，…，N)。因為極點zi的值和分母多項式中每個系數ai(i=1，2，…，N)都有關系，因此可以把極點zi表示成如式(7-37)所示的函數形式:

zi=zi(a1，a2，…，aN)i=1，…，N

(7-37)由系數量化帶來的極點的改變量Δzi為(7-38)7.3.2系數量化對FIR數字濾波器性能的影響上一節我們通過分析系數量化帶來的系統極點位置的變化，研究了系數量化對IIR數字濾波器穩定性的影響。這一節我們將以直接型結構為例分析系數量化對FIR系統性能的影響。對于直接型FIR濾波器而言，系數量化時濾波器仍然能夠保持線性相位特性，系數量化主要會對系統的幅頻特性產生影響。由4.3節可知，FIR濾波器的系統函數可以表示為(7-44)對系數h(n)進行量化，假設量化誤差為e(n)，則量化后的結果h(n)為

(7-45)量化以后的系統函數為^(7-46)式中E(z)是誤差函數e(n)的z變換，對應的頻率響應為(7-47)量化字長一定時，系數的量化誤差是個有界量。假設量化字長為b，量化階距為q，舍入時|e(n)|≤q/2=2－b/2。則量化誤差的幅度響應為(7-48)從式(7-48)可以看出，濾波器階數固定的情況下，量化誤差的幅度響應和量化字長成反比，可以通過增加量化字長來減少量化誤差的影響。從概率統計的角度，由7.2.1節可知，采用有限精度的舍入運算時，e(n)的均值為0，方差等于q2/12。假設N個系數的量化誤差之間是不相關的，則量化誤差的頻率響應的方差σ2E是這N項誤差的方差之和，即(7-49)

7.4定點運算對數字濾波器的影響在工程實現中，為了滿足系統信噪比要求，需要分析濾波器的運算誤差，以選擇合適的濾波器運算位數。數字濾波器的實現需要乘法、加法和延遲三種基礎運算，其中延遲運算不會造成字長的變化。定點制運算中，加法運算不會造成尾數字長的變化，誤差主要來自于數的溢出；而兩個尾數長度為n的數相乘運算后，乘積的尾數長度為2n，受存儲器長度的限制，要對乘積做截尾或者舍入運算，這勢必會引入誤差，影響濾波器的性能。因此，這里僅分析乘法和加法，特別是乘法運算的舍入誤差對數字濾波器性能的影響。圖7-6定點相乘運算的算法流圖(a)理想相乘；(b)實際相乘的非線性流圖；(c)統計分析的流圖7.4.1IIR濾波器運算中的有限字長效應一個N階的IIR濾波器的輸入輸出關系可以用式(7-51)所示的N階的線性常系數差分方程來描述:(7-51)(7-52)對式(7-52)兩邊作Z變換可得根據式(7-33)，有(7-53)從式(7-53)可以看出舍入處理后，濾波器的輸出y(n)等于y(n)和f(n)之和，其中f(n)是系統總誤差e(n)通過傳輸函數為He(z)=1/A(z)的系統的輸出。^根據前面的假設，每一個乘法支路中的舍入誤差是均值為零的平穩白噪聲序列，系統總誤差e(n)是M+N+1個乘法支路的舍入誤差之和，因此e(n)也是均值為零的平穩白噪聲序列，其方差(功率)等于各個乘法支路中舍入誤差的方差之和。假設e(n)的方差為σ2e，則(7-54)式中，σ2ε為單個乘法支路中舍入誤差的方差。由7.2.2節，e(n)通過系統He(z)后輸出信號f(n)的方差σ2f為(7-55)式(7-55)也可表示為(7-56)從式(7-55)和式(7-56)可以看出，量化字長(量化階距)固定的情況下，σ2f取決于IIR濾波器的系統函數。顯然，濾波器的結構不同時，σ2f的值也不相等。

【例7-5】一個因果的IIR系統的系統函數試分別在直接型、級聯型和并聯型情況下，求解由乘法舍入誤差所產生的輸出噪聲的方差。

解：

1)直接型結構由有A(z)=1－0.9z－1+0.2z－2=(1－0.5z－1)(1－0.4z－1)M=0，N=2直接型結構